2.1 Théorie de Deligne–Lusztig

Rappelons brièvement le fonctionnement de la théorie de Deligne–Lusztig. Dans cette section les groupes algébriques considérés seront sur $\mathfrak{F}$ et $\ell$ est un nombre premier différent de $p$ .

Soit $\text{G}$ un groupe réductif défini sur $\mathfrak{f}$ . Soit $\text{P}$ un sous-groupe parabolique de radical unipotent $\text{U}$ et supposons que $\text{P}$ contienne un Levi $F$ -stable $\text{L}$ . On associe alors à ces données la variété de Deligne–Lusztig $Y_{\text{P}}$ définie par

C’est une variété définie sur $\mathfrak{F}$ avec une action à gauche de $\mathsf{G}:=\text{G}^{F}$ donnée par $(\unicode[STIX]{x1D6FE},g\text{U})\mapsto \unicode[STIX]{x1D6FE}g\text{U}$ et une action à droite de $\mathsf{L}:=\text{L}^{F}$ donnée par $(g\text{U},\unicode[STIX]{x1D6FF})\mapsto g\unicode[STIX]{x1D6FF}\text{U}$ . Le complexe cohomologique $R\unicode[STIX]{x1D6E4}_{c}(Y_{\text{P}},\overline{\mathbb{Z}}_{\ell })$ est alors un complexe de $(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[G],\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[L])$ -bimodules et induit deux foncteurs adjoints

où $D^{b}$ signifie ‘catégorie dérivée bornée’.

Nous avons fixé des systèmes compatibles de racines de l’unité $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})_{p^{\prime }}\overset{\backsim }{\longrightarrow }\mathfrak{F}^{\times }$ et $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})_{p^{\prime }}{\hookrightarrow}\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times }$ . Si $\text{T}$ est un tore défini sur $\mathfrak{f}$ et $\text{T}^{\ast }$ est son tore dual, aussi défini sur $\mathfrak{f}$ , alors les deux applications précédentes permettent de définir une bijection $\text{T}^{\ast F}\rightarrow \text{Hom}(T,\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times })$ . Ainsi un élément $t\in \text{T}^{\ast F}$ détermine un caractère $\widehat{t}:T\rightarrow \overline{\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times }$ .

Soit $s$ une classe de conjugaison semi-simple dans $\mathsf{G}^{\ast }:=\text{G}^{\ast F}$ . Une représentation irréductible $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(\mathsf{G})$ appartient à la série rationnelle attachée à $s$ s’il existe un tore $F$ -stable $\text{T}$ dans $\text{G}$ , un élément $t\in \text{T}^{\ast F}$ qui appartienne à $s$ et un Borel $\text{B}$ contenant $\text{T}$ tel que $\unicode[STIX]{x1D70B}$ apparaisse avec une multiplicité non nulle dans $[{\mathcal{R}}_{\text{T}\subset \text{B}}^{\text{G}}(\widehat{t})]$ (où la notation $[\cdot ]$ signifie que l’on prend l’image du complexe dans le groupe de Grothendieck). On note alors ${\mathcal{E}}(\mathsf{G},s)$ l’ensemble des telles séries rationnelles et par $e_{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\mathsf{G}}\in \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }[\mathsf{G}]$ l’idempotent central les sélectionnant.

Soit $\text{L}$ un Levi $F$ -stable de $\text{G}$ contenu dans un parabolique $\text{P}$ . Une classe de conjugaison $t$ dans $\mathsf{L}^{\ast }$ donne une classe de conjugaison $s$ dans $\mathsf{G}^{\ast }$ . Ainsi nous avons une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{L}^{\ast },\mathsf{G}^{\ast }}$ à fibres finies définie par

Soit $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ ou $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ . Construisons alors un idempotent $e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{L}}:=\sum _{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{L}^{\ast },\mathsf{G}^{\ast }}^{-1}(s)}e_{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{L}}$ .

Dans le cas où $\text{P}$ est lui-même $F$ -stable, on note $\text{U}$ le radical unipotent de $\text{P}$ et $\mathsf{U}=\text{U}^{F}$ . Notons $e_{\mathsf{U}}:=(1/|\mathsf{U}|)\sum _{x\in \mathsf{U}}\unicode[STIX]{x1D7D9}_{x}$ l’idempotent réalisant la moyenne sur $\mathsf{U}$ . Alors on a la proposition suivante.

Soient $\text{G}^{\prime }$ un autre groupe réductif défini sur $\mathfrak{f}$ et $\unicode[STIX]{x1D711}:\text{G}\rightarrow \text{G}^{\prime }$ un isomorphisme compatible avec les $F$ -structures. Alors $\unicode[STIX]{x1D711}$ induit une bijection (voir annexe A)

2.2 Construction d’idempotents sur l’immeuble

Maintenant que l’on sait fabriquer des idempotents sur les groupes finis, il nous faut les relever en des idempotents sur le groupe $p$ -adique. On utilise pour cela le fait que les sous-groupes parahoriques $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ admettent un modèle entier et que le quotient $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ est alors l’ensemble des points d’un groupe réductif connexe à valeur dans un corps fini.

