Soient x, y deux variables indépendantes, f{x,y) une fonction de ces deux variables, et x0, X deux valeurs particulières de x. On trouvera, en posant ∇y = αdy et employant les notations adoptées dans la treizième Legon,

puis, en divisant par α dy et faisant converger α vers] a limite zéro,

On aura de même

II suit de ces formules que, pour différentier par rapport à y les intégrales il suffit de différentier sous le signe Tla fonction ƒ(x,y) en résulte encore que les équations

entraînent toujours les suivantes:

Exemples. – En différentiant n fois de suite par rapport à la quantité a chacune des intégrales

on trouvera

Concevons maintenant que la fonction f{x,y) soit continue par rapport aux deux variables x et y, toutes les fois que x reste compris entre les limites x0, X, et y entre les limites y0, Y. II est aisé de voir que, pour de semblables valeurs de x et de y, la seconde des équations (3) entrainera la suivante:

En effet, on tirera de la formule

puis, en multipliant les deux membres par dy et les intégrant par rapport à j, a partir de y = o, on retrouvera la formule (6). On aura par suite

II resulte des formulas (6) et (7) que, pour integrer par rapport ay, et a partir de y=yo, les expressions multipliees par la difFerentielle dy, il suffit d'intégrer sous le signe ƒ, et à partir dey y = y0, la fonction ƒ(x, j) multipliée par cette même différentielle.