Abstract. A knot is called invertible if there is an orientation preserving homeomorphism of space which reverses the orientation of the knot. It is called rigidly invertible if the homeomorphism is an involution.

There are knots known to be invertible but not rigidly so (the Montesinos conjecture). In this paper, the author shows that they all have companions of a specific type. In particular, the invertible fibred knots are rigidly invertible.

Un noeud K est une sous-variété lisse, connexe, close de dimension 1, plongée dans la sphère orientée S3.

Un noeud K est dit inversible s'il existe un homéomorphisme du couple (S3, K) qui est de degré +1 dans S3 et de degré -1 sur K (arbitrairement orienté). Le noeud K est dit “rigidement inversible” s'il est inversible et s'il peut être inversé par une involution de S3; cette involution admet alors un cercle de points fixes non noué qui rencontre K en deux points (cf. Montesinos, J.M., 1975).

J.M. Montesinos a conjecturé (cf. Montesinos, J.M., 1975, et Kirby, R., 1978, pb.1-6) que: “tout noeud inversible est rigidement inversible”.

Des contre-exemples à cette conjecture ont été exhibés indépendamment par R. Hartley (1980) et W. Whitten (1981) (1980). Ces contre-exemples K ont tous la propriété suivante : ils admettent tous un compagnon non inversible K0, pour lequel K a un “nombre de tours” (ou “winding number”) nul.