Soit $\unicode[STIX]{x1D70E}$ un polysimplexe dans $BT$ . D’après [Reference TitsTit79, § 3.4] il existe un schéma en groupes affine lisse ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ défini sur $\mathfrak{o}_{k}$ , unique à isomorphisme près, tel que

1. (i) la fibre générique ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E},k}$ de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ est $G$  ;

2. (ii) pour toute extension galoisienne non-ramifiée $K_{1}$ de $k$ , ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}(\mathfrak{o}_{K_{1}})$ est le sous-groupe compact maximal de $\mathbf{G}(K_{1})_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , où $\unicode[STIX]{x1D70E}$ est identifié avec son image canonique dans $BT(K_{1})$ .

L’application de réduction modulo $p$ fournit un morphisme surjectif $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}={\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}(\mathfrak{o}_{k})\rightarrow \tilde{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}:=\tilde{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{F}$ , où $\tilde{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , la fibre spéciale de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , est un groupe algébrique défini sur $\mathfrak{f}$ . On note ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ la composante neutre de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ et $\tilde{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ celle de $\tilde{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ . D’après [Reference Bruhat and TitsBT84, § 5.2.6], on a $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }={\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }(\mathfrak{o}_{k})$ . D’où un morphisme surjectif $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\rightarrow \tilde{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ .

Notons $\overline{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ le quotient réductif de $\tilde{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ . On a donc un morphisme surjectif $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\rightarrow \overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ de noyau $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ , d’où un isomorphisme :

Soit $s\in (\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}$ (rappelons que $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }=\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast F}$ ) d’ordre inversible dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ , on peut alors tirer en arrière par cet isomorphisme l’idempotent $e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}$ en un idempotent $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}\in \unicode[STIX]{x1D6EC}[G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}]\subset {\mathcal{H}}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}(G_{\unicode[STIX]{x1D70E}})$ .

Soit $x\in BT_{0}$ . Si l’on considère la sous-partie de l’immeuble constituée des polysimplexes $\unicode[STIX]{x1D70F}$ tels que $x\leqslant \unicode[STIX]{x1D70F}$ alors d’après [Reference TitsTit79, § 3.5.4], on obtient l’immeuble sphérique (‘immeuble des sous-groupes $\mathfrak{f}$ -paraboliques’) de $\overline{\mathsf{G}}_{x}$ .

Soit $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ tel que $x\leqslant \unicode[STIX]{x1D70E}$ . Alors $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\subset G_{x}^{\circ }$ . On a ainsi un morphisme $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\rightarrow G_{x}^{\circ }\rightarrow \overline{\mathsf{G}}_{x}$ . Notons $\mathsf{P}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ l’image de $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ dans $\overline{\mathsf{G}}_{x}$ qui est un sous-groupe parabolique et $\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ son radical unipotent. L’image réciproque de $\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ dans $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ est $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ . Ceci fournit donc un isomorphisme $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}\simeq \overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\simeq \mathsf{P}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}/\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ .

Considérons $\mathsf{M}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }$ un sous-groupe de Levi de $\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast }$ relevant $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }$ . Dans le § 2.1, nous avons défini une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{M}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast },\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast }}:(\mathsf{M}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\rightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ . Cette application est indépendante du choix du relèvement de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }$ et nous définit donc une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast }:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\rightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ . On définit alors pour $s\in (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ d’ordre inversible dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ , l’idempotent $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}:=\sum _{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast -1}(s)}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ .

2.3 Systèmes 0-cohérents de classes de conjugaison

À partir d’un polysimplexe $\unicode[STIX]{x1D70E}$ et d’une classe de conjugaison semi-simple $s$ nous savons maintenant construire un idempotent $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ . On décrit alors dans cette partie les conditions que l’on doit imposer pour que le système d’idempotents formé à partir des $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ soit un système 0-cohérent.

Soient $g\in G$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , on a $gG_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }g^{-1}=G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ et $gG_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}g^{-1}=G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ , d’où $g(G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+})g^{-1}\simeq G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ . D’après [Reference Bruhat and TitsBT84, 4.6.30], la conjugaison par $g$ se prolonge en un isomorphisme du $\mathfrak{o}_{k}$ -schéma en groupes ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ sur le $\mathfrak{o}_{k}$ -schéma en groupes ${\mathcal{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ et donc induit un isomorphisme $\unicode[STIX]{x1D711}_{g,\unicode[STIX]{x1D70E}}:\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\overset{{\sim}}{\rightarrow }\overline{\mathsf{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}$ . On obtient alors, comme dans l’annexe A, un isomorphisme sur les classes de conjugaison semi-simples des groupes duaux

Pour $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , on note

Soit $S=(S_{\unicode[STIX]{x1D70E}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ un système 0-cohérent. Soit $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , on définit alors $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\sum _{s\in S_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ .

