1.1 Calcul des caractères sur les éléments compacts

Pour tout groupe réductif défini sur $F$ ou $\mathbb{F}_{q}$ (qui est le corps résiduel de $F$ ), noté $H$ , on note par la lettre gothique $\mathfrak{h}$ son algèbre de Lie. Fixons un caractère continu $\unicode[STIX]{x1D713}_{F}:F\rightarrow \mathbb{C}^{\times }$ de conducteur l’idéal maximal $\unicode[STIX]{x1D71B}\mathfrak{o}$ . Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ , l’algèbre de Lie $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ s’identifie naturellement à un sous-espace de l’algèbre des endomorphismes de $V_{\sharp }$ . Ainsi, $\operatorname{trace}(XY)$ est bien définie pour $X,Y\in \mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ . On introduit une transformation de Fourier $f\mapsto \hat{f}$ dans $C_{c}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\sharp }(F))$ par la formule usuelle

$$\begin{eqnarray}\hat{f}(X)=\int _{\mathfrak{g}_{\sharp }(F)}f(Y)\unicode[STIX]{x1D713}_{F}(\operatorname{trace}(XY))\,dY.\end{eqnarray}$$

Le mesure $dY$ est la mesure de Haar sur $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ qui est autoduale, c’est-à-dire que $\hat{\hat{f}}(X)=f(-X)$ pour tous $f$ , $X$ . L’exponentielle $\text{exp}$ est bien définie dans un voisinage de $0$ dans $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ , à valeurs dans un voisinage de $1$ dans $G_{\sharp }(F)$ . On munit $G_{\sharp }(F)$ de la mesure de Haar telle que le jacobien de l’exponentielle vaille $1$ au point $0$ .

Soit $x\in G_{\sharp }(F)$ un élément fortement régulier et compact (cf. [Reference Waldspurger11] 1.2). Soit $f\in C_{c}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ . On définit l’intégrale orbitale

$$\begin{eqnarray}J(x,f)=D^{G_{\sharp }}(x)^{1/2}\int _{G_{\sharp }(F)}f(g^{-1}xg)\,dg,\end{eqnarray}$$

où $D^{G_{\sharp }}$ est le module de Weyl usuel. Si maintenant $f=(f_{\operatorname{iso}},f_{\operatorname{an}})\in C_{c}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{c}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ et si $x\in G_{\sharp }(F)$ est comme ci-dessus, on pose $J(x,f)=J(x,f_{\sharp })$ .

On a défini un espace ${\mathcal{R}}^{\operatorname{par}}$ en [Reference Waldspurger11] 1.5. On définit une application linéaire $\unicode[STIX]{x1D6F9}:{\mathcal{R}}^{\operatorname{par}}\rightarrow C_{c}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{c}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ de la façon suivante. Par linéarité, il suffit de fixer $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et $(n^{\prime },n^{\prime \prime })\in D_{\sharp }(n)$ , et de la définir sur la composante $C_{n^{\prime }}^{\prime }\,\otimes \,C_{n^{\prime \prime },\sharp }^{\prime \prime }$ de ${\mathcal{R}}^{\operatorname{par}}$ . Soit donc $\unicode[STIX]{x1D711}\in C_{n^{\prime }}^{\prime }\,\otimes \,C_{n^{\prime \prime },\sharp }^{\prime \prime }$ . C’est une fonction sur $\mathbf{SO}(2n^{\prime }+1;\mathbb{F}_{q})\times \mathbf{O}(2n^{\prime \prime })_{\sharp }(\mathbb{F}_{q})$ . On introduit le sous-groupe $K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{\pm }$ de $G_{\sharp }(F)$ , cf. [Reference Waldspurger11] 1.2. Le groupe précédent s’identifie à $K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{\pm }/K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{u}$ . Alors $\unicode[STIX]{x1D711}$ apparaît comme une fonction sur $K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{\pm }$ , invariante par $K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{u}$ . On la prolonge par $0$ hors de $K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{\pm }$ et on la multiplie par $\text{mes}(K_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}^{\pm })^{-1}$ . On obtient un élément de $C_{c}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ qui est l’une des composantes de $\unicode[STIX]{x1D6F9}(\unicode[STIX]{x1D711})$ . L’autre composante est nulle.

Soit $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et soit $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \operatorname{Irr}_{\operatorname{unip},\sharp }$ , cf. [Reference Waldspurger11] 1.3. Pour $f\in C_{c}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ , on définit l’opérateur $\unicode[STIX]{x1D70B}(f)$ . Il est de rang fini et possède une trace. D’après Harish-Chandra, il existe une fonction localement intégrable $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\unicode[STIX]{x1D70B}}$ sur $G_{\sharp }(F)$ , localement constante sur les éléments fortement réguliers, de sorte que

$$\begin{eqnarray}\operatorname{trace}(\unicode[STIX]{x1D70B}(f))=\int _{G_{\sharp }(F)}\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\unicode[STIX]{x1D70B}}(x)f(x)\,dx\end{eqnarray}$$

pour tout $f$ . Posons $f_{\unicode[STIX]{x1D70B}}=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}(\unicode[STIX]{x1D70B})$ , avec les notations de [Reference Waldspurger11] 1.5.

Proposition. Soit $x\in G_{\sharp }(F)$ un élément fortement régulier et compact. On a l’égalité

$$\begin{eqnarray}D^{G_{\sharp }}(x)^{1/2}\overline{\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\unicode[STIX]{x1D70B}}(x)}=J(x,f_{\unicode[STIX]{x1D70B}}).\end{eqnarray}$$

Cela résulte de [Reference Moeglin and Waldspurger6] théorème 1.9 et lemme 4.2.

1.2 Un résultat de transfert de fonctions

Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et pour $f\in C_{c}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ , on dit que $f$ est cuspidale si et seulement si ses intégrales orbitales sont nulles en tout point fortement régulier et non elliptique de $G_{\sharp }(F)$ . On note $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ l’espace des fonctions cuspidales. L’application $\unicode[STIX]{x1D6F9}:{\mathcal{R}}^{\operatorname{par}}\rightarrow C_{c}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{c}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ introduite en 1.1 envoie l’espace ${\mathcal{R}}_{\operatorname{cusp}}^{\operatorname{par}}$ de [Reference Waldspurger11] 1.5 dans $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ . Pour un élément $f$ de ce dernier espace, on note $f_{\operatorname{iso}}$ et $f_{\operatorname{an}}$ ses deux composantes.

Il nous faut adapter les définitions usuelles de l’endoscopie à notre cas où nous travaillons simultanément avec nos deux groupes $G_{\operatorname{iso}}$ et $G_{\operatorname{an}}$ . Pour $x,y\in G_{\operatorname{iso}}(F)\cup G_{\operatorname{an}}(F)$ , on dit que $x$ et $y$ sont conjugués si et seulement si il existe $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ tels que $x,y\in G_{\sharp }(F)$ et $x$ et $y$ sont conjugués par un élément de $G_{\sharp }(F)$ . Il y a une correspondance bijective entre les classes de conjugaison stable dans $G_{\operatorname{iso}}(F)$ formées d’éléments elliptiques et fortement réguliers et les classes de conjugaison stable dans $G_{\operatorname{an}}(F)$ formées d’éléments elliptiques et fortement réguliers. Appelons classe totale de conjugaison stable (formée d’éléments elliptiques et fortement réguliers) la réunion d’une telle classe dans $G_{\operatorname{iso}}(F)$ et de celle qui lui correspond dans $G_{\operatorname{an}}(F)$ . On sait d’ailleurs que chacune de ces classes contient le même nombre de classes de conjugaison (ordinaires).

