Soit u = f(x, y, z, …) une fonction de plusieurs variables indépendantes x, y, z, …. Si l'on difference cette fonction plusieurs fois de suite, soit par rapport à toutes les variables, soit par rapport à l'une d'elles seulement, on obtiendra plusieurs fonctions nouvelles dont chacune sera la dérivée totale ou partielle de la précédente. On pourrait même concevoir que les différentiations successives se rapportent tantôt à une variable, tantôt à une autre. Dans tons les cas, le résultat d'une, de deux, de trois, … différentiations, successivement effectuées, est ce qu'on appelle une différentielle totale ou partielle, du premier, du second, du troisième, … ordre. Ainsi, par exemple, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à toutes les variables, on formera les différentielles totales du, ddu, dddu, … que l'on désigne, pour abréger, par les notations du, d2u, d3u, … Au contraire, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à la variable x, on formera les différentielles partielles dxu, dxdxu, dxdxdxu, … que l'on désigne par les notations dxu, d2xu, d3xu, …. En général, si n est un nombre entier quelconque, la différentielle totale de l'ordre n sera représentée par dnu, et la différentielle du même ordre relative à une seule des variables x, y, z, … par dnxu, dny, dnzu, … Si l'on différential deux ou plusieurs fois de suite par rapport a deux ou à plusieurs variables, on obtiendrait les différentielles partielles du second ordre ou des ordres supérieurs désignées par les notations dxdyu, dydxu, dxdzu, …, dxdydzu, ….