On note $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}(G)$ la catégorie abélienne des représentations lisses de $G$ à coefficients dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ . Notons $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(G)$ la sous-catégorie des représentations de niveau 0, c’est à dire la sous-catégorie découpée par le système d’idempotents $(e_{x}^{+})_{x\in BT_{0}}$ .

Soit $S=(S_{\unicode[STIX]{x1D70E}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ un système 0-cohérent, il définit alors un système $(e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ 0-cohérent et forme donc, d’après le théorème 1.0.2, une catégorie $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S}(G)$ .

3.1 Classes de conjugaison dans $\text{G}^{\ast }$

Commençons par définir les paramètres de l’inertie modérés et montrons que l’on peut décrire ceux-ci en terme de classes de conjugaison semi-simples dans $\text{G}^{\ast }$ .

On notera ${\mathcal{G}}_{k}=\text{Gal}(\overline{k}/k)$ le groupe de Galois absolu de $k$ , $W_{k}$ le groupe de Weil absolu de $k$ et $I_{k}$ le sous-groupe d’inertie. Le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}:={\mathcal{G}}_{k}/I_{k}$ est topologiquement engendré par un élément $\text{Frob}$ dont l’inverse induit l’automorphisme $x\mapsto x^{q}$ sur $\mathfrak{F}$ . Ainsi $K=\overline{k}^{I_{k}}$ et $k=K^{\text{Frob}}$ . L’action de ${\mathcal{G}}_{k}$ sur $\mathbf{G}$ donne une action de $\unicode[STIX]{x1D6E4}$ sur $\mathbf{G}(K)$ , complètement déterminée par un automorphisme $F\in \text{Aut}(\mathbf{G}(K))$ donné par l’action de $\text{Frob}$ . On a alors $G=\mathbf{G}(K)^{F}$ .

Soit $\mathbf{T}$ un $k$ -tore maximal $K$ -déployé maximalement déployé, alors $I_{k}$ agit trivialement sur $X_{\ast }(\mathbf{T})$ , le groupe des co-caractères de $\mathbf{T}$ , et l’action de ${\mathcal{G}}_{k}$ sur $X_{\ast }(\mathbf{T})$ se factorise à travers $\unicode[STIX]{x1D6E4}$ . Notons alors $\unicode[STIX]{x1D717}$ l’automorphisme de $X_{\ast }(\mathbf{T})$ induit par $F$ . La dualité entre $X_{\ast }(\mathbf{T})$ et $X^{\ast }(\mathbf{T})$ permet d’associer de façon naturelle à $\unicode[STIX]{x1D717}$ un automorphisme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\in \text{Aut}(X^{\ast }(\mathbf{T}))$ . Cet automorphisme s’étend alors alors en un automorphisme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\otimes 1$ de $\widehat{\mathbf{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }):=X^{\ast }(\mathbf{T})\otimes \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ que nous noterons encore $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ . Fixons un épinglage $(\widehat{\mathbf{G}},\widehat{\mathbf{B}},\widehat{\mathbf{T}},\{x_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\}_{\unicode[STIX]{x1D6FC}\in \unicode[STIX]{x1D6E5}})$ de $\widehat{\mathbf{G}}$ où $\widehat{\mathbf{B}}$ est un Borel contenant $\widehat{\mathbf{T}}$ . Celui-ci permet de prolonger $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ en un automorphisme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\in \text{Aut}(\widehat{\mathbf{G}})$ .

On note $P_{k}$ le groupe d’inertie sauvage, c’est à dire le pro- $p$ sous-groupe maximal de $I_{k}$ . Le groupe d’inertie modérée est le quotient $I_{k}/P_{k}$ et le groupe de Weil modéré est le quotient $W_{k}/P_{k}$ . On note $W_{k}^{\prime }=W_{k}\ltimes \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ le groupe de Weil–Deligne.

On note alors $\unicode[STIX]{x1D6F7}(\text{}\text{G})$ l’ensemble des morphismes admissibles $\unicode[STIX]{x1D711}:W_{k}^{\prime }\rightarrow \,^{L}\text{}\text{G}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ modulo les automorphismes intérieurs par des éléments de $\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ .

Soit $I$ un sous-groupe de $W_{k}$ . On note alors $\unicode[STIX]{x1D6F7}(I,\text{}\text{G})$ l’ensemble des classes de $\widehat{\text{}\text{G}}$ -conjugaison des morphismes continus $I\rightarrow ^{L}\text{}\text{G}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ (où $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ est muni de la topologie discrète) qui admettent une extension à un $L$ -morphisme de $\unicode[STIX]{x1D6F7}(\text{}\text{G})$ . Dans ce qui suit nous allons nous intéresser principalement aux paramètres de Langlands inertiels $\unicode[STIX]{x1D6F7}(I_{k},\text{}\text{G})$ .