Soit $f\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ et soit $x\in G_{\operatorname{iso}}(F)$ un élément fortement régulier et elliptique. On définit l’intégrale orbitale stable $S(x,f)$ par

$$\begin{eqnarray}S(x,f)=\mathop{\sum }_{y}J(y,f),\end{eqnarray}$$

où $y$ parcourt les éléments de la classe totale de conjugaison stable de $x$ , à conjugaison près. On note $z(x)$ le nombre de termes $y$ intervenant dans cette somme. Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et $f\in C_{c}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ , on définit $S(x,f)$ en considérant que $f$ est un élément de $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ dont la composante sur $G_{\sharp }(F)$ est la fonction donnée et dont l’autre composante est nulle.

Soit $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ . Ce couple détermine (à conjugaison près) un élément $h\in \operatorname{Sp}(2n;\mathbb{C})$ tel que $h^{2}=1$ et une donnée endoscopique de $G_{\operatorname{iso}}$ ou $G_{\operatorname{an}}$ dont le groupe endoscopique est $G_{n_{1},\operatorname{iso}}\times G_{n_{2},\operatorname{iso}}$ , cf. [Reference Waldspurger11] 2.1. On note $\unicode[STIX]{x1D6E5}_{h}$ le facteur de transfert relatif à cette donnée (il est uniquement déterminé).

Soit $f\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ et $(x_{1},x_{2})\in G_{n_{1},\operatorname{iso}}(F)\times G_{n_{2},\operatorname{iso}}(F)$ un couple $n$ -régulier formé d’éléments elliptiques. On entend par $n$ -régulier le fait que la classe de conjugaison stable de $(x_{1},x_{2})$ correspond par endoscopie à une classe de conjugaison stable fortement régulière dans $G_{\operatorname{iso}}(F)$ . On pose

$$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(x_{1},x_{2},f)=\mathop{\sum }_{x}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{h}((x_{1},x_{2}),x)J(x,f),\end{eqnarray}$$

où $x$ parcourt les éléments de $G_{\operatorname{iso}}(F)\cup G_{\operatorname{an}}(F)$ fortement réguliers et elliptiques, à conjugaison près. Bien sûr, on peut se limiter aux éléments dans la classe totale de conjugaison stable qui correspond à $(x_{1},x_{2})$ (en dehors, les facteurs de transfert sont nuls). La somme est donc finie. Dans le cas où $n_{1}=n$ et $n_{2}=0$ , où $(x_{1},x_{2})$ se réduit à un seul élément $x=x_{1}$ , on retrouve la définition précédente : $J^{\operatorname{endo}}(x_{1},x_{2},f)=S(x,f)$ . Comme ci-dessus, pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et $f\in C_{c}^{\infty }(G_{\sharp }(F))$ , on définit $J^{\operatorname{endo}}(x_{1},x_{2},f)$ en considérant $f$ comme un élément de $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ dont une composante est nulle.

Soit $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ , $f\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{\operatorname{an}}(F))$ , $f_{1}\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }$ $(G_{n_{1},\operatorname{iso}}(F))\oplus \,C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{n_{1},\operatorname{an}}(F))$  et  $f_{2}\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{n_{2},\operatorname{iso}}(F))\oplus \,C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(G_{n_{2},\operatorname{an}}(F))$ . On dit que $f_{1}\,\otimes \,f_{2}$ est un transfert de $f$ relatif à $(n_{1},n_{2})$ (ou à $h$ ) si et seulement si on a l’égalité

$$\begin{eqnarray}S(x_{1},f_{1})S(x_{2},f_{2})=J^{\operatorname{endo}}(x_{1},x_{2},f)\end{eqnarray}$$

pour tout couple $n$ -régulier $(x_{1},x_{2})\in G_{n_{1},\operatorname{iso}}(F)\times G_{n_{2},\operatorname{iso}}(F)$ formé de deux éléments elliptiques.

Soit $(r^{\prime },r^{\prime \prime },N^{\prime },N^{\prime \prime })\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ , cf. [Reference Waldspurger11] 1.8, et soit $\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime }\in \mathbb{C}[{\hat{W}}_{N^{\prime }}]_{\operatorname{cusp}}$ et $\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime \prime }\in \mathbb{C}[{\hat{W}}_{N^{\prime \prime }}]_{\operatorname{cusp}}$ . Pour un nombre réel $x$ , on note $[x]$ sa partie entière. Posons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle r_{1}^{\prime } & = & \displaystyle \sup \biggl(\biggl[\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }}{2}\biggr],-\biggl[\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }}{2}\biggr]-1\biggr),\qquad r_{1}^{\prime \prime }=\biggl|\biggl[\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }+1}{2}\biggr]\biggr|,\nonumber\\ \displaystyle r_{2}^{\prime } & = & \displaystyle \sup \biggl(\biggl[\frac{r^{\prime }-r^{\prime \prime }}{2}\biggr],-\biggl[\frac{r^{\prime }-r^{\prime \prime }}{2}\biggr]-1\biggr),\qquad r_{2}^{\prime \prime }=\biggl|\biggl[\frac{r^{\prime }-r^{\prime \prime }+1}{2}\biggr]\biggr|,\nonumber\\ \displaystyle n_{1} & = & \displaystyle r_{1}^{\prime 2}+r_{1}^{\prime }+r_{1}^{\prime \prime 2}+N^{\prime },\qquad n_{2}=r_{2}^{\prime 2}+r_{2}^{\prime }+r_{2}^{\prime \prime 2}+N^{\prime \prime },\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle (N_{1}^{\prime },N_{1}^{\prime \prime })=(N^{\prime },0),\qquad (N_{2}^{\prime },N_{2}^{\prime \prime })=(N^{\prime \prime },0),\nonumber\\ \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FE}_{1} & = & \displaystyle (r_{1}^{\prime },r_{1}^{\prime \prime },N_{1}^{\prime },N_{1}^{\prime \prime }),\qquad \unicode[STIX]{x1D6FE}_{2}=(r_{2}^{\prime },r_{2}^{\prime \prime },N_{2}^{\prime },N_{2}^{\prime \prime }).\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après la relation (2) du paragraphe 4 ci-dessous, la définition de $n_{1}$ et $n_{2}$ peut se récrire

$$\begin{eqnarray}\displaystyle n_{1} & = & \displaystyle \frac{(r^{\prime }+r^{\prime \prime })^{2}+(r^{\prime }+r^{\prime \prime }+1)^{2}-1}{4}+N^{\prime },\nonumber\\ \displaystyle n_{2} & = & \displaystyle \frac{(r^{\prime }-r^{\prime \prime })^{2}+(r^{\prime }-r^{\prime \prime }+1)^{2}-1}{4}+N^{\prime \prime }.\nonumber\end{eqnarray}$$

