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Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī et le polygone de Newton

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

Christian Houzel
Christian Houzel
Affiliation:
Université Paris 7, Tour centrale, 2 place Jussieu, 75257 Paris Cédex 05, France
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Abstract

The Treatise on Equations of Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2nd half of the 12th century) is in the tradition of ‛Umar al-Khayyām (d. 1131). However, it has two special features. First, it contains a full discussion of the existence of a solution for third-degree equations, which al-Ṭūsī establishes by proving that the conic curves that represent this solution effectively intersect – a proof based on an intuitive notion of connexity. Secondly, al-Ṭūsī develops algorithms for the numerical resolution of these third-degree equations. The first stage of one of these algorithms follows a procedure which is akin to the so-called method of Newton's polygon.

Le Traité des équations de Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2e moitié du XIIe siècle) se situe dans le prolongement de l'œuvre de ‛Umar al-Khayyām (m. 1131). Il s'en distingue toutefois par deux traits. 1) II contient une discussion complète de I'existence de la solution d'une équation du 3e degré, existence qu'al-Ṭūsī établit en démontrant que les deux courbes coniques destinées à construire cette solution se rencontrent effectivement. Cette démonstration se fonde sur une idée intuitive de la connexité. 2) Il présente des algorithmes pour la résolution numérique des mêmes équations. La première étape de l'un de ces algorithmes suit une procédure qui s'apparente à la méthode dite du polygone de Newton.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 5 , Issue 2 , September 1995 , pp. 239 - 262
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 1995

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References

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19 Ibid., p. 41, fig. 20.

20 Ibid., p. 49, fig. 21.

21 Ibid., p. 57, fig. 22.

22 Ibid., pp. 68–9, fig. 23–1, 23–2, 23–3.

23 Ibid., p. 77, fig. 24.

24 Ibid., p. 88, fig. 25.

25 Ibid., p. 109, fig. 26–1; p. 110, fig. 26–2; p. 111, fig. 26–3.

26 Rashed, Voir, “L'analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham.”Google Scholar

27 Une reconstitution comme celle que propose Hogendijk, J.P. [“Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī on the number of positive roots of cubic equations,” Historia Mathematica, 16 (1989): 69–85] sur la base du livre II des Éléments d'Euclide nous paraît assez forcée.CrossRefGoogle Scholar

28 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, II, pp. 1 sqq.Google Scholar

29 Paraissant dans ce même numéro, pp. 219–37. La reconstitution proposée par N. Farès, bien que fidèle au texte de Ṭūsī et plus convaincante que celle mentionnée dans la note précédente, a l'inconvénient d'ignorer le lien entre cette discussion et la résolution algorithmique de Ṭūsī ainsi que sa justification comme nous allons le voir plus loin.Google Scholar

30 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, pp. LIX sqq.Google Scholar

31 Newton, Voir I., La méthode des fluxions et des suites infinies, trad. Buffon (Paris, 1966).Google Scholar

32 Rashed, R. s'est donné la peine de reconstituer ces tableaux dans le commentaire mathématique de son édition (al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, chap. I).Google Scholar

33 On est étonné de l'absence totale de référence à Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī dans le chapitre 4, consacré à l'algèbre arabe, d'une Geschichte der Algebra collective (sous la direction d'E. Scholz [Mannheim, 1990]) qui contient par ailleurs de bons exposés.Google Scholar