Intéressons nous à $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})$ . Comme $I_{k}/P_{k}$ est procyclique de pro-ordre premier à $p$ un morphisme continu $I_{k}/P_{k}\rightarrow \widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ est donné par le choix d’un élément $s$ d’ordre fini premier à $p$ . Nous avons la décomposition $W_{k}/P_{k}=\langle \text{Frob}\rangle \ltimes (I_{k}/P_{k})$ , où pour $x\in (I_{k}/P_{k})$ , $\text{Frob }^{-1}x\text{ Frob}=x^{q}$ . Un paramètre de Langlands doit envoyer $\text{Frob}$ sur $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}f$ où $f$ est un élément semi-simple de $\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ . Un tel morphisme s’étend donc à $W_{k}/P_{k}$ si $\text{Ad}(f)\circ \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ s^{q}=s$ , où $\text{Ad}(f)$ désigne la conjugaison par $f$ . Ainsi à un paramètre inertiel modéré $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})$ on peut associer une classe de conjugaison semi-simple dans $\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ stable sous $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}$ où $\unicode[STIX]{x1D713}$ est l’élévation à la puissance $q$ -ième. On a donc une application $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})\rightarrow (\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })_{ss})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Or nous savons que $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })_{ss}$ , où $W_{0}:=N(\mathbf{T})/\mathbf{T}$ désigne le groupe de Weyl de $\mathbf{T}$ , ce qui nous permet de définir l’application $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})\rightarrow (\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Réciproquement, prenons un élément de $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Ceci nous fournit un élément semi-simple $s$ tel que $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}(s)=w\cdot s$ , où $w\in W_{0}$ . Soit $f$ un relèvement de $w$ , qui est alors un élément semi-simple, on a alors $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}(s)=\text{Ad}(f)(s)$ , donc on obtient un $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})$ . Ceci nous montre que l’on a une correspondance

Soit $s\in (\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ , on peut représenter $s$ par $s=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ , avec $a_{i}\in \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ ( $\widehat{\text{}\text{T}}\simeq \mathbb{G}_{m}^{n}$ ). Soit $k\in \mathbb{N}$ , par définition on a $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}^{k}(s^{p^{k}})=s$ dans $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Comme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ est d’ordre fini, disons $N$ , $s^{p^{N}}=s$ dans $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Donc il existe $w\in W_{0}$ tel que $(a_{1}^{p^{N}},\ldots ,a_{n}^{p^{N}})=w\cdot (a_{1},\ldots ,a_{n})$ . Or $W_{0}$ est de cardinal fini, donc il existe $k\in \mathbb{N}^{\ast }$ , tel que $(a_{1}^{p^{kN}},\ldots ,a_{n}^{p^{kN}})=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ . Ainsi $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}$ , $a_{i}^{p^{kN}-1}=1$ . Les $a_{i}$ sont donc des racines $p^{\prime }$ -ièmes de l’unité (racines de l’unité d’ordre premier à $p$ ).

Notre groupe $\mathbf{G}$ étant $K$ -déployé, il possède une forme intérieure non-ramifiée. Cette dernière permet de définir sur $\text{}\text{G}^{\ast }$ , le groupe dual de $\mathbf{G}$ sur $\mathfrak{F}$ , une $\mathfrak{f}$ -structure (et donc un Frobenius $F$ ) en choissant un sommet hyperspécial dans l’immeuble. Le choix d’un système compatible de racines de l’unité (que l’on a fixé au début dans les notations) permet d’identifier

(Nous rappelons que $\widehat{\mathbf{T}}$ désigne le dual de $\mathbf{T}$ sur $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ et $\text{T}^{\ast }$ celui sur $\mathfrak{F}$ . Ainsi $\widehat{\mathbf{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })=X^{\ast }(\mathbf{T})\otimes \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ et $\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})=X^{\ast }(\mathbf{T})\otimes \mathfrak{F}^{\times }$ .)

Or l’action de $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}$ sur $\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})$ correspond à l’action du Frobenius $F$ (voir annexe B, ici $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}=\unicode[STIX]{x1D70F}_{X}^{-1}$ ). Ainsi

En résumé nous avons montré la proposition suivante.

Dans le but d’étudier les représentations à coefficients dans $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ nous avons besoin de restreindre $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})$ . Introduisons $I_{k}^{(\ell )}:=\text{ker}\{I_{k}\rightarrow \mathbb{Z}_{\ell }(1)\}$ qui est le sous-groupe fermé maximal de $I_{k}$ de pro-ordre premier à $\ell$ . Sous l’identification de la proposition 3.1.3, $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{(\ell )},\mathbf{G})$ correspond aux $s\in (\widehat{\text{G}}(\mathfrak{F})_{ss})^{F}$ d’ordre premier à $\ell$ .

