USAGE DES DÉRIVÉES PARTIELLES DANS LA DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS COMPOSÉES. DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS IMPLICITES.

Soit s = F(u, v, w, …) une fonction quelconque des quantités variables u, v, w, … que nous supposerons être elles-mêmes fonctions des variables indépendantes x, y, z, …; s sera une fonction composée de ces dernières variables; et, si l'on désigne par Δx, Δy, Δz, … des accroissements arbitrages simultanément attribués à x, y, z, …, les accroissements correspondants Δu, Δv, Δw, …, Δs des fonctions u, v, w, …, s seront lies entre eux par la formule

Soientd'ailleurs ϕ(u, v, w, …), X(u,y, w, …), ψ(u, v, w, …), … les dérivées partielles de la fonction F(u, v, w, …) prises successivement par rapport à u, v, w, … Comme 1’équation (6) de la Leçon précédente a lieu pour des valeurs quelconques des variables x, y, z, … et de leurs accroissements Δx, Δy, Δz, …, on en conclura, en remplacant x, y, z, … par u, v, w, …, et la fonction ƒpar la fonction F,

Dans cette dernière équation, θ1, θ2, θ3, … désignent toujours des nombres inconnus, mais inférieurs à l'unité. Si maintenant on pose

et que l'on divise par α les deux membres de 1’équation (2), on en tirera

puis, en faisant converger α vers la limite zéro,

La valeur de ds fournie par l’équation (4) est semblable à la valeur de da fournie par l’équation (8) de la Leçon précédente.