On vérifie que $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ , que $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{1}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}_{n_{1}}$ et $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{2}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}_{n_{2}}$ . L’élément $\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime }$ peut être considéré comme un élément de ${\mathcal{R}}_{\operatorname{cusp}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{1})$ et l’élément $\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime \prime }$ peut être considéré comme un élément de ${\mathcal{R}}_{\operatorname{cusp}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{2})$ . Posons $\unicode[STIX]{x1D711}=\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime }\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime \prime }$ . C’est un élément de ${\mathcal{R}}_{\operatorname{cusp}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Posons

$$\begin{eqnarray}f=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}(\unicode[STIX]{x1D711}),\qquad f_{1}=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}(\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime }),\qquad f_{2}=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}(\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime \prime }),\end{eqnarray}$$

avec les notations de [Reference Waldspurger11] 1.9, 1.10. Bien sûr, dans les deux dernières définitions, ce sont les applications $\unicode[STIX]{x1D6F9}$ , $k$ et $\unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}$ relatives à $n_{1}$ et $n_{2}$ qui interviennent.

Nous démontrerons cette proposition dans la section 3. Nous l’admettons pour la suite de la présente section.

1.3 Transfert de représentations elliptiques

Soit $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ , auquel on associe un élément $h\in \operatorname{Sp}(2n;\mathbb{C})$ tel que $h^{2}=1$ . Soit $(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1};1)\in \mathfrak{St}_{n_{1},\operatorname{unip},\operatorname{disc}}$ et $(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)\in \mathfrak{St}_{n_{2},\operatorname{unip},\operatorname{disc}}$ , cf. [Reference Waldspurger11] 2.4. Comme en [Reference Waldspurger11] 2.1, on associe à ces données un triplet $(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)\in \mathfrak{Endo}_{\operatorname{unip}\!{-}\!\operatorname{disc}}$ .

Théorème. On a les égalités

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{transfert}_{h,\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)\,;\nonumber\\ \displaystyle \text{transfert}_{h,\operatorname{an}}(\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)) & = & \displaystyle -\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{an}}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h).\nonumber\end{eqnarray}$$

Preuve.

Notons respectivement $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{1,\operatorname{iso}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{1,\operatorname{an}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{2,\operatorname{iso}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{2,\operatorname{an}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\operatorname{iso}}$ et $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\operatorname{an}}$ les caractères-fonctions des représentations $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)$ , $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{an}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)$ , $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)$ , $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{an}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)$ , $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)$ et $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{an}}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)$ . Les égalités à démontrer se traduisent par des égalités entre ces caractères. Toutes les représentations intervenant sont elliptiques. D’après [Reference Arthur2] théorème 6.2, il suffit donc de démontrer ces égalités restreintes aux éléments elliptiques des différents groupes. Écrivons ces égalités. Posons $\operatorname{sgn}_{\operatorname{iso}}=1$ et $\operatorname{sgn}_{\operatorname{an}}=-1$ . Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et pour $x\in G_{\sharp }(F)$ fortement régulier et elliptique, on doit avoir

(1) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle D^{G_{\sharp }}(x)^{1/2}\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\sharp }(x)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\operatorname{sgn}_{\sharp }\mathop{\sum }_{x_{1},x_{2}}D^{G_{n_{1},\operatorname{iso}}}(x_{1})^{1/2}D^{G_{n_{2},\operatorname{iso}}}(x_{2})^{1/2}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{h}((x_{1},x_{2}),x)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\unicode[STIX]{x1D6E9}_{1,\operatorname{iso}}(x_{1})\unicode[STIX]{x1D6E9}_{2,\operatorname{iso}}(x_{2}),\end{eqnarray}$$

où $x_{1}$ , respectivement $x_{2}$ , parcourt les éléments fortement réguliers et elliptiques de $G_{n_{1},\operatorname{iso}}(F)$ , respectivement $G_{n_{2},\operatorname{iso}}(F)$ , à conjugaison stable près. Ici encore, on peut se limiter aux couples $(x_{1},x_{2})$ correspondant par endoscopie à la classe de conjugaison stable de $x$ . La somme est finie.

Posons $f_{1}=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ D\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)$ , $f_{2}=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ D\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)$ , $f=\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ D\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)$ . Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ , on a l’égalité $\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ D\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)=(-1)^{n}\operatorname{sgn}_{\sharp }\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)$ , cf. [Reference Moeglin and Waldspurger6] corollaire 5.7. D’après la proposition 1.1, on a donc l’égalité

$$\begin{eqnarray}D^{G_{\sharp }}(x)^{1/2}\overline{\unicode[STIX]{x1D6E9}_{\sharp }(x)}=(-1)^{n}\operatorname{sgn}_{\sharp }J(x,f).\end{eqnarray}$$

On a des égalités analogues pour $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{1}(x_{1})$ et $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{2}(x_{2})$ . Ces dernières égalités entraînent

(2) soit $j=1,2$ , $\sharp _{j}=\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ , $x_{j}\in G_{n_{j},\operatorname{iso}}(F)$ et $y_{j}\in G_{n_{j},\sharp _{j}}(F)$  ; supposons que $x_{j}$ et $y_{j}$ sont fortement réguliers et elliptiques et que leurs classes de conjugaison stable sont égales si $\sharp _{j}=\operatorname{iso}$ ou se correspondent si $\sharp _{j}=\operatorname{an}$ , alors $J(x_{j},f_{j})=J(y_{j},f_{j})$ .

Cela traduit le fait que $\unicode[STIX]{x1D6E9}_{j,\operatorname{iso}}$ est stable et que $-\unicode[STIX]{x1D6E9}_{j,\operatorname{an}}$ en est son transfert, cf. [Reference Waldspurger11] 2.1.

Parce que les facteurs de transfert valent $\pm 1$ et sont donc à valeurs réelles, l’égalité (1) se récrit

(3) $$\begin{eqnarray}J(x,f)=\mathop{\sum }_{x_{1},x_{2}}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{h}((x_{1},x_{2}),x)J(x_{1},f_{1})J(x_{2},f_{2})\end{eqnarray}$$

pour tout $x\in G_{\operatorname{iso}}(F)\cup G_{\operatorname{an}}(F)$ fortement régulier et elliptique.

