1.1.1

Soit $X$ un schéma nœthérien. Une stratification de $X$ est une partition finie (ensembliste) $\mathfrak{X}$ en sous-schémas réduits localement fermés (non vides), appelés strates. Si pour toute strate $S$ le bord $\unicode[STIX]{x2202}S=\overline{S}-S$ est réunion de strates, on dit que $\mathfrak{X}$ est une bonne stratification. Un schéma stratifié est un schéma muni d’une stratification. Enfin, une stratification $\mathfrak{X}$ de $X$ est adaptée à une partie $Z\subseteq X$ si chaque strate de $\mathfrak{X}$ est contenue dans $Z$ ou $X-Z$ .

Faisons les observations suivantes :

1. (1) toute stratification se raffine en une bonne stratification [Sta, lemme 09Y5].

Et dans le cas d’une bonne stratification :

1. (2) toute strate, étant localement fermée, est ouverte dans son adhérence ;

2. (3) tout strate $S$ maximale pour la relation d’ordre partiel «  $x\leqslant y$ si et seulement si $x\subseteq \overline{y}$  » est ouverte : 

Si $f:Y\rightarrow X$ est un morphisme, on note $\mathfrak{X}_{Y}$ ou $f^{\star }\mathfrak{X}$ la stratification de $Y$ déduite de $\mathfrak{X}$ par image inverse (réduite) des strates.

1.1.2 Mise en garde

Notons que l’image inverse d’une bonne stratification par un morphisme $f:Y\rightarrow X$ n’est pas nécessairement bonne : si $S$ est une partie localement fermée, l’inclusion $\overline{f^{-1}(S)}\subseteq f^{-1}(\overline{S})$ peut être stricte. De même, si $U$ est un ouvert d’un schéma nœthérien $X$ , il n’est en général pas vrai que la stratification $\{U,X\setminus U\}$ soit bonne.

Compte tenu de (1) ci-dessus, ces observations n’ont pas de conséquence fâcheuse.

1.1.3

Soient $X$ un schéma et $(X^{\prime },\mathfrak{X}^{\prime })$ un $X$ -schéma stratifié nœthérien. On dit qu’un faisceau étale sur $X$ est constructible le long de  $\mathfrak{X}^{\prime }$ (ou $\mathfrak{X}^{\prime }$ -constructible) si son image inverse sur $X^{\prime }$ est (ensemblistement) constructible et localement constante sur chacune des strates de $\mathfrak{X}^{\prime }$ . Lorsque $X^{\prime }=X$ , on retrouve la définition de [Reference Katz and LaumonKL85, § 3.0].

Dans cet article on dira souvent « lisse » pour « localement constant (ensemblistement) constructible » et, assez systématiquement, « faisceau » pour « faisceau étale ».

À des fins de dévissage, le résultat suivant — obtenu en utilisant (3) supra Footnote ¹ et procédant par récurrence — est particulièrement utile. (C’est principalement ce fait qui motive l’usage de bonnes stratifications.)

L’énoncé ci-dessus est une variante de celui de [SGA 4 IX], dans lequel on se donne une partition de $X$ .

1.2.1

Soient $X$ un schéma et $(X^{\prime },\mathfrak{X}^{\prime })$ un $X$ -schéma stratifié nœthérien. On dit qu’un faisceau étale abélien sur $X$ est unipotent le long de $\mathfrak{X}^{\prime }$ (ou $\mathfrak{X}^{\prime }$ -unipotent) si ses tirés en arrière aux strates de $\mathfrak{X}^{\prime }$ sont extensions de faisceaux constants. Il est dit localement unipotent le long de  $\mathfrak{X}^{\prime }$ (ou $\mathfrak{X}^{\prime }$ -localement unipotent) si pour tout hensélisé strict $T$ de $X^{\prime }$ — ou de façon équivalente tout $X^{\prime }$ -schéma strictement local $T$ —, son image inverse sur le schéma $T$ est unipotent le long de $\mathfrak{X}_{T}^{\prime }$ . Par exemple, un faisceau lisse est localement unipotent (le long de toute stratification).

(À la formulation près, cette définition se trouve dans [Reference PinkPin95].Footnote ² )

1.2.2

Notons qu’un faisceau abélien constructible qui est localement unipotent le long de $\mathfrak{X}$ est automatiquement constructible le long de $\mathfrak{X}$  : une extension de faisceaux lisses est lisse [SGA 4 IX, 2.1 (iii)] et la lissité se teste sur les hensélisés stricts (cf. [SGA 4 IX, 2.13 (i)]).

1.2.3

Si $\mathscr{L}$ est un faisceau lisse sur un ouvert dense $U$ normal connexe d’un schéma $X$ et $\mathfrak{X}$ est une stratification adaptée à $U$ , le faisceau constructible $j_{!}\mathscr{L}$ est localement unipotent le long de $\mathfrak{X}$ si et seulement si il l’est le long de la stratification $\{U,X\setminus U\}$  : sur un schéma normal, l’unipotence d’un faisceau lisse se teste en les points maximaux.

1.2.4

Soient $G$ un groupe et $\mathscr{F}$ un $X$ -faisceau étale abélien muni d’une action de $G$ , c’est-à-dire d’un morphisme $G\rightarrow \mathtt{Aut}(\mathscr{F})$ . Nous dirons que $\mathscr{F}$ est $G$ -unipotent s’il existe une filtration finie croissante par des sous-faisceaux $G$ -stables $\mathscr{F}_{i}$ telle que $G$ agisse trivialement sur les quotients $\mathscr{F}_{i+1}/\mathscr{F}_{i}$ .

1.3.1

Un faisceau $\mathscr{F}$ sur un schéma nœthérien $X$ est dit modéré si pour tout hensélisé strict $T$ de $X$ — ou de façon équivalente tout $X$ -schéma strictement local $T$  —, de point fermé $t$ , tout point $u$ de $T$ et tout point géométrique $\overline{u}$ localisé en $u$ , l’action de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(u,\overline{u})$ sur la fibre $\mathscr{F}_{\overline{u}}$ en $\overline{u}$ se factorise à travers un quotient d’ordre premier à l’exposant caractéristique du corps résiduel $\unicode[STIX]{x1D705}(t)$ .

1.3.2

Cette définition, due à O. Gabber, satisfait les deux compatibilités suivantes :

1. (1) un faisceau localement constant est modéré ;

2. (2) un faisceau sur un trait est modéré au sens ci-dessus si et seulement si sa restriction au point générique est modérée au sens usuel [SGA 1 XIII, 2.1.1].

1.3.3

Un faisceau abélien de torsion inversible sur $X$ et localement unipotent est modéré : pour tout $p$ -groupe fini $P$ et tout entier $n\bot p$ ,Footnote ³ une extension de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[P]$ -modules triviaux est triviale.

1.4.1

raffinement de la stratification : $\mathfrak{X}^{\prime }=\{X_{j}^{\prime }\}$ raffine $\mathfrak{X}=\{X_{i}\}$ s’il existe pour chaque $j$ un indice $i$ tel que $X_{j}^{\prime }\subseteq X_{i}$  ;

1.4.2

image inverse du faisceau et de la stratification ;

1.4.3

prolongement par zéro depuis un fermé : si $\mathscr{F}$ est constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ et $i:X{\hookrightarrow}Y$ est une immersion fermée, le faisceau $i_{\star }\mathscr{F}$ est constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de la stratification de $\mathfrak{Y}$ déduite de $\mathfrak{X}$ par ajout de la partie $Y\setminus X\subseteq Y$ . Quitte à raffiner cette stratification $i_{\star }\mathfrak{X}$ , il existe une bonne stratification de $Y$ , indépendante de $\mathscr{F}$ , le long de laquelle le faisceau est constructible (resp. modéré, localement unipotent).

(Signalons que la stratification ci-dessus est bonne par exemple si $X$ n’est nulle part dense dans $Y$ .)

1.4.4

De plus, si l’on considère des faisceaux abéliens de torsion inversible sur $X$ , on a également stabilité par extension du faisceau. C’est tautologique, sans l’hypothèse sur la torsion, pour l’unipotence locale. Cela résulte de la semi-simplicité de l’action des sous-groupes de Sylow pour la modération (cf. 1.3.3).