Pour unifier les notations, notons $I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ qui vaut $I_{k}$ si $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ et $I_{k}^{(\ell )}$ si $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ . On obtient alors la proposition suivante.

3.2 Classes de conjugaison dans les quotients réductifs des groupes parahoriques

Nous venons de voir que l’on pouvait identifier les paramètres de l’inertie modérés avec des classes de conjugaison semi-simples dans $\text{G}^{\ast }$ . Pour obtenir des systèmes 0-cohérents nous avons besoin de classes de conjugaison dans les quotients réductifs des groupes parahoriques. Nous construisons alors dans cette section un système d’applications compatibles $((\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}\rightarrow (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}$ , pour $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ .

Soit $\mathbf{S}$ un tore déployé maximal, tel que $\unicode[STIX]{x1D70E}\in {\mathcal{A}}(\mathbf{S},k)$ , où ${\mathcal{A}}(\mathbf{S},k)$ est l’appartement associé à $\text{}\text{S}$ dans $BT$ . Notons $\mathbf{T}$ un $k$ -tore maximal $K$ -déployé contenant $\mathbf{S}$ (qui existe par [Reference Bruhat and TitsBT84, 5.1.12]). De plus par [Reference TitsTit79, 2.6.1] ${\mathcal{A}}(\mathbf{S},k)=BT\cap {\mathcal{A}}(\mathbf{T},K)$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ l’image canonique de $\unicode[STIX]{x1D70E}$ dans $BT(K)$ .

Notons $W$ le groupe de Weyl affine de $\mathbf{G}(K)$ , $W_{0}=N(\mathbf{T})/\mathbf{T}$ , le groupe de Weyl de $\mathbf{G}(K)$ et $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ le groupe engendré par les réflexions des hyperplans contenant $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ dans $BT(K)$ . Nous avons $W=W_{0}\ltimes T/^{\circ }T$ , où $^{\circ }T$ désigne le sous-groupe borné maximal de $T$ . De plus $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est un sous-groupe de $W$ , on a donc une application $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W\rightarrow W_{0}$ . Le noyau du morphisme $W=W_{0}\ltimes T/^{\circ }T\rightarrow W_{0}$ est un groupe sans torsion. Or $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est un groupe fini donc l’application $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W_{0}$ est injective et nous permet de voir $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ comme un sous-groupe de $W_{0}$ .

Par [Reference TitsTit79, 3.4.3], ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est obtenu à partir de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ par changement de base. En particulier $\overline{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}=\overline{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\times _{\mathfrak{f}}\mathfrak{F}$ .

Le tore $\mathbf{S}$ (resp. $\mathbf{T}$ ) se prolonge en un tore de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , ${\mathcal{S}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ (resp. ${\mathcal{T}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ ), défini sur $\mathfrak{o}_{k}$ de fibre générique ${\mathcal{S}}_{\unicode[STIX]{x1D70E},k}=S$ (resp. ${\mathcal{T}}_{\unicode[STIX]{x1D70E},k}=T$ ). Notons $\mathsf{S}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ (resp. $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ ) la fibre spéciale de ${\mathcal{S}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ (resp. ${\mathcal{T}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ ). Alors $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ est un tore maximal de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ défini sur $\mathfrak{f}$ . De plus on a que $\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}=\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\times _{\mathfrak{f}}\mathfrak{F}$ .

Le groupe des caractères de $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ , $X^{\ast }(\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})$ , est canoniquement isomorphe à $X=X^{\ast }(\mathbf{T})$ , on les identifiera désormais. De plus, par [Reference TitsTit79, 3.5.1], le groupe de Weyl de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ associé à $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ . L’action de $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ sur $X^{\ast }(\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})$ coïncide avec l’action de l’image de $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W_{0}$ sur $X^{\ast }(\mathbf{T})$ .

On obtient alors :

Le morphisme $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W_{0}$ induit

Et de même que précédemment, on a un isomorphisme

On vient donc de construire une application

3.3 Classes de conjugaison dans un groupe fini

La partie précédente nous fournit des classes de conjugaison semi-simples géométriques d’un groupe réductif connexe fini. Nous sommes plus intéressé par des classes de conjugaison rationnelles. On rappelle alors ici le lien entre les deux.

Dans cette sous-section $\text{G}$ désigne un groupe réductif connexe défini sur $\mathfrak{f}$ . Pour un élément semi-simple $x\in \text{G}$ , on note $[x]$ sa classe de conjugaison, $[x]\in \text{G}_{ss}$ .

3.4 Systèmes 0-cohérents de classes de conjugaison associés aux paramètres de l’inertie modérés

On met bout à bout les résultats des sous-sections précédentes pour obtenir une application qui à un paramètre inertiel modéré associe un système de classes de conjugaison 0-cohérent.