La propriété de base de l’endoscopie est que les intégrales orbitales $J(x,f)$ sont déterminées par les intégrales endoscopiques $J^{\operatorname{endo}}(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},f)$ quand $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})$ décrit $D(n)$ et $(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2})\in G_{\bar{n}_{1},\operatorname{iso}}(F)\times G_{\bar{n}_{2},\operatorname{iso}}(F)$ décrit les couples $n$ -réguliers formés d’éléments elliptiques. Donc (3) équivaut, pour toutes données $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})$ et $(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2})$ comme ci-dessus, à ce que l’on ait l’égalité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle J^{\operatorname{endo}}(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},f) & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{x}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{\bar{h}}((\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}),x)J(x,f)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{x}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{\bar{h}}((\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}),x)\!\mathop{\sum }_{x_{1},x_{2}}\!\unicode[STIX]{x1D6E5}_{h}((x_{1},x_{2}),x)J(x_{1},f_{1})J(x_{2},f_{2}),\nonumber\end{eqnarray}$$

où l’on somme sur les éléments $x\in G_{\operatorname{iso}}(F)\cup G_{\operatorname{an}}(F)$ fortement réguliers et elliptiques modulo conjugaison. On a noté $\bar{h}$ l’élément de $\operatorname{Sp}(2n;\mathbb{C})$ tel que $\bar{h}^{2}=1$ associé à $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})$ . On récrit l’égalité ci-dessus :

$$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},f)=\mathop{\sum }_{x_{1},x_{2}}J(x_{1},f_{1})J(x_{2},f_{2})\mathop{\sum }_{x}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{\bar{h}}((\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}),x)\unicode[STIX]{x1D6E5}_{h}((x_{1},x_{2}),x).\end{eqnarray}$$

La somme intérieure en $x$ est nulle sauf si $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})=(n_{1},n_{2})$ et, à conjugaison stable près, $(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2})=(x_{1},x_{2})$ . Si ces conditions sont vérifiées, la somme vaut le nombre de $x$ , pris à conjugaison près, qui interviennent dans la somme. C’est le nombre $z(x)$ défini en 1.2 pour un quelconque de ces $x$ . Or on vérifie facilement l’égalité $z(x)=z(\bar{x}_{1})z(\bar{x}_{2})$ . Dans le cas où $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})=(n_{1},n_{2})$ , on obtient donc

$$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},f)=z(\bar{x}_{1})z(\bar{x}_{2})J(\bar{x}_{1},f_{1})J(\bar{x}_{2},f_{2}).\end{eqnarray}$$

Mais la propriété (2) entraîne que, pour $j=1,2$ , $z(\bar{x}_{j})J(\bar{x}_{j},f_{j})=S(\bar{x}_{j},f_{j})$ . L’égalité ci-dessus se transforme en

$$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},f)=S(\bar{x}_{1},f_{1})S(\bar{x}_{2},f_{2}).\end{eqnarray}$$

Autrement dit, $f_{1}\,\otimes \,f_{2}$ est un transfert de $f$ . Résumons : l’égalité (3) équivaut aux assertions

(4)(a) $f_{1}\,\otimes \,f_{2}$ est un transfert de $f$ relatif à $(n_{1},n_{2})$  ;

(4)(b) pour $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})\in D(n)$ différent de $(n_{1},n_{2})$ , le transfert de $f$ relatif à $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})$ est nul.

Calculons $f$ . D’après le lemme 2.3 de [Reference Waldspurger11] et parce que ${\mathcal{F}}^{\operatorname{par}}$ est une involution, on a $\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}={\mathcal{F}}^{\operatorname{par}}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \,\mathfrak{F}^{\operatorname{par}}$ . Par définition de $\mathfrak{F}^{\operatorname{par}}$ , on a aussi $\mathfrak{F}^{\operatorname{par}}\circ \operatorname{Res}\circ D=\operatorname{Res}\circ D\circ {\mathcal{F}}$ . D’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle f & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6F9}\circ {\mathcal{F}}^{\operatorname{par}}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ D\circ {\mathcal{F}}\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6F9}\circ {\mathcal{F}}^{\operatorname{par}}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}\circ \operatorname{Res}\circ D\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706},h,s).\nonumber\end{eqnarray}$$

La décomposition de $\unicode[STIX]{x1D706}$ associée à $h$ est $\unicode[STIX]{x1D706}=\unicode[STIX]{x1D706}_{1}\cup \unicode[STIX]{x1D706}_{2}$ . Il résulte des définitions que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706},h,s)=\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}\unicode[STIX]{x1D70B}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2})\unicode[STIX]{x1D716}_{1}(s_{1})\unicode[STIX]{x1D716}_{2}(s_{2}),\end{eqnarray}$$

où $(\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2})$ parcourt $\{\pm 1\}^{\operatorname{Jord}_{\text{bp}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1})}\times \{\pm 1\}^{\operatorname{Jord}_{\text{bp}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2})}$ et les termes $\unicode[STIX]{x1D716}_{1}(s_{1})$ et $\unicode[STIX]{x1D716}_{2}(s_{2})$ sont définis en interprétant $\unicode[STIX]{x1D716}_{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D716}_{2}$ comme des éléments de $\mathbf{Z}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},1)^{\vee }$ et $\mathbf{Z}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},1)^{\vee }$ , cf. [Reference Waldspurger11] 1.3. La proposition [Reference Waldspurger11] 1.11 calcule $\operatorname{Res}\circ D(\unicode[STIX]{x1D70B}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}))$ .

Changement de notations. Dans la formule de cette proposition figure un isomorphisme $j$ entre deux espaces, l’un d’eux étant l’espace ${\mathcal{R}}$ . Distinguer ces deux espaces nous a été utile dans la deuxième section de [Reference Waldspurger11]. Maintenant, cela ne nous sert plus. Pour simplifier, on identifie par $j$ les deux espaces en question et on fait disparaître $j$ de la notation.

On obtient

$$\begin{eqnarray}\operatorname{Res}\circ D\circ \unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706},h,s)=\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}\unicode[STIX]{x1D716}_{1}(s_{1})\unicode[STIX]{x1D716}_{2}(s_{2})\text{Rep}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}\,\otimes \,\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}).\end{eqnarray}$$

Les applications $\text{Rep}$ , $k$ , ${\mathcal{F}}^{\operatorname{par}}$ et $\unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}$ commutent aux projections cuspidales. De plus, ${\mathcal{F}}^{\operatorname{par}}\circ \text{Rep}=k$ . Il en résulte que

$$\begin{eqnarray}f=\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}\unicode[STIX]{x1D716}_{1}(s_{1})\unicode[STIX]{x1D716}_{2}(s_{2})\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}\,\otimes \,\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}).\end{eqnarray}$$

Un calcul analogue s’applique à $f_{1}$ et $f_{2}$ . On a cette fois ${\mathcal{F}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{j},s_{j},1)=(\unicode[STIX]{x1D706}_{j},1,s_{j})$ pour $j=1,2$ et la décomposition de $\unicode[STIX]{x1D706}_{j}$ associée à $1$ est $\unicode[STIX]{x1D706}_{j}=\unicode[STIX]{x1D706}_{j}\cup \emptyset$ . Autrement dit, les secondes composantes de la formule ci-dessus disparaissent. On obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle f_{1} & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}\unicode[STIX]{x1D716}_{1}(s_{1})\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}),\nonumber\\ \displaystyle f_{2} & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}\unicode[STIX]{x1D716}_{2}(s_{2})\unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \unicode[STIX]{x1D70C}\unicode[STIX]{x1D704}\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}),\nonumber\end{eqnarray}$$

où les représentations $\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}$ et $\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}$ sont assimilées à des produits tensoriels dont le second terme est trivial. Pour $(\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2})\in \{\pm 1\}^{\operatorname{Jord}_{\text{bp}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1})}\times \{\pm 1\}^{\operatorname{Jord}_{\text{bp}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2})}$ , posons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}\,\otimes \,\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}),\nonumber\\ \displaystyle f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1}} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}),\nonumber\\ \displaystyle f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{2}} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6F9}\circ k\circ \operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}).\nonumber\end{eqnarray}$$

Les propriétés (4) résultent des propriétés suivantes, pour tout $(\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2})$  :

(5)(a) $f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}\,\otimes \,f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}$ est un transfert de $f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}$ relatif à $(n_{1},n_{2})$  ;

(5)(b) pour $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})\in D(n)$ différent de $(n_{1},n_{2})$ , le transfert de $f_{\unicode[STIX]{x1D716}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}}$ relatif à $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})$ est nul.