1.4.6

Soit $k:Z{\hookrightarrow}X$ une immersion ouverte ou fermée. Si $\mathscr{F}$ est un faisceau sur $X$ constructible (resp. localement unipotent) le long d’une stratification $\mathfrak{X}$ adaptée à $Z$ (au sens de 1.1.1), alors le sous-quotient $k_{!}k^{\star }\mathscr{F}$ du faisceau $\mathscr{F}$ est constructible (resp. localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ . (Amplification : dans la proposition 1.1.4, le gradué est également constructible (resp. localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ .)

De plus, il existe pour toute stratification $\mathfrak{X}$ une stratification la raffinant adaptée à $Z$  : intersecter les strates avec $Z$ et son complémentaire. Elle est bonne si $\mathfrak{X}$ l’est.

Signalons également le fait suivant, de vérification immédiate.

1.4.7

Soient $\mathfrak{X}_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ des stratifications des composantes irréductibles $X_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ de $X$ . Il existe une stratification $\mathfrak{X}$ de $X$ satisfaisant la propriété suivante : tout faisceau $\mathscr{F}$ sur $X$ dont les restrictions aux $X_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ sont constructibles (resp. modérées, localement unipotentes) le long de $\mathfrak{X}_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ est également constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ . (Voir la proposition 1.5.4 pour une généralisation.)

1.4.8

Enfin, ces conditions sont locales pour la topologie de Zariski (et même étale) : si $U_{i}\rightarrow X$ est un recouvrement de $X$ par des ouverts de Zariski, le faisceau $\mathscr{F}$ est constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de la stratification $\mathfrak{X}$ si et seulement si, pour chaque $i$ , le faisceau $\mathscr{F}_{|U_{i}}$ l’est, le long de la stratification $\mathfrak{X}_{U_{i}}$ de $U_{i}$ .

1.4.9 Mise en garde

Il n’est par contre pas vrai qu’un faisceau à la fois modéré sur un ouvert et sur son complémentaire est nécessairement modéré : il faut que le prolongement par zéro de l’ouvert à l’espace entier soit modéré. Plus précisément, si $j:U{\hookrightarrow}X$ est une immersion ouverte, $i:F{\hookrightarrow}X$ l’immersion fermée du complémentaire et $\mathscr{F}$ un faisceau de torsion inversible sur $X$ tel que $j_{!}j^{\star }\mathscr{F}$ et $i_{\star }i^{\star }\mathscr{F}$ — ou, de façon équivalente, $i^{\star }\mathscr{F}$ — soient modérés, alors $\mathscr{F}$ est modéré : cela résulte de la suite exacte

$$\begin{eqnarray}0\rightarrow j_{!}j^{\star }\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}\rightarrow i_{\star }i^{\star }\mathscr{F}\rightarrow 0.\end{eqnarray}$$

(Notons que les supports des faisceaux étant disjoints, l’extension est modérée sans hypothèse sur les coefficients ; cf. 1.4.4.) Même résultat dans le cas constructible (resp. localement unipotent) le long d’une stratification adaptée à $U$ .

Signalons cependant que cette subtilité — qui aura son importance en 4.4 — n’apparaît pas dans le cas constructible (ou globalement unipotent) : si $\mathscr{F}$ est un faisceau, $U$ un ouvert de complémentaire $F$ et $\mathfrak{X}$ une stratification adaptée à  $U$ , alors $\mathscr{F}$ est constructible (ou globalement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ dès que $\mathscr{F}_{|U}$ et $\mathscr{F}_{|F}$ sont constructibles (resp. globalement unipotents) le long de $\mathfrak{X}_{U}$ et $\mathfrak{X}_{F}$ respectivement.

Pour référence ultérieure, signalons la variante suivante (dont on omettra avec raison la lecture).

1.4.10

Amplification. Soient $j:U{\hookrightarrow}X$ et $k:F^{\circ }{\hookrightarrow}F:=X\setminus U$ deux immersions ouvertes et $\mathfrak{X}$ une stratification de $X$ adaptée à $U$ et $F^{\circ }$ . Notons $j^{\prime }$ l’immersion ouverte de $U^{\prime }:=U\cup F^{\circ }$ dans $X$ . Alors, si $j_{!}j^{\star }\mathscr{F}$ est constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ et $k_{!}k^{\star }(\mathscr{F}_{|F})$ est constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}_{F}$ , alors le faisceau $j_{!}^{\prime }{j^{\prime }}^{\star }\mathscr{F}$ est également constructible (resp. modéré, localement unipotent) le long de $\mathfrak{X}$ .

1.5.1

La famille $\mathbb{F}$ est dite constructible (resp. modérée, localement unipotente) pour la topologie  $\mathtt{T}$ s’il existe une famille couvrante $(q_{i}:X_{i}\rightarrow X)_{i\in I}$ pour la topologie $\mathtt{T}$ et des stratifications $\mathfrak{X}_{i}$ des $X_{i}$ telles que les faisceaux $q_{i}^{\star }\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ , $\unicode[STIX]{x1D706}\in \unicode[STIX]{x1D6EC}$ , soient tous constructibles (resp. modérés, localement unipotents) le long des $\mathfrak{X}_{i}$ (1.1.3). Si l’on souhaite être plus précis, on dit également les faisceaux $\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ sont modérés (resp. rendus localement unipotents) par les  $q_{i},\mathfrak{X}_{i}$ (ou simplement par les $q_{i}$ ). Pour insister sur le fait que l’on considère une famille de faisceaux et non un seul faisceau, on dira parfois que la famille est « uniformément » constructible (resp. modérée, localement unipotente).

Lorsque $\mathtt{T}$ est la topologie grossière, on dit simplement qu’une famille est « constructible (resp. modérée, localement unipotente) sur  $X$  ».

Signalons que la définition précédente, et l’introduction du terme de « famille » de faisceaux, n’est qu’une commodité de langage dont on pourrait se passer (comparer avec [Reference Katz and LaumonKL85, § 3]).

1.5.2 Convention

Pour tout entier $n$ , on note «  $-\mapsto -[1/n]$  » le foncteur de changement de base de $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ à $\text{Spec}(\mathbb{Z}[1/n])$ . Par exemple, si $X$ est un schéma, on note $X[1/n]$ le produit fibré $X\times _{\text{Spec}(\mathbb{Z})}\text{Spec}(\mathbb{Z}[1/n])$ . De même pour un morphisme de schémas ou une stratification par exemple. Si cela ne semble pas prêter à confusion, nous noterons parfois «  $-\mapsto -^{\dagger }$  » ce foncteur, l’entier $n$ étant alors sous-entendu.

Pour éviter certaines lourdeurs, nous omettrons parfois la mention de ces foncteurs. Par exemple, étant donné un schéma nœthérien $X$ , on dira de manière abusive qu’une famille de faisceaux $\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ de $\mathbb{Z}/n_{\unicode[STIX]{x1D706}}\mathbb{Z}$ -modules sur $X[1/n_{\unicode[STIX]{x1D706}}]$ est « constructible sur $X$  » s’il existe une stratification $\mathfrak{X}$ de $X$ telle que les $\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ soient constructibles le long de $\mathfrak{X}[1/n_{\unicode[STIX]{x1D706}}]$ .

1.5.3

Une famille est constructible (resp. modérée, localement unipotente) pour la topologie étale si et seulement si elle l’est pour la topologie grossière (c’est-à-dire sur $X$ ).

La proposition suivante — dont nous ne ferons pas usage dans cet article — limite sérieusement l’intérêt de la définition 1.5.1 dans le cas constructible. (Voir également la proposition 1.6.7 infra pour un énoncé de modération « automatique » pour une famille à un élément.) Elle renforce le résultat bien connu selon lequel un faisceau $\mathscr{F}$ sur $X$ est constructible si et seulement si son image inverse par un morphisme surjectif de présentation finie l’est ([SGA 4 IX, 2.8] ; voir aussi [Reference OrgogozoOrg06, § 9.1, 10.5]).

Une famille constructible localement pour les topologies considérées dans cette article (topologie $h$ , topologie des altérations) est donc même constructible pour la topologie grossière.