En composant la proposition 3.3.2, l’application $\tilde{\unicode[STIX]{x1D713}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ et la proposition 3.1.3, on obtient une application

Soient $\unicode[STIX]{x1D70E},\unicode[STIX]{x1D714}\in BT$ tels que $\unicode[STIX]{x1D70E}\leqslant \unicode[STIX]{x1D714}$ . Nous avons vu que $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D714}}$ est un Levi de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ . Ceci nous donne donc, comme dans le § 2.1, une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D714},\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D714}}^{\ast })_{ss}\rightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}$ .

Soient $g\in G$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , nous avons déjà vu (au début du § 2.3) que la conjugaison par $g$ induisait deux applications

Construisons maintenant un système 0-cohérent de classes de conjugaison.

Ainsi par la proposition 2.3.5, si l’on note $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G):=\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S_{\unicode[STIX]{x1D719}}}(G)$ , alors

Notons que si $\mathbf{G}$ est quasi-déployé alors il est non-ramifié et possède donc un sommet hyperspécial $o$ . Dans ce cas, l’application $\tilde{\unicode[STIX]{x1D713}}_{o}$ est bijective, donc $\unicode[STIX]{x1D713}_{o}$ est surjective et $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ est non vide pour tout $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})$ . Cependant, lorsque $\mathbf{G}$ n’est pas quasi-déployé, les catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ peuvent être vides. Nous devons rajouter une condition de ‘relevance’ pour avoir $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ non vide, ce que nous détaillerons dans la partie 4.3.

4.1 Lien entre les décompositions sur $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ et $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$

Au vu de la construction de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ il est assez simple de comprendre le lien entre $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ et $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ ce que nous faisons ici.

Considérons ici que $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{(\ell )},\mathbf{G})$ . Soit $x\in BT_{0}$ et notons $S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}^{\prime }$ l’ensemble des $s^{\prime }\in (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ dont $s$ la partie $\ell$ -régulière de $s^{\prime }$ est dans $S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}$ . Alors par construction, $e_{\unicode[STIX]{x1D719},x}=\sum _{s\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}}e_{x}^{s,\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}=\sum _{s^{\prime }\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}^{\prime }}e_{x}^{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}$ . Prenons $s^{\prime }\in (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ et nommons $\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})$ le paramètre inertiel qui lui est associé, c’est à dire $\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }:=\unicode[STIX]{x1D713}_{x}(s^{\prime })$ . Soit $s\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}$ (donc $\unicode[STIX]{x1D713}_{x}(s)=\unicode[STIX]{x1D719}$ ), $s$ est la partie $\ell$ -régulière de $s^{\prime }$ si et seulement si $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mid I_{k}^{(\ell )}}^{\prime }\sim \unicode[STIX]{x1D719}$ . Le lien entre les décompositions sur $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ et $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ est alors clair.

4.2 Représentations irréductibles de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$

Nous souhaitons dans cette partie décrire les représentations irréductibles qui sont dans $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ .

Soit $\mathbf{T}$ un tore maximal non-ramifié de $\mathbf{G}$ ( $\mathbf{T}$ est un $k$ -tore $K$ -déployé maximal de $\mathbf{G}$ ). Nommons $\mathbf{T}_{0}$ le tore de référence utilisé pour définir $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ et $\widehat{\mathbf{G}}$ . Le tore $\mathbf{T}$ étant non-ramifié il existe $g\in G^{nr}$ tel que $T^{nr}=^{g}T_{0}^{nr}$ . Dans ce cas $g^{-1}F(g)\in N(T_{0}^{nr},G^{nr})$ et définit un élément $w\in W_{0}$ . Ainsi $^{L}\mathbf{T}\simeq \langle w\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle \ltimes \widehat{\mathbf{T}}_{0}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ . Le choix d’un relèvement ${\dot{w}}\in N(\widehat{\mathbf{T}}_{0},\widehat{\mathbf{G}})$ de $w$ permet alors de définir un plongement $^{L}\mathbf{T}{\hookrightarrow}^{L}\mathbf{G}$ par $\widehat{\mathbf{T}}_{0}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })\subseteq \widehat{\mathbf{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ et $w\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\mapsto ({\dot{w}},\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}})$ . Ce plongement dépend (même à $\widehat{\mathbf{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ -conjugaison près) du choix du relèvement de $w$ . Il induit cependant une application

qui elle est indépendante des choix effectués car les paramètres inertiels sont à valeurs dans $\widehat{\mathbf{T}}_{0}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ (ou $\widehat{\mathbf{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ ).

