1. Les deux espèces de points de discontinuité. — Parmi les discontinuités que peut présenter une fonction f(x), d'une seule variable réelle, il y a lieu de distinguer un mode simple de discontinuité qui se rencontrera souvent dans la suite.

x0 est point de discontinuité de première espèce pour f(x) si, quand x croìt vers x0, f(x) tend vers une limite bien déterminée qu'on notera, avec Dirichlet, f(x0 — o) et si, quand x décroit vers x0, f(x) a une limite qu'on notera f(x0 + o).

La propriété essentielle des points de discontinuité de première espèce est d'être toujours comparables entre eux; j'entends par là que, si φ a, en x0, un point de discontinuité de première espèce pour lequel φ(x0 + o) et φ(x0 — o) diffèrent, quelle que soit f, admettant aussi x0 comme point de discontinuité de première espèce, on pourra toujours trouver la constanle K de manière que pour F = f + Kφ on ait F(x0 + o) = F(x0 — ο). C'est-à-dire que, au point x0, il ne subsiste plus qu'une discontinuité en quelque sorte artificielle. Rien de pareil n'existe pour les a litres points de discontinuité qu'on appelle points de discontinuité de seconde espèce.

Cette propriété permet, dans certains cas, de conclure pour tous les points de première espèce en s'appuyant sur l'étude d'un point de première espèce particulier (n° 31).