1.6.1 Motivations

Comme signalé dans l’introduction, nous utiliserons principalement dans cet article la topologie propre ou — compte tenu du caractère Zariski (et même étale) local de nos conditions — la topologie  $h$ . (Voir aussi 1.6.5 infra.) Les dévissages, de nature géométrique ou faisceautique (cf. la proposition 1.1.4), et le formalisme des six opérations font jouer un rôle clef aux immersions fermées. Le résultat suivant de O. Gabber a pour conséquence que tout se passe dans cet article comme si tout $h$ -recouvrement d’un fermé est trace d’un $h$ -recouvrement de l’espace ambiant.

La suite de cette section 1.6 est consacrée à la démonstration de cette proposition et quelques conséquences.

1.6.3 Cas propre

Il résulte de [Reference OrgogozoOrg06, lemme 4.3] (également dû à O. Gabber) que le cas propre se ramène au cas fini, traité ci-dessous. Pour la commodité du lecteur, nous rappelons brièvement l’argument. Comme expliqué dans [Reference OrgogozoOrg06], il résulte du théorème de platification par éclatement qu’il existe pour tout sous-schéma fermé intègre $Z$ de $F$ un éclatement $\widetilde{Z}\rightarrow Z$ et un diagramme commutatif

Par compacité de $F^{\text{cons}}$ [ÉGA I, 7.2.11–13], il existe un nombre fini de fermés intègres $Z_{i}$ tels que $F$ soit la réunion des ouverts $Z_{i}-R_{i}$ , où $R_{i}$ est le centre de l’éclatement $\widetilde{Z}_{i}\rightarrow Z_{i}$ .

Soit $\widetilde{X}$ l’éclatement dominant les éclatés de $X$ le long des $R_{i}$ et notons $T_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ les composantes irréductibles du produit fibré $F_{\widetilde{X}}:=F\times _{X}\widetilde{X}$ . Par construction, chaque $T_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ s’envoie sur un $\widetilde{Z_{i}}$ . Le schéma $T^{\prime }=\coprod _{\unicode[STIX]{x1D6FC}}T_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}^{\prime }$ , obtenu par changement de base comme dans le diagramme ci-dessous, est alors fini surjectif sur $F_{\widetilde{X}}$ et il existe un $F$ -morphisme de $T^{\prime }$ vers $F^{\prime }$ . Comme annoncé, ceci nous ramène au cas où le morphisme $F^{\prime }{\twoheadrightarrow}F$ est fini (surjectif).

1.6.4 Cas fini

On commence par supposer $X$ affine pour simplifier.

1.6.4.2

Lorsque dans la proposition 1.6.2 le schéma $X$ est affine, le morphisme fini $F^{\prime }\rightarrow F$ correspond à un morphisme fini $\mathscr{O}(F)\rightarrow \mathscr{O}(F^{\prime })$ de $\mathscr{O}(X)$ -algèbres. Choisissons arbitrairement des générateurs $a_{1},\ldots ,a_{n}$ de $\mathscr{O}(F^{\prime })$ sur $\mathscr{O}(F)$ satisfaisant des équations unitaires $q_{i}\in Q\subseteq \mathscr{O}(F)[t]$ , que l’on relève (arbitrairement) en des équations unitaires $p_{i}\in P\subseteq \mathscr{O}(X)[t]$ . Soit $X^{\prime }:=\text{Sdu}_{X}(P)$ le schéma de décomposition universel associé ; le produit fibré $F_{X^{\prime }}:=F\times _{X}X^{\prime }$ est alors $\text{Sdu}_{F}(Q)$ .

Soit $x^{\prime }$ un point de $X^{\prime }$ d’image $x\in F$ dans $X$ . Pour tout point $f^{\prime }$ de $F^{\prime }$ au-dessus de $x$ , il existe par construction un $x$ -morphisme $x^{\prime }\rightarrow f^{\prime }$ .

Appliquant ceci aux points maximaux de $F_{X^{\prime }}$ , on observe que pour toute composante irréductible $T_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ de $F_{X^{\prime }}$ il existe un $F$ -morphisme de son point générique vers $F^{\prime }$ . Par construction également, ce morphisme s’étend, de façon unique, à la composante irréductible $T_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ tout entière (munie de la structure réduite). En effet, tout diagramme commutatif comme-ci dessous, où $K,K^{\prime }$ et $K^{\prime \prime }$ sont les corps des fractions d’anneaux intègres $R,R^{\prime }$ et $R^{\prime \prime }$ , se complète par un $R$ -morphisme $R^{\prime }\rightarrow R^{\prime \prime }$ .

1.6.5

La proposition 1.6.2, dans le cas particulier où $F=X$ , entraîne qu’une famille constructible et modérée (resp. constructible et localement unipotente) pour la topologie $h$ l’est aussi pour la topologie des altérations. (On rappelle que ces topologies sont engendrées par les recouvrements de Zariski et les morphismes surjectifs propres, génériquement finis dans le second cas.)

Terminons par une application, qui est une conséquence immédiate du lemme de Gabber précédent et de la possibilité de trivialiser un faisceau lisse par un morphisme fini étale.

1.7.1

Soient $f:X\rightarrow Y$ un morphisme de schémas, munis de la topologie étale, $\{{\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}\}}_{\unicode[STIX]{x1D706}\in \unicode[STIX]{x1D6EC}}$ des faisceaux abéliens sur $X$ et $N\geqslant 0$ un entier. On dit qu’un faisceau abélien $\mathscr{G}$ sur $Y$ est $N$ -extension ponctuelle de sous-quotients des  $\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ (resp. relativement à  $f$ ) s’il existe pour chaque point géométrique $y$ de $Y$ une filtration à $N$ crans de la fibre $\mathscr{G}_{y}$ dont les quotients successifs sont des sous-quotients de fibres des $\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ en des points géométriques de $X$ (resp. au-dessus de $y$ ).

1.7.2 Sorites

Les faits suivants sont de vérification immédiate.

1. (i) Soient $f:X\rightarrow Y$ un morphisme, $\mathscr{F}$ un faisceau abélien sur $X$ , un morphisme $\unicode[STIX]{x1D70B}:X^{\prime }\rightarrow X$ et $f^{\prime }:X^{\prime }\rightarrow Y$ le composé $f\circ \unicode[STIX]{x1D70B}$ . Si un faisceau $\mathscr{G}$ sur $Y$ est $N$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}^{\prime }:=\unicode[STIX]{x1D70B}^{\star }\mathscr{F}$ relativement à $f^{\prime }$ , il est également $N$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ relativement à $f$ .

2. (ii) Soient $f:X\rightarrow Y$ un morphisme, $k:Z{\hookrightarrow}X$ une immersion, et $\mathscr{F}$ un faisceau abélien sur $Z$ . Un faisceau $\mathscr{G}$ sur $Y$ est $N$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ relativement au composé $g:=f\circ k$ si et seulement si il est $N$ -extension ponctuelle de $k_{!}\mathscr{F}$ relativement à $f$ .

3. (iii) Soient $f:X\rightarrow Y$ un morphisme, $\mathscr{F}$ un faisceau sur $X$ ,

   $$\begin{eqnarray}\mathscr{K}_{1}\rightarrow \mathscr{K}\rightarrow \mathscr{K}_{2}\stackrel{+1}{\rightarrow }\end{eqnarray}$$
   un triangle distingué de complexes sur $Y$ et $q$ un entier. Si chaque $\mathtt{H}^{q}(\mathscr{K}_{\unicode[STIX]{x1D706}})$ , $\unicode[STIX]{x1D706}\in \{1,2\}$ , est $N_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ relativement à $f$ , le faisceau $\mathtt{H}^{q}\mathscr{K}$ est $(N_{1}+N_{2})$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ relativement à $f$ .

   (On appliquera ceci au cas particulier où les deux complexes $\mathscr{K}_{\unicode[STIX]{x1D706}}$ sont obtenus par application du foncteur $\mathtt{R}f_{\star }$ à une suite exacte $0\rightarrow \mathscr{F}_{1}\rightarrow \mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}_{2}\rightarrow 0$ de faisceaux sur $X$ .)

