Considérons, dans un plan ou dans l'espace, divers points situés à la même distance r d'un centre fixe. Si, en prenant ce centre pour origine, on détermine la position de chaque point : 1° à l'aide de coordonnées rectilignes x, y, z; 2° à l'aide de coordonnées polaires p, q, r, les coordonnées p, q étant les angles formés par le rayon r avec un rayon fixe, nommé axe polaire, et par le plan de ces deux rayons avec un plan fixe, ou plan polaire, toute fonction entière des coordonnées rectilignes x, y, z sera, en même temps, une fonction entière des sinus et cosinus des angles polaires p, q, par conséquent une fonction entière de chacune des exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les angles + p, − p, + q, − q. D'autre part, on sait que les puissances entières et semblables des diverses racines nièmes de l'unité donnent pour somme n ou zéro, suivant que le degré commun de ces puissances est ou n'est pas un multiple de n. Par suite, si à une puissance entière de l'exponentielle trigonométrique, dont l'argument est l'angle polaire p ou q, on ajoute les puissances semblables des exponentielles trigonométriques diverses, dont les arguments surpassent l'angle p ou q de quantités égales à des multiples de la mieme partie de la circonférence, la somme obtenue sera précisément le produit de la puissance donnée par le nombre n, quand cette puissance sera du nieme degré, ou d'un degré egal à un multiple de n; la même somme sera nulle dans le cas contraire.