Fixons $\unicode[STIX]{x1D716}_{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D716}_{2}$ . À $(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1})$ et $(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2})$ sont associés des couples $(k_{1},N_{1})$ et $(k_{2},N_{2})$ , puis un triplet $\unicode[STIX]{x1D6FE}=(r^{\prime },r^{\prime \prime },N_{1},N_{2})\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ , cf. [Reference Waldspurger11] 1.11. L’élément $\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}}\,\otimes \,\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}})$ appartient à ${\mathcal{R}}_{\operatorname{cusp}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . De même, en remplaçant $n$ par $n_{j}$ pour $j=1,2$ , à $(\unicode[STIX]{x1D706}_{j},\unicode[STIX]{x1D716}_{j})$ sont associés des termes $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{2}$ analogues. Ainsi qu’on l’a remarqué ci-dessus, il faut considérer que $(\unicode[STIX]{x1D706}_{j},\unicode[STIX]{x1D716}_{j})$ est le premier couple d’un quadruplet $(\unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{+},\unicode[STIX]{x1D716}_{j}^{+},\unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{-},\unicode[STIX]{x1D716}_{j}^{-})$ dont le second couple est trivial. On voit que $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}$ est de la forme $(r_{j}^{\prime },r_{j}^{\prime \prime },N_{j},0)$ . L’élément $\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{j},\unicode[STIX]{x1D716}_{j}})$ appartient à ${\mathcal{R}}_{\operatorname{cusp}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})$ . En considérant la recette de [Reference Waldspurger11] 1.11 qui calcule $r^{\prime },r^{\prime \prime },r_{1}^{\prime },r_{1}^{\prime \prime },r_{2}^{\prime },r_{2}^{\prime \prime }$ en fonction de $k_{1}$ et $k_{2}$ , on constate que $r_{1}^{\prime },r_{1}^{\prime \prime },r_{2}^{\prime },r_{2}^{\prime \prime }$ se déduisent de $(r^{\prime },r^{\prime \prime })$ par les formules de 1.2. On est alors dans la situation de ce paragraphe, les fonctions $\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime }$ et $\unicode[STIX]{x1D711}^{\prime \prime }$ étant respectivement $\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D716}_{1}})$ et $\operatorname{proj}_{\operatorname{cusp}}(\boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D70C}}_{\unicode[STIX]{x1D706}_{2},\unicode[STIX]{x1D716}_{2}})$ . La proposition 1.2 affirme que les propriétés (5)(a) et (5)(b) sont vérifiées. Cela achève la démonstration.◻

1.4 Démonstration du théorème 2.1 de [Reference Waldspurger11]

Soit $h\in \operatorname{Sp}(2n;\mathbb{C})$ tel que $h^{2}=1$ , auquel est associé un couple $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ . Pour $j=1,2$ , soit $(\unicode[STIX]{x1D706}_{j},s_{j},1)\in \mathfrak{St}_{n_{j},\operatorname{tunip}}$ . Pour $j=1,2$ , notons $\cup _{b\in B_{j}}\{s_{j,b},s_{j,b}^{-1}\}$ l’ensemble des valeurs propres de $s_{j}$ autres que $\pm 1$ et notons

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}_{j}=\unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{+}\cup \unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{-}\cup \mathop{\bigcup }_{b\in B_{j}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{j,b}\cup \unicode[STIX]{x1D706}_{j,b})\end{eqnarray}$$

la décomposition de $\unicode[STIX]{x1D706}_{j}$ associée à $s_{j}$ , cf. [Reference Waldspurger11] 2.1. Posons $\unicode[STIX]{x1D706}_{j,0}=\unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{+}\cup \unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{-}$ , $n_{j,0}=S(\unicode[STIX]{x1D706}_{j,0})/2$ et $m_{j,b}=S(\unicode[STIX]{x1D706}_{j,b})$ pour $b\in B_{j}$ . Introduisons un sous-groupe parabolique $P_{j}$ de $G_{n_{j},\operatorname{iso}}$ de composante de Levi

$$\begin{eqnarray}M_{j}=\biggl(\displaystyle \mathop{\prod }_{b\in B_{j}}\operatorname{GL}(m_{j,b})\biggr)\times G_{n_{j,0},\operatorname{iso}}.\end{eqnarray}$$

Pour tout $b\in B_{j}$ , soit $\unicode[STIX]{x1D712}_{j,b}$ le caractère non ramifié de $F^{\times }$ tel que $\unicode[STIX]{x1D712}_{j,b}(\unicode[STIX]{x1D71B})=s_{j,b}$ . L’élément $s_{j}$ se restreint en un élément $s_{j,0}\in \operatorname{Sp}(2n_{j,0};\mathbb{C})$ de sorte que $\unicode[STIX]{x1D706}_{j,0}=\unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{+}\cup \unicode[STIX]{x1D706}_{j}^{-}$ soit la décomposition de $\unicode[STIX]{x1D706}_{j,0}$ associée à cet élément. Introduisons la représentation de $M_{j}(F)$

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D70E}_{j}=\biggl(\bigotimes _{b\in B_{j}}(\unicode[STIX]{x1D712}_{j,b}\circ \operatorname{det})st_{\unicode[STIX]{x1D706}_{j,b}}\biggr)\otimes \unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{j,0},s_{j,0},1)\end{eqnarray}$$

(on rappelle que $st_{m}$ est la représentation de Steinberg de $\operatorname{GL}(m;F)$ ). Il est connu que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{j},s_{j},1)=\operatorname{Ind}_{P_{j}}^{G_{n_{j},\operatorname{iso}}}(\unicode[STIX]{x1D70E}_{j}).\end{eqnarray}$$

Introduisons le triplet $(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)$ associé à $h$ , $(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)$ et $(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)$ . Posons $n_{0}=n_{0,1}+n_{0,2}$ . Soit $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ . Dans le cas $\sharp =an$ , supposons provisoirement que $n_{0}\geqslant 1$ . On introduit un sous-groupe parabolique $P$ de $G_{\sharp }$ de composante de Levi

$$\begin{eqnarray}M=\biggl(\displaystyle \mathop{\prod }_{j=1,2,b\in B_{j}}\operatorname{GL}(m_{j,b})\biggr)\times G_{n_{0},\sharp }.\end{eqnarray}$$