4. (iv) Soient $f:X\rightarrow Z=(g:Y\rightarrow Z)\circ (h:X\rightarrow Y)$ un morphisme, $\mathscr{F}$ un faisceau sur $X$ , $\mathscr{G}$ un faisceau sur $Y$ et $\mathscr{H}$ un faisceau sur $Z$ . Si $\mathscr{G}$ est $N_{1}$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ (relativement à $h$ ) et $\mathscr{H}$ est $N_{2}$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{G}$ (relativement à $g$ ), alors $\mathscr{H}$ est $(N_{1}\times N_{2})$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ (relativement à $f$ ).

   (On appliquera ceci au cas particulier où $\mathscr{G}:=\mathtt{R}^{i}h_{\star }\mathscr{F}$ et $\mathscr{H}:=\mathtt{R}^{j}g_{\star }\mathscr{G}$ .)

5. (v) Soient

   
   un carré cartésien avec $g$ surjectif et $\mathscr{F}$ (resp.  $\mathscr{G}$ ) un faisceau abélien sur $X$ (resp.  $Y$ ). Pour tout entier $N\geqslant 0$ , le faisceau $\mathscr{G}$ est $N$ -extension ponctuelle de sous-quotients de $\mathscr{F}$ relativement à $f$ si et seulement si le faisceau $g^{\star }\mathscr{G}$ est $N$ -extension ponctuelle de sous-quotients de ${g^{\prime }}^{\star }\mathscr{F}$ relativement à $f^{\prime }$ .

   (On appliquera ceci au cas particulier où $f$ est un morphisme propre, $\mathscr{G}:=\mathtt{R}^{q}f_{\star }\mathscr{F}$ , et $g^{\star }\mathscr{G}=\mathtt{R}^{q}f_{\star }^{\prime }\mathscr{F}$ .)

2.1.1

Rappelons que si $X$ est un schéma et $j:U{\hookrightarrow}X$ est un ouvert dense, la paire $(X,U)$ est dite torique [Reference MochizukiMoc99, 1.2] ou log-régulière [STG VI, 1.4] si le schéma $X$ muni de la log-structureFootnote ⁴ image directe $\mathscr{O}_{X}\,\cap \,j_{\star }\mathscr{O}_{U}^{\times }{\hookrightarrow}\mathscr{O}_{X}$ est log-régulier et $U$ est l’ouvert de trivialité de cette log-structure. (Par définition, un log-schéma log-régulier est fin et saturé [fs].) Tout log-schéma $(X,M_{X})$ log-régulier est de ce type ; cf. p. ex. [Reference Gabber and RameroGR16, 10.5.53]. L’exemple typique d’une paire torique est constitué d’un schéma régulier $X$ et du complémentaire $U$ du support d’un diviseur à croisements normaux (resp. à croisements normaux strict). Une telle paire est dite régulière (resp. strictement régulière). Réciproquement, toute paire torique $(X,U)$ avec $X$ régulier est une paire régulière au sens précédent. Nous commettrons l’abus de notation suivant : si $(X,U)$ est torique, on désignera également par $(X,U)$ le log-schéma muni de la log-structure introduite ci-dessus.

2.1.2

Soit maintenant $X$ un schéma nœthérien. Rappelons qu’un $X$ -schéma $Y$ est une courbe nodale si le morphisme structural $h:Y\rightarrow X$ est projectif, plat, à fibres géométriques des courbes connexes ayant au pire des singularités quadratiques ordinaires. Nous dirons d’une courbe nodale $h:Y\rightarrow X$ qu’elle est adaptée à une paire $(Y^{\circ },X^{\circ })$ , où $Y^{\circ }$ (resp.  $X^{\circ }$ ) est un ouvert dense de $Y$ (resp.  $X$ ) lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

1. – le morphisme $h$ est lisse au-dessus de $X^{\circ }$  ;

2. – il existe un diviseur $D$ étale sur $X$ contenu dans le lieu lisse de $h$ tel que $Y^{\circ }=h^{-1}(X^{\circ })\cap (Y-D)$ .

Un lien avec la géométrie logarithmique est donné par la proposition bien connue suivante ([STG VI, 1.9], [Reference MochizukiMoc99, 4.2] ou [Reference SaitoSai04, 1.12]).

(Voir aussi 2.3.6.)

2.2.1

Soient $X$ un schéma régulier connexe, $D$ un diviseur à croisements normaux et $U=X\setminus D$ . Pour tout faisceau $\mathscr{L}$ lisse sur $U$ il est équivalent de demander que le prolongement par zéro $j_{!}\mathscr{L}$ soit modéré au sens de 1.3.1 ou bien que $\mathscr{L}$ soit modéré le long de  $D$ au sens usuel (c’est-à-dire : pour tout point maximal $d$ de $D$ , l’inertie sauvage du corps discrètement valué $\text{Frac}(\mathscr{O}_{X,d})$ agit trivialement). Seule une implication est non triviale ; elle résulte immédiatement du lemme d’Abhyankar usuel [SGA 1 XIII, 5.2].

2.2.2

Considérons maintenant une variante logarithmique du critère de modération précédent s’appuyant sur un théorème de pureté logarithmique (Katô K., cf. p. ex. [Reference MochizukiMoc99, 3.3]). On ne suppose plus la paire $(X,U)$ régulière mais seulement torique. La condition de modération en les points maximaux du diviseur $D$ garde un sens, car $X$ est normal ([Reference KatoKat94, 4.1] ou [Reference Gabber and RameroGR16, 10.5.29]). Si un faisceau abélien $\mathscr{L}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -modules, lisse sur $U$ , satisfait cette condition, il existe un revêtement étale $U^{\prime }\rightarrow U$ , modéré le long de $D$ (au sens usuel, [Reference Gabber and RameroGR16, 11.3.16], [Reference IllusieIll81, 2.6]) trivialisant $\mathscr{L}$ . Soit $X^{\prime }$ le normalisé de $X$ dans $U^{\prime }$  ; le morphisme $X^{\prime }\rightarrow X$ est fini et surjectif. D’après [Reference Gabber and RameroGR16, 11.3.43], la paire $(X^{\prime },U^{\prime })$ est torique et le morphisme de log-schémas $(X^{\prime },U^{\prime })\rightarrow (X,U)$ est un revêtement log-étale, au sens de [Reference Gabber and RameroGR16, 11.3.13]. Lorsque $X$ est strictement local d’exposant caractéristique résiduel $p$ , le groupe fondamental logarithmique de la paire $(X,U)$ est abélien d’ordre profini premier à $p$ [Reference Gabber and RameroGR16, 11.3.41]. Il en résulte formellement que le faisceau $j_{!}\mathscr{L}$ est modéré. Résumons ces observations sous la forme d’un lemme.

2.3.2 Constructibilité

Le faisceau $\mathtt{R}^{i}h_{\star }(j_{!}\mathscr{L})$ est nul sur le fermé $X\setminus X^{\circ }$  : cela résulte du théorème de changement de base propre et du fait que l’ouvert $Y^{\circ }$ ne rencontre pas le fermé $h^{-1}(X\setminus X^{\circ })$ . Montrons maintenant que $\mathtt{R}^{i}h_{\star }(j_{!}\mathscr{L})$ est lisse sur l’ouvert $X^{\circ }$ . On peut supposer $X=X^{\circ }$ . Le lemme bien connu ci-dessous et la propreté de $h$ nous ramènent au cas où $X$ est un trait hensélien, qui résulte de [SGA 7 XIII, 2.1.11].

(Le même argument se trouve dans [Reference PinkPin95, théorème 4].)

