Soit $G$ un groupe algébrique réductif sur la clôture algébrique d’un corps fini $\mathbb{F}_q$ et défini sur ce dernier. L’existence du support unipotent d’un caractère irréductible du groupe fini $G(\mathbb{F}_q)$, ou d’un faisceau caractère de $G$, a été établie dans différents cas par Lusztig, Geck et Malle, et le second auteur. Dans le présent article, nous démontrons que toute classe unipotente sur laquelle la restriction du caractère ou du faisceau caractère donné est non nulle est contenue l’adhérence de Zariski du support unipotent de ce dernier. Pour établir ce résultat, nous étudions certaines représentations des groupes de Weyl, dites “bien supportées”.

Let $G$ be a reductive algebraic group over the algebraic closure of a finite field $\mathbb{F}_q$, and defined over the latter. The existence of a unipotent support for an irreducible character of the finite group $G(\mathbb{F}_q)$, or for a character sheaf on $G$, has been established in several cases by Lusztig, Geck and Malle, and the second author. In this paper, we prove that any unipotent class on which the restriction of the given character or character sheaf does not vanish is contained in the Zariski closure of its unipotent support. In order to establish this result, we study some representations of Weyl groups, which are called ‘well supported’.