On se donne un intervalle ouvert non vide $\omega $ de $\mathbb{R}$, un ouvert connexe non vide $\Omega $ de ${{\mathbb{R}}_{5}}$ et unpolynôme unitaire
$${{P}_{m}}\left( z,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)={{z}^{m}}+{{a}_{1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{z}^{m-1}}=+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{m-1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)z+{{a}_{m}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)$$
de degré $m>0$, dépendant du paramètre $\lambda \in \Omega $. Un tel polynôme est dit $\omega $-hyperbolique si, pour tout $\lambda \in \Omega $, ses racines sont réelles et appartiennent à $\omega $.
On suppose que les fonctions ${{a}_{k}},k=1,\cdot \cdot \cdot ,m$, appartiennent à une classe ultradifférentiable ${{C}_{M}}\left( \Omega \right)$. On s‘intéresse au problème suivant. Soit $f$ appartient à ${{C}_{M}}\left( \Omega \right)$, existe-t-il des fonctions ${{Q}_{f}}$ et ${{R}_{f,k}},k=0,\cdot \cdot \cdot ,m-1$, appartenant respectivement à ${{C}_{M}}\left( \omega \,\times \,\Omega \right)$ et à ${{C}_{M}}\left( \Omega \right)$, telles que l’on ait, pour $\left( x,\,\lambda \right)\,\in \,\omega \,\times \,\Omega$,
$$f\left( x \right)={{P}_{m}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{Q}_{f}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)+\sum\limits_{k=0}^{m-1}{{{x}^{k}}{{R}_{f,k}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)?}$$
On donne ici une réponse positive dès que le polynôme est $\omega$-hyperbolique, que la class untradifférentiable soit quasi-analytique ou non ; on obtient alors, des exemples d’idéaux fermés dans ${{C}_{M}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$
. On complète ce travail par une généralisation d’un résultat de C. L. Childress dans le cadre quasi-analytique et quelques remarques.