2.3.3 Modération : cas où la paire $(X,X^{\circ })$ est torique

Soit $\unicode[STIX]{x1D70B}:(Y^{\prime },Y^{\prime \circ })\rightarrow (Y,Y^{\circ })$ un revêtement log-étale tel que $\mathscr{L}_{|Y^{\prime \circ }}:=\unicode[STIX]{x1D70B}^{\circ \star }\mathscr{L}$ soit constant (2.2.3). La transitivité des images directes et un dévissage classique (cf. par exemple [Th. finitude, A, 1.3.3]), reposant sur le fait que le prolongement par zéro du conoyau de la flèche $\mathscr{L}{\hookrightarrow}\unicode[STIX]{x1D70B}_{\star }^{\circ }\unicode[STIX]{x1D70B}^{\circ \star }\mathscr{L}$ est également modéré, nous ramènent à montrer que pour tout revêtement log-étale $\unicode[STIX]{x1D70F}:(Y^{\prime },Y^{\prime \circ })\rightarrow (Y,Y^{\circ })$ , le faisceau $\mathtt{R}^{i}(h\circ \unicode[STIX]{x1D70F})_{\star }(j_{!}^{\prime }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est modéré. (On note $j^{\prime }$ le changement de base $j\times _{Y}Y^{\prime }$ .) D’après les résultats rappelés au paragraphe précédent, ce faisceau est le prolongement par zéro d’un faisceau lisse sur $X^{\circ }$ . Le lemme d’Abhyankar logarithmique (2.2.3), nous permet de supposer dans le cas torique que $X$ est un trait strictement hensélien, dont nous notons $\unicode[STIX]{x1D702}$ le point générique de sorte que $X^{\circ }=\{\unicode[STIX]{x1D702}\}$ , sans quoi $X=X^{\circ }$ et il n’y a rien à démontrer. Soit $\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}$ un point géométrique au-dessus de $\unicode[STIX]{x1D702}$  ; on veut montrer que l’action de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur $H_{c}^{i}(Y_{\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}^{\prime \circ },\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est modérée. Par lissité de $Y_{\unicode[STIX]{x1D702}}^{\prime \circ }$ sur $\unicode[STIX]{x1D702}$ et dualité de Poincaré, il suffit de démontrer la modération de la cohomologie sans support (en degré cohomologique $2-i$ ). Ceci est un cas particulier du résultat suivant [Reference IllusieIll02, 8.4.3] :

2.3.4 Unipotence : cas d’un trait

Commençons par le cas où $X$ est un trait strictement hensélien et $X^{\circ }=\{\unicode[STIX]{x1D702}\}$ . Notons $s$ le point fermé de $X$ et $\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}$ un point géométrique au-dessus de $\unicode[STIX]{x1D702}$ . On veut montrer que l’action de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur $\mathtt{H}_{c}^{i}(Y_{\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}^{\circ },\mathscr{L})=\mathtt{H}^{i}(Y_{s},\unicode[STIX]{x1D6F9}_{h}j_{\unicode[STIX]{x1D702}!}\mathscr{L})$ est unipotente. Il suffit de montrer que pour chaque $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ , l’action de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur $\unicode[STIX]{x1D6F9}_{h}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(j_{\unicode[STIX]{x1D702}!}\mathscr{L})$ est unipotente, c’est-à-dire (1.2.4) qu’il existe une filtration de ce faisceau à gradué muni de l’action triviale. D’après le lemme 1.2.5, le problème est local (pour la topologie étale) sur $Y_{s}$ (donc sur $Y$ ) et on peut alors supposer, par dévissage, que le faisceau localement unipotent $\mathscr{L}$ est constant, de valeur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour un entier $n$ inversible sur $X$ . Le triangle

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}_{h}(j_{\unicode[STIX]{x1D702}!}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\rightarrow \unicode[STIX]{x1D6F9}_{h}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\rightarrow \unicode[STIX]{x1D6F9}_{h}(i_{\unicode[STIX]{x1D702}\star }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=i_{s\star }\unicode[STIX]{x1D6F9}_{D/X}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\rightarrow +1,\end{eqnarray}$$

où $i$ est l’immersion fermée du diviseur $D$ dans $Y$ (et l’égalité résulte de [SGA 7 XIII, 1.3.6.1]), nous ramène à démontrer l’unipotence des faisceaux $\unicode[STIX]{x1D6F9}_{h}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ . Or, il est bien connu que l’action de l’inertie sur ces faisceaux est triviale (voir par exemple [Reference IllusieIll04, § 3.3] et [SGA 7 I, 3.3]).

2.3.5 Unipotence : cas général

On procède par réduction au cas précédent. Le théorème de changement de base propre nous permet d’une part de supposer le schéma de base $X$ strictement local intègre, de point fermé $x$ et de point générique $\unicode[STIX]{x1D702}\in X^{\circ }$ — dont on note $\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}\rightarrow \unicode[STIX]{x1D702}$ un point générique géométrique — et d’autre part d’exprimer la cohomologie $\mathtt{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}(Y_{\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}},j_{!}\mathscr{L})$ de la fibre générique géométrique comme la cohomologie $\mathtt{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}(Y_{x},\unicode[STIX]{x1D6F9}_{x,\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}(j_{!}\mathscr{L}))$ de la fibre spéciale $Y_{x}$ à coefficients dans un complexe naturellement muni d’une action de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ , calculant la cohomologie des fibres de Milnor :

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}_{x,\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}:=(Y_{x}{\hookrightarrow}Y)^{\star }\mathtt{R}(Y_{\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}\rightarrow Y)_{\star }.\end{eqnarray}$$

(Sur la théorie de P. Deligne des cycles évanescents en dimension  ${\geqslant}1$ , voir par exemple [Reference LaumonLau83].) D’après 1.2.3 et la normalité de $X^{\circ }$ , il suffit de montrer que l’action du groupe de Galois $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur chaque $\mathtt{H}_{c}^{i}(Y_{\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}^{\circ },\mathscr{L})$ est unipotente. La description précédente et le critère 1.2.5 nous ramènent à démontrer l’énoncé local suivant : pour tout entier $0\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 2$ et tout point géométrique $\overline{y}$ de $Y$ localisé en $y\in (Y\setminus Y^{\circ })_{x}$ , l’action du groupe de Galois $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur le groupe de cohomologie $\mathtt{H}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(\overline{V},j_{!}\mathscr{L})=\unicode[STIX]{x1D6F9}_{x,\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(j_{!}\mathscr{L})_{\overline{y}}$ de la fibre de Milnor $\overline{V}:=Y_{(\overline{y})}\times _{X}\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}$ est unipotente. (Rappelons que $j$ est l’immersion ouverte $Y^{\circ }{\hookrightarrow}Y$ .) Par hypothèse, la restriction du faisceau $\mathscr{L}$ à $V:=Y_{(\overline{y})}\times _{X}\unicode[STIX]{x1D702}$ est unipotente ; par dévissage, on peut donc supposer le faisceau $\mathscr{L}$ constant de valeur $L$ . Le triangle $j_{!}L\rightarrow L\rightarrow i_{\star }L\stackrel{+1}{\rightarrow }$ sur $Y_{\unicode[STIX]{x1D702}}$ nous ramène à montrer que l’action de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur $\mathtt{H}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(\overline{V},L)$ et $\mathtt{H}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}-1}(\overline{V}\times _{Y}D,L)$ est unipotente, où $D$ est le fermé de $Y$ constitué des diviseurs horizontaux. Par locale acyclicité des morphismes lisses seul est à considérer le premier groupe, dans le cas particulier où $y$ est un point singulier du morphisme $h$ . Notons que le lieu singulier du morphisme $h$ est fini sur la base : la proposition [ÉGA II, 7.1.7] nous permet comme dans le lemme ci-dessus (et [Reference OrgogozoOrg06, § 7.1]) de supposer que $X$ est un trait, par comparaison avec la théorie classique des cycles évanescents de Grothendieck. (On utilise ici un théorème de P. Deligne de commutation au changement de base, rappelé en [Reference OrgogozoOrg06, prop. 6.1].)