Parce que l’élément $h$ commute à $s$ , il se restreint en un élément $h_{0}\in \operatorname{Sp}(2n_{0};\mathbb{C})$ et la représentation $\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706}_{0},s_{0},h_{0})$ de $G_{n_{0},\sharp }(F)$ est bien définie. On introduit la représentation de $M(F)$

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D70E}=\biggl(\bigotimes _{j=1,2,b\in B_{j}}(\unicode[STIX]{x1D712}_{j,b}\circ \operatorname{det})st_{\unicode[STIX]{x1D706}_{j,b}}\biggr)\otimes \unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706}_{0},s_{0},h_{0}).\end{eqnarray}$$

On vérifie que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)=\operatorname{Ind}_{P}^{G_{\sharp }}(\unicode[STIX]{x1D70E}).\end{eqnarray}$$

Pour $j=1,2$ , le triplet $(\unicode[STIX]{x1D706}_{j,0},s_{j,0},1)$ appartient à $\mathfrak{St}_{n_{j,0},\operatorname{unip}\!{-}\text{quad}}$ . Le théorème 1.3 entraîne que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706}_{0},s_{0},h_{0})=\operatorname{sgn}_{\sharp }\text{transfert}_{h_{0},\sharp }(\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{0,1},s_{0,1},1)\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{0,2},s_{0,2},1)).\end{eqnarray}$$

Le transfert $\text{transfert}_{h_{0},\sharp }$ se prolonge en un transfert entre les groupes $M_{1}\times M_{2}$ et $M$ (le transfert étant l’identité sur les composantes $\operatorname{GL}(m_{j,b})$ ). Pour celui-là, $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D70E}_{2}$ se transfère en $\operatorname{sgn}_{\sharp }\unicode[STIX]{x1D70E}$ . Mais on sait que le transfert commute à l’induction. Il résulte alors des descriptions ci-dessus que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\sharp }(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)=\operatorname{sgn}_{\sharp }\text{transfert}_{h,\sharp }(\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{1},s_{1},1)\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D6F1}_{\operatorname{iso}}(\unicode[STIX]{x1D706}_{2},s_{2},1)).\end{eqnarray}$$

Dans le cas particulier où $\sharp =an$ et $n_{0}=0$ , il n’y a plus de sous-groupe parabolique $P$ . Le membre de droite ci-dessus est nul car c’est le transfert d’une induite à partir d’un sous-groupe parabolique qui n’est pas relevant pour $G_{\sharp }$ . Le membre de gauche est nul lui aussi car, d’après la relation [Reference Waldspurger11] 1.3(1), toutes les composantes irréductibles de $\unicode[STIX]{x1D6F1}(\unicode[STIX]{x1D706},s,h)$ vivent sur l’unique groupe $G_{\operatorname{iso}}(F)$ . L’égalité ci-dessus est donc aussi vérifiée dans ce cas particulier. Elle démontre le théorème 2.1 de [Reference Waldspurger11].◻

2.1 Le cas spécial orthogonal impair

Cette section et la suivante s’appuient sur les calculs déjà faits dans [Reference Moeglin and Waldspurger6]. On n’a guère envie de reproduire ces calculs, ni les définitions compliquées des objets qui y apparaissent. On se contentera d’indiquer les références nécessaires. Dans cette section, on va énoncer des lemmes de transfert pour des algèbres de Lie. Il y a trois cas : le cas spécial orthogonal impair, le cas spécial orthogonal pair et le cas unitaire. Les preuves sont similaires dans les trois cas (et beaucoup plus faciles dans le dernier). On n’écrira que celle concernant le cas spécial orthogonal pair, qui est le plus subtil. Dans ces trois paragraphes, on oublie les objets $n$ , $G_{\operatorname{iso}}$ et $G_{\operatorname{an}}$ précédemment fixés afin de libérer ces notations. On va introduire de nouveaux entiers $n$ et on conserve l’hypothèse $p>6n+4$ .

Dans ce paragraphe, on considère un entier $n\geqslant 1$ et un élément $\unicode[STIX]{x1D702}\in F^{\times }/F^{\times 2}$ . On construit comme en [Reference Waldspurger11] 1.1 les deux espaces quadratiques $(V_{\operatorname{iso}},Q_{\operatorname{iso}})$ et $(V_{\operatorname{an}},Q_{\operatorname{an}})$ définis sur $F$ tels que $\operatorname{dim}_{F}(V_{\operatorname{iso}})=\operatorname{dim}_{F}(V_{\operatorname{an}})=2n+1$ et $\unicode[STIX]{x1D702}(Q_{\operatorname{iso}})=\unicode[STIX]{x1D702}(Q_{\operatorname{an}})=\unicode[STIX]{x1D702}$ . On note $G_{\operatorname{iso}}$ et $G_{\operatorname{an}}$ leurs groupes spéciaux orthogonaux. On considère quatre entiers $r^{\prime },r^{\prime \prime },N^{\prime },N^{\prime \prime }\in \mathbb{N}$ tels que

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & r^{\prime 2}+r^{\prime \prime 2}+2N^{\prime }+2N^{\prime \prime }=2n+1, & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & r^{\prime }\equiv 1+\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})\,\,\text{mod}\,\,2\,\mathbb{Z},\qquad r^{\prime \prime }\equiv \operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})\,\,\text{mod}\,\,2\,\mathbb{Z}. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On pose $N=N^{\prime }+N^{\prime \prime }$ . On a défini en [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.11 et 3.12 une application

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle {\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime },N^{\prime \prime }}:\mathbb{C}[{\hat{W}}_{N^{\prime }}]_{\operatorname{cusp}}\,\otimes \,\mathbb{C}[{\hat{W}}_{N^{\prime \prime }}]_{\operatorname{cusp}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \rightarrow C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{an}}(F))\nonumber\end{eqnarray}$$

(en [Reference Moeglin and Waldspurger6], l’indice $\operatorname{cusp}$ était remplacé par $\text{ell}$ mais le sens était le même).