Soit $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})$ . Notons $X:=X^{\ast }(\mathbf{T})$ . Nous avons vu dans les §§ 3.2 et 3.1 que l’on a une bijection $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})\simeq (X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })^{F}$ . Soit $x\in {\mathcal{A}}(\mathbf{T},K)\cap BT_{0}$ . Nous savons que l’on a également un isomorphisme $(X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })^{F}\simeq (\text{T}_{x}^{\ast })^{F}\simeq \text{Hom}(\text{}\text{T}_{x}^{F},\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times })$ . On associe donc à $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}$ de manière bijective un caractère $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}:\text{}\text{T}_{x}^{F}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ , qui se relève en un caractère de niveau 0 : $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}:^{0}\text{}\text{T}^{F}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ . L’association qui à $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}$ donne $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}$ est alors la correspondance de Langlands locale pour les tores restreinte à l’inertie.

Notons que le théorème précédent n’est énoncé que pour $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ puisque l’on peut en déduire une description de $\text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ grâce à la proposition 4.1.1. Notons également que pour $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ , les objets simples de $\text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ sont :

1. (i) Les objets simples de caractéristique 0 qui sont les $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ qui ne sont pas entières.

2. (ii) Les objets simples de caractéristique $\ell$ qui sont les sous-quotients simples des réductions modulo $\ell$ des $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ qui sont entières (voir le lemme 6.8 de [Reference DatDat05], les hypothèses peuvent être supprimées ici car on est en niveau 0).

4.3 Condition de relevance

Nous avons noté précédemment que si $\mathbf{G}$ n’est pas quasi-déployé alors les catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ peuvent être vides. Nous allons montrer dans cette partie que $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ est non vide si et seulement si $\unicode[STIX]{x1D719}$ est relevant, au sens suivant.

Soit $\unicode[STIX]{x1D711}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}(W_{k},\mathbf{G})$ et posons $\unicode[STIX]{x1D719}:=\unicode[STIX]{x1D711}_{|I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}}}$ . Pour $w\in W_{k}$ , l’action par conjugaison de $\unicode[STIX]{x1D711}(w)$ normalise $\unicode[STIX]{x1D719}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}})$ donc normalise également $C_{\widehat{\mathbf{G}}}(\unicode[STIX]{x1D719})^{\circ }$ , le centralisateur connexe de l’image de $\unicode[STIX]{x1D719}$ dans $\widehat{\mathbf{G}}$ . On définit alors

qui est un Levi de $^{L}\mathbf{G}$ dont la partie connexe est $M_{\unicode[STIX]{x1D711}}:=C_{\widehat{\mathbf{G}}}(Z(C_{\widehat{\mathbf{G}}}(\unicode[STIX]{x1D719})^{\circ })^{\unicode[STIX]{x1D711}(W_{k}),\circ })$ .

On appelle tore maximal de $^{L}\mathbf{G}$ un sous-groupe ${\mathcal{T}}$ de $^{L}\mathbf{G}$ qui se surjecte sur $\langle \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ et dont l’intersection ${\mathcal{T}}^{\circ }$ avec $\widehat{\mathbf{G}}$ est un tore maximal de $\widehat{\mathbf{G}}$ . Pour un tel tore, on notera $\widehat{\mathbf{T}}:={\mathcal{T}}^{\circ }$ sa partie connexe. Nous avons la suite exacte suivante : $\widehat{\mathbf{T}}{\hookrightarrow}{\mathcal{T}}{\twoheadrightarrow}\langle \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ . Le tore ${\mathcal{T}}$ agit par conjugaison sur $\widehat{\mathbf{T}}$ et donc, on en déduit une action de $\langle \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ sur $\widehat{\mathbf{T}}$ qui nous permet de définir une $k$ -structure sur $\mathbf{T}$ le dual de $\widehat{\mathbf{T}}$ . On dira qu’un tore maximal ${\mathcal{T}}$ est relevant si le plongement $\widehat{\mathbf{T}}{\hookrightarrow}\widehat{\mathbf{G}}$ correspond dualement à un $k$ -plongement $\mathbf{T}{\hookrightarrow}\mathbf{G}$ . Enfin, on dira que ${\mathcal{T}}$ est elliptique dans $^{L}\mathbf{G}$ si ${\mathcal{T}}$ n’est contenu dans aucun Levi propre ${\mathcal{M}}$ de $^{L}\mathbf{G}$ ou de façon équivalente si $Z({\mathcal{T}})^{\circ }=Z(\,^{L}\mathbf{G})^{\circ }$ .

Rappelons nous que dans le § 4.2 nous avons fixé un tore maximal de référence $\mathbf{T}_{0}$ , qui nous a permis d’associer à $\mathbf{T}$ , un tore maximal non-ramifié de $\mathbf{G}$ , un élément $w\in W_{0}$ , un tore $\,^{L}\mathbf{T}=\widehat{\mathbf{T}}_{0}\rtimes \langle w\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ et un plongement $\unicode[STIX]{x1D704}:\,^{L}\mathbf{T}{\hookrightarrow}\,^{L}\mathbf{G}$ en choisissant un relèvement ${\dot{w}}\in N(\widehat{\mathbf{T}}_{0},\widehat{\mathbf{G}})$ de $w$ .