2.3.6 Modération : cas général (esquisse)

Comme dans le paragraphe précédent, on se ramene à démontrer l’énoncé local suivant (pour $X$ strictement local, de point fermé $x$ ) : pour tout point géométrique $\overline{y}$ de $Y$ localisé en $y\in (Y\setminus Y^{\circ })_{x}$ , l’action du groupe de Galois $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur les groupes de cohomologie $\mathtt{H}^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(\overline{V},j_{!}\mathscr{L})$ de la fibre de Milnor $\overline{V}:=Y_{(\overline{y})}\times _{X}\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}$ est d’ordre premier à l’exposant caractéristique $p$ de $x$ . Nous traitons ici le cas où $Y\rightarrow X$ n’est pas lisse en $y$ , l’autre cas étant semblable et plus élémentaire. D’après [Reference KatoKat00, § 2, p. 227]Footnote ⁵ (voir aussi [Reference MochizukiMoc95, § 3]), le morphisme $h:Y\rightarrow X$ est sous-jacent à un morphisme log-lisse saturé $(Y,\mathscr{N})\rightarrow (X,\mathscr{M})$ entre log-schémas fins et saturés (fs) tel que le lieu de trivialité de $(Y,\mathscr{N})$ (resp. de $(X,\mathscr{M})$ ) contienne la fibre $Y_{\unicode[STIX]{x1D702}}$ (resp.  $\unicode[STIX]{x1D702}$ ). Notons $V$ la fibre $Y_{(\overline{y})}\times _{X}\unicode[STIX]{x1D702}$ , normale par [Reference Gabber and RameroGR16, 10.7.17 (i)] ; la restriction à $V$ du faisceau $\mathscr{L}$ correspond à une représentation de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(V)$ , qui — par hypothèse de modération — se factorise à travers son plus grand quotient $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(V)_{\bot p}$ premier à $p$  : le groupe fondamental du schéma $V$ est un quotient du groupe de Galois du point générique $v$ de $V$ et l’action de ce dernier se factorise par hypothèse à travers un quotient premier à $p$ . Les revêtements d’ordre premier à $p$ de $\overline{V}$ étant modérés, ils proviennent de la log-structure d’après le théorème [Reference Gabber and RameroGR16, 11.4.39] d’acyclicité des morphismes log-lisses : il existe donc un morphisme Kummer-étale $(Y^{\prime },\mathscr{N}^{\prime })\rightarrow (Y,\mathscr{N})$ tel que la restriction de $\mathscr{L}$ à la fibre $V^{\prime }=Y_{(\overline{y})}^{\prime }\times _{X}\unicode[STIX]{x1D702}$ correspondante soit l’image inverse d’un faisceau sur $\unicode[STIX]{x1D702}$ , de monodromie première à $p$ . (On utilise ici le fait que le groupe fondamental de $V$ est extension de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ par le groupe fondamental de $\overline{V}$ .) Ceci nous ramène à démontrer la modération dans le cas particulier où $\mathscr{L}$ est un faisceau constant. Par commutation des cycles proches aux changements de base dans ce cas (rappelée en 2.3.5 supra), on peut supposer que $X$ est un trait, de corps des fractions $\unicode[STIX]{x1D705}(\unicode[STIX]{x1D702})$ . La modération est connue dans ce cas (2.3.3).

2.4.2 Cas modéré

L’énoncé étant local pour la topologie étale, on peut supposer $X$ strictement local. Le diviseur $D$ est donc réunion transverse de diviseurs réguliers $D_{i}=\text{div}(t_{i})$ , où les $t_{1},\ldots ,t_{b}$ sont des éléments de $\unicode[STIX]{x1D6E4}(X,\mathscr{O}_{X})$ . Comme dans [Reference DeligneDel80, § 1.7.8], posons $X_{r}:=X[(t_{i})^{1/r}:1\leqslant i\leqslant b]$ pour chaque entier $r\geqslant 1$ . C’est un schéma régulier [SGA 1 XIII, 4.1] et $X_{r}^{\circ }:=X^{\circ }\times _{X}X_{r}$ est le complémentaire d’un diviseur strictement à croisements normaux $D_{r}$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}$ le morphisme fini $X_{r}\rightarrow X$ , $\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}^{\circ }:X_{r}^{\circ }\rightarrow X^{\circ }$ le morphisme étale qui s’en déduit par restriction à l’ouvert $X^{\circ }$ et $j_{r}:X_{r}^{\circ }{\hookrightarrow}X_{r}$ l’immersion ouverte. L’hypothèse de modération assure que pour chaque $\mathscr{L}$ comme dans l’énoncé il existe un entier $r$ , premier à la caractéristique résiduelle de $X$ , tel que $\mathscr{L}_{r}:=\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}^{\circ \star }\mathscr{L}$ soit un faisceau constant sur $X_{r}^{\circ }$ , de fibre que nous notons $L$ (droit).

Le morphisme d’adjonction $\mathscr{L}\rightarrow \mathscr{L}^{\prime }:=\unicode[STIX]{x1D70B}_{r_{\star }}^{\circ }\mathscr{L}_{r}$ étant injectif de conoyau lisse et modéré le long de $D$ , il suffit — par récurrence sur le degré cohomologique — d’établir la proposition pour le faisceau $\mathscr{L}^{\prime }$ . (Comparer avec [Th. finitude, A, 1.3.3] et 2.3.3.) Par transitivité des images directes, on a $\mathtt{R}j_{\star }\mathscr{L}^{\prime }={\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}}_{\star }\mathtt{R}{j_{r}}_{\star }\mathscr{L}_{r}$ . Puisque l’image directe par $\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}$ transforme un faisceau constructible modéré le long de $\mathfrak{D}_{r}$ en un faisceau constructible modéré le long de $\mathfrak{D}$ , il suffit de traiter le cas $r=1$ , c’est-à-dire $\mathscr{L}$ constant. Cela résulte de la pureté cohomologique absolue, démontrée par O. Gabber (voir par exemple [STG XVI, 3.1.4]).

2.4.3 (i) : commutation au changement de base

La propreté cohomologique du morphisme fini ${\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}}_{\star }$ nous permet, comme dans le paragraphe précédent, de nous ramener au cas particulier où le faisceau $\mathscr{L}$ est constant : on veut montrer que le faisceau $\mathtt{R}^{c}j_{\star }L$ commute aux changements de base $S^{\prime }\rightarrow S$ lorsque $L$ est constant, fini, de torsion inversible sur $S$ . Cela résulte de [Th. finitude, A, 1.3.3 (i)].

2.4.4 (ii) : étude à l’infini, cas modéré

On démontre maintenant l’énoncé 2.4.1(ii) dans le cas modéré, en « passant à la limite sur $r$  ». (Cette présentation, plus élégante que l’originale, nous a été proposée par O. Gabber.Footnote ⁶ )

Fixons un entier $c\geqslant 0$ . Le problème étant à nouveau local pour la topologie étale, on peut supposer $\overline{X}$ strictement local, d’exposant caractéristique $p\geqslant 1$ . Soit $\overline{d}$ un point géométrique localisé en $d\in D:=X\setminus X^{\circ }$ , d’exposant caractéristique $p_{d}$ divisant $p$ . (L’énoncé à démontrer est trivial si on se place en un point de $\overline{X}\setminus X$ ou de $X^{\circ }$ .) On veut montrer que l’action du groupe de Galois $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(d,\overline{d})$ sur $\mathtt{H}^{c}(X_{(\overline{d})}^{\circ },\mathscr{L})$ — où $X_{(\overline{d})}^{\circ }$ est l’ouvert normal $X^{\circ }\times _{X}X_{(\overline{d})}$ de l’hensélisé strict en $\overline{d}$ — se factorise à travers un quotient premier à $p$ . Par pureté, les dévissages du paragraphe précédent montrent que ce groupe de cohomologie est isomorphe à $\mathtt{H}^{c}(\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}^{\text{mod}}(X_{(\overline{d})}^{\circ },\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}),L)$ , où $L$ est la fibre de $\mathscr{L}$ en un point générique géométrique $\overline{\unicode[STIX]{x1D702}}$ de $X_{(\overline{d})}^{\circ }$ localisé en un point $\unicode[STIX]{x1D702}$ de $X_{(\overline{d})}^{\circ }$ , et $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}^{\text{mod}}(X_{(\overline{d})}^{\circ },\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ est (non canoniquement) isomorphe à $\widehat{\mathbb{Z}}^{(p_{d}^{\prime })}(1)^{b}$ , où $b$ est le nombre de branches de $D$ en $\overline{d}$ . Le faisceau $\mathscr{L}$ étant modéré sur $\overline{X}$ , l’action du quotient $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(X_{(d)}^{\circ },\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(\unicode[STIX]{x1D702},\overline{\unicode[STIX]{x1D702}})$ sur $L$ se fait à travers un quotient d’ordre premier à $p$ . La conclusion résulte alors du lemme ci-dessous, appliqué à la suite exacte déduite de $1\rightarrow \unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(X_{(\overline{d})}^{\circ })\rightarrow \unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(X_{(d)}^{\circ })\rightarrow \unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(d,\overline{d})\rightarrow 1$ par le quotient caractéristique $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(X^{\circ }(\overline{d})){\twoheadrightarrow}\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}^{\text{mod}}(X_{(\overline{d})}^{\circ })=\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(X_{(\overline{d})}^{\circ })/N$ , où $G$ est le groupe de Galois, $A$ le groupe fondamental modéré $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}^{\text{mod}}(X_{(\overline{d})}^{\circ })$ et enfin $\unicode[STIX]{x1D70B}$ le quotient $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(X_{(d)}^{\circ })/N$ . Notons que les groupes d’inertie modérés en les points maximaux de $D$ engendrent $A$ et sont stables sous l’action naturelle de $G$ car les branches sont définies sur l’hensélisé (non strict) $X_{(d)}^{\circ }$ .

