page 266 note (1) Le graphique logarithmique comporte une échelle verticale où les longueurs sont proportionnelles aux logarithmes des nombres et non aux nombres eux-mêmes. Aussi les distances de 1 à 10, de 10 à 100, de 100 à 1000 etc., sont-elles toutes égales, puisque les logarithmes de ces nombres sont 0, 1, 2, 3, etc.; on ne peut descendre à zéro, puisque les logarithmes de 0,1, 0,01, 0,001 etc., sont — 1, — 2, — 3, etc… L'avantage de cette échelle est qu'à toute hauteur un mouvement proportionnellement égal (de 5 % par exemple) est représenté par une distance verticale égale; par conséquent à toute hauteur le mouvement de 5 %, s'il s'effectue au cours d'une même période, est aussi représenté par une ligne de même inclinaison. Il n'en est pas de même avec une échelle ordinaire, où le phénomène a l'air d'accélérer sa marche au fur et à mesure qu'il évolue à des niveaux plus élevés. Aussi deux courbes, tracées à des niveaux différents sur échelle ordinaire, ne sont-elles pas comparables dans leurs mouvements; elles le sont sur échelle logarithmique. Cette dernière doit être utilisée dès que les changements de niveau de la série statistique étudiée sont considérables.

page 268 note (1) Cfr. Crum and Patton, op. cit., p. 313.

page 269 note (1) Dans l'analyse d'une série chronologique, représentée graphiquement par une courbe, les données, mesurées sur l'échelle verticale, sont désignées par des Y (ordonnées); le temps se mesure le long de l'échelle horizontale et, conformément aux conventions de la géométrie analytique, les dates sont représentées par des X (abscisses). En fait, les X se suivent à des distances égales dans tous les cas envisagés, de telle manière que la moyenne se trouve au milieu de la période étudiée.

page 269 note (2) En effet, soient Y₁, Y₂, … Y_N les données correspondant respectivement aux valeurs X₁, X₂, … X_N des X; si la droite Y = AX + B passe par la moyenne des X et des Y, c'est-à-dire par le point dont l'X est égal à et dont l'Y est égal à on a

ou

Le premier nombre représente la somme des données, le second représente la somme des ordonnées correspondantes. La droite considérée satisfait donc au 1°. Elle satisfait aussi au 2° car la dernière relation peut s'écrire

page 269 note (3) Proposons-nous de déterminer l'équation de la ligne de tendance. Nous choisissons l'axe des Y de telle façon qu'il passe par la moyenne des valeurs des X qui correspondent à des données (en fait le centre de la période étudiée, cfr. note (1) ci-dessus et graphique n° 5 p. 272). Les abscisses deviennent, de la sorte, des écarts à la moyenne; on a l'habitude de les représenter par la lettre x, de même qu'on représentera par y les écarts des Y à leur moyenne.

Soient Y₁, Y₂, .., Y_N les données correspondant aux valeurs x ₁, x ₂, … X_N de x. On aura donc x ₁ + x ₂ + … + x _N = 0 ou ∑x = 0.

Les coefficients m et b de l'équation Y = mx + b de la ligne de tendance sont, en vertu de la définition, les nombres qui rendent minima la somme des carrés des écarts

Si nous représentons cette valeur minima par K, la condition énoncée pourra s'écrire

Soit la moyenne des données, on aura ∑y − MN = 0. Soit y l'écart de la donnée Y à cette moyenne, c'est-à-dire y = Y − M, on aura ∑y = ∑(Y − M) = ∑Y − MN = 0. Comme on a Y = y + M, la condition (1) peut s'écrire

Développons le carré, nous obtenons

ou

ou enlin

car

Le premier membre de la relation (2) n'étant évidemment pas négatif, le second ne l'est pas davantage; or la plus petite valeur que puisse prendre K pour qu'il en soit ainsi est celle qui annule le second membre, c'est-à-dire

Mais pour cette valeur de K la relation (2) devient

Il reste à déterminer m. A cet effet, développons la relation (3); elle peut s'écrire

Si nous résolvons cette équation par rapport à m nous obtenons

L'expression sous le radical ne peut être négative, car m doit être réel; or cette expression décroit en même temps que K. La plus petite valeur que puisse prendre K est donc celle qui annule cette expression et dans ce cas on a . La valeur de m est donc déterminée et l'équation de la ligne de tendance est