4.4 Compatibilité à l’induction et à la restriction parabolique

Cette sous-partie à pour but d’étudier le comportement des catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ vis à vis de l’induction et de la restriction parabolique.

Jusqu’à présent, nous avons considéré l’immeuble de Bruhat–Tits semi-simple, puisque celui-ci est muni d’une structure de complexe polysimplicial. Cependant dans cette section, nous souhaitons comparer l’immeuble d’un Levi et celui de $G$ . L’immeuble de Bruhat–Tits ‘étendu’ semble alors plus approprié. Cela ne fait pas une grosse différence. En effet nous traitions la structure polysimpliciale de façon purement combinatoire. De plus, les idempotents $e_{\unicode[STIX]{x1D719},\unicode[STIX]{x1D70E}}$ auraient très bien pu être définis pour un point quelconque $x$ de l’immeuble, on aurait alors eu que $e_{\unicode[STIX]{x1D719},x}=e_{\unicode[STIX]{x1D719},\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , où $\unicode[STIX]{x1D70E}$ est le plus petit polysimplexe contenant $x$ . Ainsi, dans cette partie seulement, on utilisera l’immeuble de Bruhat–Tits ‘étendu’, que l’on notera $BT^{e}(G)$ .

Soit $\mathbf{P}$ un $k$ -sous-groupe parabolique de $\mathbf{G}$ de quotient de Levi $\mathbf{M}$ défini sur $k$ . Prenons $\mathbf{S}$ un tore déployé maximal de $\mathbf{G}$ contenu dans $\mathbf{P}$ et notons $\mathbf{T}$ son centralisateur dans $\mathbf{G}$ . Il existe alors un unique relèvement de $\mathbf{M}$ en un sous-groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{T}$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D711}$ le système de racines de $G$ relativement à $S$ et $\unicode[STIX]{x1D711}_{M}\subseteq \unicode[STIX]{x1D711}$ celui de $M$ . L’appartement ${\mathcal{A}}_{M}^{e}(\mathbf{S},k)$ de $BT^{e}(M)$ relativement à $\mathbf{S}$ est égal à ${\mathcal{A}}^{e}:={\mathcal{A}}^{e}(\mathbf{S},k)$ mais en ne gardant que les murs associés aux racines affines dont la partie vectorielle est dans $\unicode[STIX]{x1D711}_{M}$ . Soit $x\in {\mathcal{A}}$ , alors $M_{x}^{\circ }=M\cap G_{x}^{\circ }$ et $M_{x}^{+}=M\cap G_{x}^{+}$ (voir [Reference Moy and PrasadMP96, § 4.3]). Rappelons que l’on a déjà défini $\overline{\mathsf{M}}_{x}\simeq M_{x}^{\circ }/M_{x}^{+}$ et posons $\overline{\mathsf{P}}_{x}$ l’image de $P_{x}:=P\cap G_{x}^{\circ }$ dans $\overline{\mathsf{G}}_{x}$ .

Considérons $\widehat{\mathbf{M}}$ un dual de $\mathbf{M}$ sur $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ muni d’un plongement $\unicode[STIX]{x1D704}:^{L}\mathbf{M}{\hookrightarrow}^{L}\mathbf{G}$ (voir [Reference BorelBor79, § 3.4]), qui induit une application $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{M})\rightarrow \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})$ .

Commençons par vérifier la compatibilité à la restriction parabolique.

Passons maintenant à l’induction parabolique.

Si $\mathbf{G}$ n’est pas quasi-déployé l’équivalence peut être fausse, comme le montre l’exemple de $G=D^{\times }$ où $D$ est une $k$ -algèbre à division de dimension finie. Alors toutes les représentations sont cuspidales, en particulier $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{1}(G)$ ne contient que des cuspidales.

Avoir $\unicode[STIX]{x1D719}$ discret n’est pas une condition nécessaire pour avoir des cuspidales (supercuspidales) dans $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ . En effet, toute cuspidale unipotente se retrouvera dans $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{1}(G)$ .

Soit $\unicode[STIX]{x1D719}_{M}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{M})$ et posons $\unicode[STIX]{x1D719}=\unicode[STIX]{x1D704}\circ \unicode[STIX]{x1D719}_{M}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})$ . Nous venons de voir que $i_{P}^{G}$ réalise un foncteur

La catégorie $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}_{M}}(M)$ est un facteur direct de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(M)$ , on a donc un foncteur $e_{\unicode[STIX]{x1D719}_{M}}:\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(M)\rightarrow \text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}_{M}}(M)$ . Définissons $r_{P}^{G,\unicode[STIX]{x1D719}_{M}}:=e_{\unicode[STIX]{x1D719}_{M}}\circ r_{P}^{G}$ , de sorte que $r_{P}^{G,\unicode[STIX]{x1D719}_{M}}$ soit un foncteur