2.4.5 (ii) : cas unipotent

Comme précédemment, on peut supposer $\overline{X}$ strictement local et, par hypothèse, $\mathscr{L}$ extension de faisceaux constants sur $X^{\circ }$ puis, par dévissage immédiat, constant et même isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ quitte à remplacer $n$ par un diviseur. Il s’agit donc de montrer la locale unipotence des faisceaux $k_{!}\mathtt{R}^{c}j_{\star }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , pour $n$ inversible sur $\overline{X}$ . Cela résulte immédiatement de la pureté cohomologique absolue [STG XVI, 3.1.4].

Ceci achève la démonstration de la proposition 2.4.1. Nous souhaitons maintenant borner la taille des images directes par l’immersion ouverte $j$ . (L’étude des fibres de $k_{!}\mathtt{R}j_{\star }$ s’y ramène immédiatement.)

« extension ponctuelle » : cf. 1.7.

Démonstration.

Reprenons les notations du paragraphe 2.4.2. Soient $r$ tel que $\unicode[STIX]{x1D70B}_{r}^{\circ \star }\mathscr{L}$ soit constant, de fibre $L$ , et $\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D707}}_{r,X}$ le groupe cyclique d’ordre $r$ des racines de l’unité d’ordre divisant $r$ dans $\unicode[STIX]{x1D6E4}(X,\mathscr{O}_{X})$ . Le revêtement $X_{r}^{\circ }\rightarrow X^{\circ }$ étant galoisien de groupe $\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D707}}_{r,X}^{b}$ , le complexe $\mathtt{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}(X^{\circ },\mathscr{L})$ se réécrit $\mathtt{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D707}}_{r,X}^{b},\mathtt{R}\unicode[STIX]{x1D6E4}(X_{r}^{\circ },L))$ . Rappelons [Reference SerreSer68, VIII.§ 4] que si $G=\langle \unicode[STIX]{x1D70E}\rangle$ est un groupe cyclique et $M$ un $G$ -module, la cohomologie de $G$ à valeurs dans $M$ est représentée par le complexe périodique

où $t=\sum _{g\in G}g$ , et le premier $M$ est placé en degré $0$ . Cette description, uniforme en $r$ , nous ramène au cas particulier où $r=1$ , c’est-à-dire où $\mathscr{L}$ est constant, que l’on peut alors supposer isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Dans ce cas, la conclusion résulte de la pureté : $\displaystyle \mathtt{H}^{c}(X^{\circ },\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\bigwedge ^{c}(\mathbb{Z}^{b}/n\mathbb{Z}^{b})$ .

Alternativement, on aurait pu passer à la limite sur $r$ et utiliser la description de $\mathtt{H}^{c}(A,L)$ faite en 2.4.4. Ceci permet d’ailleurs d’établir immédiatement l’annulation $\mathtt{H}^{c}(X^{\circ },\mathscr{L})=0$ pour $c>b$ .◻

3.1.2

Tout faisceau abélien constructible sur un schéma nœthérien étant modéré par un morphisme fini surjectif (cf. 1.6.7), on peut voir l’énoncé 3.1.1 comme une amélioration du théorème classique de constructibilité des images directes par un morphisme propre [SGA 4 XIV, 1.1], du moins lorsque l’on suppose la base nœthérienne quasi-excellente. (L’hypothèse d’excellence est d’ailleurs superflue ; voir 3.5.5 pour une esquisse d’argument, dont les détails sont laissés au lecteur.)

Il est également naturel d’exprimer le théorème précédent sous forme « dérivée ».

3.1.3

Soient $\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}$ comme ci-dessus et $n$ inversible sur $X$ . Notons $D_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}}^{b\;\text{mod}}(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ la sous-catégorie pleine triangulée de $D_{c}^{b}(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ des complexes à cohomologie constructible le long de  $\mathfrak{X}$ et modérée par $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ . Il existe $\unicode[STIX]{x1D6FD},\mathfrak{S}$ tels que $\mathtt{R}f_{\star }:D_{c}^{b}(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\rightarrow D_{c}^{b}(S,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ induise un foncteur entre les sous-catégories $D_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}}^{b\;\text{mod}}(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\rightarrow D_{\unicode[STIX]{x1D6FD},\mathfrak{S}}^{b\;\text{mod}}(S,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ . (Comparer avec [Reference Beilinson, Bernstein, Deligne and GabberBBDG82, § 2.2.10–17].) Soit maintenant $\text{}\underline{n}=(n_{i})_{i\in I}$ une famille d’entiers. Notons $D_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}}^{b\;\text{mod}}(X,\mathbb{Z}/\text{}\underline{n}\mathbb{Z})$ la catégorie triangulée produit $\prod _{i}D_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}}^{b\;\text{mod}}(X[1/n_{i}],\mathbb{Z}/n_{i}\mathbb{Z})$ et $D_{c}^{b\;\text{mod}}(X,\mathbb{Z}/\text{}\underline{n}\mathbb{Z})_{h}$ la colimite sur $(\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X})$ des catégories triangulées $D_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}}^{b\;\text{mod}}(X,\mathbb{Z}/\text{}\underline{n}\mathbb{Z})$ .

Si $f:X\rightarrow S$ est un morphisme propre, le théorème ci-dessus affirme que les foncteurs $\mathtt{R}f_{\star }:D_{c}^{b}(X[1/n_{i}],\mathbb{Z}/n_{i}\mathbb{Z})\rightarrow D_{c}^{b}(S[1/n_{i}],\mathbb{Z}/n_{i}\mathbb{Z})$ induisent un foncteur

$$\begin{eqnarray}D_{c}^{b\;\text{mod}}(X,\mathbb{Z}/\text{}\underline{n}\mathbb{Z})_{h}\rightarrow D_{c}^{b\;\text{mod}}(S,\mathbb{Z}/\text{}\underline{n}\mathbb{Z})_{h}.\end{eqnarray}$$

Mêmes énoncés pour les catégories $D_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\mathfrak{X}}^{b\;\text{unip}}(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ et $D_{c}^{b\;\text{unip}}(X,\mathbb{Z}/\text{}\underline{n}\mathbb{Z})_{h}$ , définies de manière évidente.

Ces énoncés sont non triviaux même lorsque tous les $n_{i}$ sont égaux : si l’on ne considère par exemple que des $\mathbb{F}_{\ell }$ -faisceaux dans le théorème 3.1.1 (pour un $\ell$ fixé), la conclusion ne résulte pas directement, pour $I$ de cardinal ${>}1$ , du théorème de constructibilité usuel et fixer un $\ell$ ne semble d’ailleurs pas simplifier la démonstration. Notons cependant que si les entiers $n_{i}$ sont des puissances d’un même nombre premier $\ell$ , la généralité apportée par l’ensemble d’indices $I$ est illusoire : un $\mathbb{Z}/\ell ^{r}\mathbb{Z}$ -faisceau constructible $\mathscr{F}$ est muni d’une filtration $\mathscr{F}_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}:=\ell ^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\mathscr{F}$ de gradués des $\mathbb{F}_{\ell }$ -faisceaux constructibles, lisses (resp. modérés, localement unipotents) si et seulement si il en est ainsi de $\mathscr{F}$ . (Si $\mathscr{F}$ est même plat, les gradués non nuls sont isomorphes à $\mathscr{F}/\ell \mathscr{F}$ .)