Rappelons que, pour $m\in \mathbb{N}$ , les classes de conjugaison dans $W_{m}$ sont paramétrées par les paires de partitions $(\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD})$ telles que $S(\unicode[STIX]{x1D6FC})+S(\unicode[STIX]{x1D6FD})=m$ . Pour $w\in W_{m}$ , notons $\unicode[STIX]{x1D711}_{w}$ la fonction caractéristique de la classe de conjugaison de $w$ . Alors $\mathbb{C}[{\hat{W}}_{m}]_{\operatorname{cusp}}$ a pour base les $\unicode[STIX]{x1D711}_{w}$ quand $w$ décrit, à conjugaison près, les éléments dont la classe est paramétrée par un couple de partitions de la forme $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FD})$ . On fixe des éléments $w^{\prime }\in W_{N^{\prime }}$ et $w^{\prime \prime }\in W_{N^{\prime \prime }}$ dont les classes sont paramétrées par des couples de cette forme. On pose

$$\begin{eqnarray}f={\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime },N^{\prime \prime }}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }}\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }}).\end{eqnarray}$$

Soit $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ . À ce couple est associée une donnée endoscopique de $G_{\operatorname{iso}}$ et $G_{\operatorname{an}}$ . On utilise les mêmes définitions qu’en 1.2. Celles-là s’appliquent aux algèbres de Lie, c’est-à-dire qu’il y a un transfert de $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{an}}(F))$ dans

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \left(C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\operatorname{an}}(F))\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \otimes \left(C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\operatorname{an}}(F))\right).\nonumber\end{eqnarray}$$

On le note $\text{transfert}_{n_{1},n_{2}}$ . Le facteur de transfert est uniquement défini. Les formules en sont données en [Reference Waldspurger9] proposition X.8. Il convient de supprimer les discriminants de Weyl de ces formules, que l’on a incorporés aux intégrales orbitales. Le $\unicode[STIX]{x1D702}$ de la définition X.7 de [Reference Waldspurger9] n’est pas notre présent $\unicode[STIX]{x1D702}$ , c’est $(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D702}$ .

Fixons $\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\in F^{\times }/F^{\times 2}$ tels que $\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\unicode[STIX]{x1D702}_{2}=\unicode[STIX]{x1D702}$ . Notons $t_{1}^{\prime }$ l’élément de l’ensemble $\{\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }+1}{2},\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }-1}{2}\}$ qui est de la même parité que $1+\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{1})$ . Notons $t_{1}^{\prime \prime }$ l’autre élément. Notons $t_{2}^{\prime }$ l’élément de l’ensemble $\{\frac{|r^{\prime }-r^{\prime \prime }|+1}{2},\frac{|r^{\prime }-r^{\prime \prime }|-1}{2}\}$ qui est de la même parité que $1+\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})$ . Notons $t_{2}^{\prime \prime }$ l’autre élément. Définissons deux entiers $n_{1}$ et $n_{2}$ par les formules

$$\begin{eqnarray}2n_{1}+1=t_{1}^{\prime 2}+t_{1}^{\prime \prime 2}+2N^{\prime },\qquad 2n_{2}+1=t_{2}^{\prime 2}+t_{2}^{\prime \prime 2}+2N^{\prime \prime },\end{eqnarray}$$

qui sont équivalentes à

$$\begin{eqnarray}n_{1}=\frac{(r^{\prime }+r^{\prime \prime })^{2}-1}{4}+N^{\prime },\qquad n_{2}=\frac{(r^{\prime }-r^{\prime \prime })^{2}-1}{4}+N^{\prime \prime }.\end{eqnarray}$$

On vérifie que $n_{1}+n_{2}=n$ . Pour $j=1,2$ , on peut considérer $G_{n_{j},\operatorname{iso}}$ et $G_{n_{j},\operatorname{an}}$ comme les groupes spéciaux orthogonaux d’espaces quadratiques de discriminants $\unicode[STIX]{x1D702}_{j}$ . On peut donc appliquer la même construction que ci-dessus, où le couple $(N^{\prime },N^{\prime \prime })$ est remplacé par $(N^{\prime },0)$ si $j=1$ ou par $(N^{\prime \prime },0)$ si $j=2$ . Cela nous permet de définir les éléments

$$\begin{eqnarray}\displaystyle f_{1} & = & \displaystyle {\mathcal{Q}}(t_{1}^{\prime },t_{1}^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N^{\prime }}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime },0}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }})\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\operatorname{an}}(F)),\nonumber\\ \displaystyle f_{2} & = & \displaystyle {\mathcal{Q}}(t_{2}^{\prime },t_{2}^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N^{\prime \prime }}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime \prime },0}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }})\in C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\operatorname{an}}(F)).\nonumber\end{eqnarray}$$

Notons $\operatorname{sgn}$ l’unique caractère non trivial de $\mathfrak{o}^{\times }/\mathfrak{o}^{\times 2}$ . Définissons une constante $C$ par les formules suivantes :

si $r^{\prime \prime }\leqslant r^{\prime }$ , $C=\operatorname{sgn}(-1)^{\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }-1}{2}}\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})})^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$  ;

si $r^{\prime }<r^{\prime \prime }$ , $C=\operatorname{sgn}(-1)^{\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }-1}{2}}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})})^{1+\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$ .

2.2 Le cas spécial orthogonal pair

Dans ce paragraphe, on considère un entier $n\geqslant 1$ et un élément $\unicode[STIX]{x1D702}\in F^{\times }/F^{\times 2}$ . On exclut le cas $n=1$ , $\unicode[STIX]{x1D702}=1$ . On construit comme en [Reference Waldspurger11] 1.1 les deux espaces quadratiques $(V_{\operatorname{iso}},Q_{\operatorname{iso}})$ et $(V_{\operatorname{an}},Q_{\operatorname{an}})$ définis sur $F$ tels que $\operatorname{dim}_{F}(V_{\operatorname{iso}})=\operatorname{dim}_{F}(V_{\operatorname{an}})=2n$ et $\unicode[STIX]{x1D702}(Q_{\operatorname{iso}})=\unicode[STIX]{x1D702}(Q_{\operatorname{an}})=\unicode[STIX]{x1D702}$ . On note $G_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{iso}}$ et $G_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{an}}$ leurs groupes spéciaux orthogonaux. On considère quatre entiers $r^{\prime },r^{\prime \prime },N^{\prime },N^{\prime \prime }\in \mathbb{N}$ tels que

$$\begin{eqnarray}\displaystyle r^{\prime 2}+r^{\prime \prime 2}+2N^{\prime }+2N^{\prime \prime }=2n, & & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle r^{\prime }\equiv r^{\prime \prime }\equiv \operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})\,\,\text{mod}\,\,2\,\mathbb{Z}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On pose $N=N^{\prime }+N^{\prime \prime }$ . On a défini en [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.11 et 3.12 une application

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle {\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime },N^{\prime \prime }}:\mathbb{C}[{\hat{W}}_{N^{\prime }}]_{\operatorname{cusp}}\,\otimes \,\mathbb{C}[{\hat{W}}_{N^{\prime \prime }}]_{\operatorname{cusp}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \rightarrow C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{an}}(F)).\nonumber\end{eqnarray}$$

On fixe des éléments $w^{\prime }\in W_{N^{\prime }}$ et $w^{\prime \prime }\in W_{N^{\prime \prime }}$ dont les classes de conjugaison sont paramétrées par des couples de partitions de la forme $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime })$ et $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime \prime })$ . On pose

$$\begin{eqnarray}f={\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime },N^{\prime \prime }}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }}\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }}).\end{eqnarray}$$

Soit $(n_{1},n_{2})\in D(n)$ et soit $\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\in F^{\times }/F^{\times 2}$ tels que $\unicode[STIX]{x1D702}=\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\unicode[STIX]{x1D702}_{2}$ . À ces objets est associée une donnée endoscopique de $G_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{iso}}$ et $G_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{an}}$ . Le groupe endoscopique de cette donnée est $G_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\operatorname{iso}}\,\otimes \,G_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2},\operatorname{iso}}$ . De nouveau, il y a un transfert de $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\unicode[STIX]{x1D702},\operatorname{an}}(F))$ dans

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \left(C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\operatorname{an}}(F))\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \otimes \left(C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2},\operatorname{an}}(F))\right).\nonumber\end{eqnarray}$$

On le note $\text{transfert}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}$ . Il y a un choix naturel de facteur de transfert. Les formules en sont données en [Reference Waldspurger9] proposition X.8. Il convient encore d’en supprimer les discriminants de Weyl. Le $\unicode[STIX]{x1D702}$ de la définition X.7 de [Reference Waldspurger9] n’est pas notre présent $\unicode[STIX]{x1D702}$ , c’est $(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D702}$ . On note $\unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}$ ce facteur de transfert.

