Soient une variable réelle ou imaginaire dont r designe le module ou la valeur numérique, a une valeur particulière de cette variable et f(x) une fonction qui devienne infinie pour x = a. La valeur a de a sera une racine de l'équation et l'on dira que cette équation admet h racines égales à a, h étant un nombre entier quelconque, si le produit acquiert, pour x = a, une valeur finie différente de zéro. Alors, pbur développer immédiatement la fonction f(x) suivant les puissances ascendantes de x — a, on ne pourra plus se servir de l'equation (4o) (page 448), dont le second membre, comprenant des termes infinis, se présentera gynéralement sous une forme indéterminée; mais cette équation pourra encore être appliqueeau développementde l'expression (3) considérée comme fonction de la variable x. D'ailleurs, si, en nommant ρ le module de x — a, et ϕ(p); χ(p) deux fonctions réelles de ce module, on pose on tirera de l'équation citée θ1, θ2 désignant deux nombres inferieurs à l'unité. Si maintenant on divise par (x — a)h les deux membres de la formule (7), on en conclura

A l'aide de cette derniere formule, on pourra développer encore f(x) suivant les puissances entieres et ascendantes de x — a. Seulement, les h premiers termes du developpement, dont la somme, que j'appellerai ψ(x), sera renfermeront des puissances négatives de x — a.