3.2.1

Soient $k$ un corps algébriquement clos, $U_{0}$ un ouvert de $X_{0}=\mathbf{P}_{k}^{1}$ et $X=\mathbf{A}_{k}^{2}$ . On considère l’application rationnelle $X{\dashrightarrow}X_{0}$ , $(u,v)\mapsto t=u/v$ et l’on note $U\subseteq X$ l’ouvert complémentaire des droites $u=\unicode[STIX]{x1D706}v$ pour $\unicode[STIX]{x1D706}\in X_{0}-U_{0}$ . Notons $O\in X$ l’origine, $X_{(O)}$ l’hensélisé (strict) et $U_{(O)}$ le produit fibré $X_{(O)}\times _{X}U$ . Le morphisme $U\rightarrow U_{0}$ induit un morphisme entre les groupes fondamentaux, de même que $U_{(O)}\rightarrow U$ . Par composition, on en déduit un morphisme $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(U_{(O)})\rightarrow \unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(U_{0})$  ; nous allons voir que ce dernier morphisme est surjectif. (La surjectivité de $\unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(U)\rightarrow \unicode[STIX]{x1D70B}_{1}(U_{0})$ est quant à elle triviale, $U\rightarrow U_{0}$ ayant une section.)

Soit $V_{0}$ un revêtement fini étale connexe de $U_{0}$  ; on veut montrer que le produit fibré $V_{0}\times _{U_{0}}U_{(O)}$ est également connexe. Notons $Y_{0}$ la normalisation de $X_{0}$ dans $V_{0}$ et $Y$ celle de $X$ dans l’image inverse $V:=V_{0}\times _{U_{0}}U$ . Montrons que la fibre de $Y\rightarrow X$ au-dessus de l’origine $O$ est connexe, c’est-à-dire est un point. Soit $X^{\prime }$ l’éclatement de $X$ en l’origine ; c’est un fibré en $\mathbf{A}^{1}$ sur $X_{0}$ . Il en est donc de même du produit fibré $Y^{\prime }:=X^{\prime }\times _{X_{0}}Y_{0}$ sur $Y_{0}$ . De la normalité de $Y^{\prime }$ , donc de $\mathscr{O}(Y^{\prime })$ , et de l’égalité $Y_{U}^{\prime }=V$ , on tire que le morphisme $Y\rightarrow X$ est la factorisation de Stein du morphisme $Y^{\prime }\rightarrow X$ . La fibre de $Y^{\prime }\rightarrow X$ au-dessus de l’origine étant $Y_{0}$ , donc connexe, il en est de même de celle de $Y\rightarrow X$ .Footnote ⁷

3.2.2

Soient maintenant $p$ un nombre premier impair, $k=\mathbb{F}_{p}$ , $g\geqslant 1$ et $f\in k[x]$ un polynôme de degré $2g$ sans facteur carré. Notons $U_{0}$ l’ouvert $\text{Spec}(k[t][f(t)^{-1}])$ de $\mathbf{A}_{k}^{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D70B}_{U_{0}}:\mathscr{C}\rightarrow U_{0}$ la courbe projective lisse d’équation affine $y^{2}=f(x)(t-x)$ . Pour chaque nombre premier impair $\ell \neq p$ , notons $\mathscr{F}_{\ell }$ le $\mathbb{F}_{\ell }$ -faisceau lisse $\mathtt{R}^{1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{U_{0}\star }\mathbb{F}_{\ell }$ sur $U_{0}$ . D’après [Reference IgusaIgu59] lorsque $g=1$ et [Reference YuYu95] en général, le groupe de monodromie géométrique de $\mathscr{F}_{\ell }$ est tout le groupe symplectique $\text{Sp}(2g,\mathbb{F}_{\ell })$ . Rappelons rapidement un argument possible : le prolongement par zéro de $\mathscr{F}_{\ell }$ à $\mathbf{A}_{k}^{1}$ étant convolution additive de deux faisceaux de Kummer (quadratiques) explicites (voir [Reference Katz and SarnakKS99, 10.1.17]), les résultats généraux de [Reference KatzKat88, ch. 8] entraînent que le faisceau $\mathscr{F}_{\ell }$ est « Fourier-irréductible » au sens d’op. cit. La conclusion résulte alors de la théorie de Picard–Lefschetz — la monodromie est engendrée par des transvections — et d’un théorème de théorie des groupes [Reference Zalesskiĭ and SerëžkinZS76]. (Voir aussi [Reference Katz and SarnakKS99, p. 293–300] ainsi que [Reference DeligneDel74a, 5.11] pour des variantes $\ell$ -adiques.)

3.2.3

Soit $U$ l’ouvert de $X=\mathbf{A}_{k}^{2}$ défini à partir de $U_{0}$ comme en 3.2.1. On étend la courbe $\unicode[STIX]{x1D70B}_{U}:=\unicode[STIX]{x1D70B}_{U_{0}}\times _{U_{0}}U$ en une courbe propre $\unicode[STIX]{x1D70B}_{X}$ au-dessus de $X$ par normalisation, en voyant $\mathscr{C}\times _{U_{0}}U$ comme un revêtement double de $\mathbf{P}_{U}^{1}$ . Pour chaque $\ell \neq p$ impair, la monodromie locale en l’origine $O\in X$ du faisceau lisse $\mathtt{R}^{1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{U\star }\mathbb{F}_{\ell }$ sur $U$ est, d’après les résultats des deux paragraphes précédents, le groupe $\text{Sp}(2g,\mathbb{F}_{\ell })$ . RappelonsFootnote ⁸ que son cardinal est le produit $\ell ^{g^{2}}\prod _{1}^{g}(\ell ^{2i}-1)$ . Il en résulte que lorsqu’une puissance $p^{r}$ de $p$ divise $\ell -1$ — ce qui se produit pour une infinité de nombres premiers $\ell$ — les $p$ -Sylow de la monodromie locale en l’origine sont de cardinal au moins  $p^{r}$ .

Ceci a pour conséquence qu’il n’existe pas de $X$ -morphisme fini surjectif modérant simultanément tous les faisceaux $\mathtt{R}^{1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{X\star }\mathbb{F}_{\ell }$ , pour $\ell \neq p$ impair. Par contre, l’éclatement $X^{\prime }\rightarrow X$ convient car chaque $\mathtt{R}^{1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{X_{0}\star }\mathbb{F}_{\ell }$ est modéré sur $X_{0}$ , de même que son tiré en arrière par $X^{\prime }\rightarrow X_{0}$ .

3.3.1 Réduction au cas où $X^{\prime }=X$

Nous vérifions ici que le théorème d’uniformité propre découle du cas particulier où l’altération $\unicode[STIX]{x1D6FC}:X^{\prime }\rightarrow X$ de la source est l’identité. Soit $X_{\bullet }$ le cosquelette de $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ — c’est un hyperrecouvrement propre de $X$ ([SGA 4 Vbis], [Reference DeligneDel74b, 5.3.8]) — et notons $\mathfrak{X}_{j}$ ( $j\geqslant 0$ ) les stratifications déduites de $\mathfrak{X}$ sur $X^{\prime }=X_{0}$ par image inverse sur chaque $X_{j}$ . Pour tout faisceau $\mathscr{F}$ sur $X[1/n]$ comme dans l’énoncé, on a $\mathtt{R}f[1/n]_{\star }\mathscr{F}=\mathtt{R}f_{\bullet }[1/n]_{\star }\mathscr{F}_{\bullet }$ , où $f_{\bullet }$ est le morphisme $X_{\bullet }\rightarrow S$ et $\mathscr{F}_{\bullet }$ le tiré en arrière de $\mathscr{F}$ sur (le topos total du schéma simplicial) $X_{\bullet }[1/n]$ .

Si $\mathscr{F}$ est constructible et localement unipotent le long de $\mathfrak{X}[1/n]$ , il en est de même de chaque $\mathscr{F}_{j}$ le long des $\mathfrak{X}_{j}[1/n]$ (1.4). De même, si $\mathscr{F}$ est modéré par $\unicode[STIX]{x1D6FC}[1/n]$ , chaque faisceau $\mathscr{F}_{j}$ sur $X_{j}[1/n]$ est modéré.

Soit $d$ un majorant de la dimension des fibres de $f$ . Supposons que pour chaque $j\leqslant 2d$ , le théorème soit démontré pour le morphisme propre $f_{j}:X_{j}\rightarrow S$ , l’altération identité et la stratification $\mathfrak{X}_{j}$ de $X_{j}$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D6FD}_{j}$ , $\mathfrak{S}_{j}$ et $N_{j}$ respectivement les altérations de $S$ , stratifications et entiers associés.