On peut d'ailleurs éviter les y dans cette équation et faire les calculs directement sur les données, c'est-à-dire, les Y, car on a

car ∑x = 0. L'équation de la ligne de tendance peut donc aussi s'écrire

On voit que cette ligne passe par la moyenne générale des x et des Y; en effet, la moyenne des x est nulle; or si l'on cherche la valeur de l'ordonnée quand on remplace x par zéro dans l'équation qui précède, on trouve

On peut chercher une ligne de tendance satisfaisant à une toute autre condition que celle de rendre minima la somme des carrés des écarts; mais ce procédé, connu sous le nom de «règle des moments», conduit, comme nous le verrons, à la même ligne de tendance.

Considérons les données Y₁, Y₂, … comme des forces qui tirent une droite Y = mx + b vers le haut, et les ordonnées correspondantes de cette droite, c'est-à-dire mx ₁ + b, mx ₂ + b, … comme des forces tirant cette droite vers le bas; cherchons dans quelle position, c'est-à-dire, pour quelles valeurs de m et de b, cette droite est en équilibre. On démontre en mécanique que pour que cette droite soit en équilibre il faut:

1° que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe des x soit nulle; or ceci est réalisé car toutes les forces sont perpendiculaires à l'axe des x;

2° que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe des Y soit nulle; les forces étant parallèles à cet axe s'y projettent en vraie grandeur et l'on devra donc avoir, en affectant du signe «plus» les forces agissant vers le haut et du signe «moins» les forces agissant vers le bas, et en se rappelant que ∑x = 0,

3° que la somme des moments de toutes les forces par rapport à l'origine des coordonnées soit nulle; or le moment par rapport à l'origine de la force Y est xY et le moment de la force − (mx + b) est − x(mx + b), on doit donc avoir

Les valeurs de m et de b sont donc les mêmes que celles que nous a fournies la première méthode.

Enfin, il peut être intéressant d'attirer l'attention sur le fait que la ligne de tendance se confond avec la ligne de régression des y sur les x de la théorie de la corrélation. En effet, l'équation de cette ligne est

où y est égal, comme cî-dessus, à

La signification des symboles qui figurent dans cette équation est la suivante

En portant ces expressions dans l'équation (4), celle-ci devient

ce qui est précisément l'équation de la ligne de tendance.

page 273 note (1) Le calcul de l'une quelconque de ces sommes se fait très aisément par l'une ou l'autre des deux formules suivantes, dont on trouvera la démonstration dans les traités d'algèbre (calcul des différences),

page 274 note (1) Si l'on représente par m le rapport constant de Y _n à Y _n −1 et par b l'ordonnée correspondant à x = 0, l'équation de la ligne de tendance logarithmique est Y = b × m^x , ou bien, en prenant les logarithmes, log Y = x log m + log b. Cette dernière relation montre que la courbe logarithmique devient une droite si l'on porte en ordonnée, non pas les valeurs de Y, mais les valeurs du logarithme de Y. On obtient ce résultat facilement en portant les valeurs de Y sur une feuille de papier graduée à l'échelle logarithmique.

Si l'on porte les données sur une feuille ainsi graduée et si l'on applique ensuite aux données transformées la méthode des moindres carrés pour le calcul des coefficients log m et log b de la ligne de tendance devenue rectiligne, on trouve, en appliquant les formules établies, en note, aux pages 269 à 271

Il peut être utile de remarquer que b ne représente plus, dans ce cas, la moyenne arithmétique des Y, mais leur moyenne géométrique, car on tire de la relation ci-dessus

page 275 note (1) On appelle moyenne mobile une série statistique composée comme suit: dans une moyenne mobile de trois mois, par exemple, le chiffre de février est remplacé par la moyenne des chiffres de janvier, février et mars, celui de mars par la moyenne de février, mars et avril, celui d'avril par la moyenne de mars, avril et mai, etc… Une moyenne mobile de douze mois comportera des moyennes de douze termes successifs, généralement centrés au septième mois. Toutefois, dans des cas exceptionnels, la moyenne mobile n'est pas attribuée au mois central.