Posons

$$\begin{eqnarray}t_{1}^{\prime }=t_{1}^{\prime \prime }=\frac{r^{\prime }+r^{\prime \prime }}{2},\qquad t_{2}^{\prime }=t_{2}^{\prime \prime }=\frac{|r^{\prime }-r^{\prime \prime }|}{2}.\end{eqnarray}$$

Définissons deux entiers $n_{1}$ et $n_{2}$ par les formules

$$\begin{eqnarray}2n_{1}=t_{1}^{\prime 2}+t_{1}^{\prime \prime 2}+2N^{\prime },\qquad 2n_{2}=t_{2}^{\prime 2}+t_{2}^{\prime \prime 2}+2N^{\prime \prime },\end{eqnarray}$$

qui sont équivalentes à

$$\begin{eqnarray}n_{1}=\frac{(r^{\prime }+r^{\prime \prime })^{2}}{4}+N^{\prime },\qquad n_{2}=\frac{(r^{\prime }-r^{\prime \prime })^{2}}{4}+N^{\prime \prime }.\end{eqnarray}$$

On vérifie que $n_{1}+n_{2}=n$ . Fixons $\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\in F^{\times }/F^{\times 2}$ tels que $\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\unicode[STIX]{x1D702}_{2}=\unicode[STIX]{x1D702}$ et

$$\begin{eqnarray}(1)\quad \operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{1})\equiv t_{1}^{\prime }=t_{1}^{\prime \prime }\,,\,\text{mod}\,\,2\,\mathbb{Z},\qquad \operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})\equiv t_{2}^{\prime }=t_{2}^{\prime \prime }\,,\,\text{mod}\,\,2\,\mathbb{Z}.\end{eqnarray}$$

Pour $j=1,2$ , on peut appliquer la même construction que ci-dessus à $n_{j}$ et $\unicode[STIX]{x1D702}_{j}$ , où le couple $(N^{\prime },N^{\prime \prime })$ est remplacé par $(N^{\prime },0)$ si $j=1$ ou par $(N^{\prime \prime },0)$ si $j=2$ . Cela nous permet de définir les éléments

$$\begin{eqnarray}\displaystyle f_{1,\unicode[STIX]{x1D702}_{1}} & = & \displaystyle {\mathcal{Q}}(t_{1}^{\prime },t_{1}^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N^{\prime }}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime },0}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }})\nonumber\\ \displaystyle & \in & \displaystyle C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\operatorname{an}}(F)),\nonumber\\ \displaystyle f_{2,\unicode[STIX]{x1D702}_{2}} & = & \displaystyle {\mathcal{Q}}(t_{2}^{\prime },t_{2}^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{N^{\prime \prime }}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{N^{\prime \prime },0}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }})\nonumber\\ \displaystyle & \in & \displaystyle C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2},\operatorname{iso}}(F))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2},\operatorname{an}}(F)).\nonumber\end{eqnarray}$$

Définissons une constante $C_{\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}$ par les formules suivantes :

si $r^{\prime \prime }\leqslant r^{\prime }$ , $C_{\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}=\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})})^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$  ;

si $r^{\prime }<r^{\prime \prime }$ , $C_{\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}=\operatorname{sgn}(-1)^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}_{2})})^{1+\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$ .

La démonstration de ce lemme occupe les paragraphes 2.4 à 2.8.

2.3 Le cas unitaire

Dans ce paragraphe, on fixe une tour d’extensions finies non ramifiées $E/E^{\natural }/F$ , avec $[E:E^{\natural }]=2$ , et un entier $d\geqslant 1$ . On considère les espaces vectoriels $V$ sur $E$ , de dimension $d$ , munis d’une forme hermitienne non dégénérée $Q$ , relativement à l’extension $E/E^{\natural }$ . De nouveau, il y a deux classes d’isomorphie de couples $(V,Q)$ , qui se distinguent par la valuation du déterminant de $Q$ (ce déterminant est un élément de $E^{\natural ,\times }/\operatorname{norme}_{E/E^{\natural }}(E^{\times })$ , sa valuation est l’image de ce terme dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par l’application $\operatorname{val}_{E^{\natural }}$ ). On note $(V_{\operatorname{iso}},Q_{\operatorname{iso}})$ celui pour lequel cette valuation est paire et $(V_{\operatorname{an}},Q_{\operatorname{an}})$ celui pour lequel cette valuation est impaire. On note $G_{\operatorname{iso}}$ et $G_{\operatorname{an}}$ les groupes unitaires de ces espaces hermitiens.

Pour $m\in \mathbb{N}$ , on sait que les classes de conjugaison dans $\mathfrak{S}_{m}$ sont paramétrées par les partitions de $m$ . On note $\mathbb{C}[\hat{\mathfrak{S}}_{m}]_{U-\operatorname{cusp}}$ l’espace des fonctions sur $\mathfrak{S}_{m}$ , invariantes par conjugaison, à support dans des classes de conjugaison paramétrées par des partitions dont tous les termes non nuls sont impairs.

Soit $(d^{\prime },d^{\prime \prime })\in D(d)$ . Dans [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.1, 3.2, 3.3 et 3.12, on a défini une application

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle {\mathcal{Q}}(d^{\prime },d^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{d}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{d^{\prime },d^{\prime \prime }}:\mathbb{C}[\hat{\mathfrak{S}}_{d^{\prime }}]_{U-\operatorname{cusp}}\,\otimes \,\mathbb{C}[\hat{\mathfrak{S}}_{d^{\prime \prime }}]_{U-\operatorname{cusp}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \rightarrow C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{iso}}(E^{\natural }))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{an}}(E^{\natural })).\nonumber\end{eqnarray}$$

Fixons $w^{\prime }\in \mathfrak{S}_{d^{\prime }}$ et $w^{\prime \prime }\in \mathfrak{S}_{d^{\prime \prime }}$ dont les classes de conjugaison sont paramétrées par des partitions dont tous les termes non nuls sont impairs. On note $\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }}$ et $\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }}$ les fonctions caractéristiques de ces classes de conjugaison. On pose

$$\begin{eqnarray}f={\mathcal{Q}}(d^{\prime },d^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{d}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{d^{\prime },d^{\prime \prime }}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }}\,\otimes \,\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }}).\end{eqnarray}$$

Soit $(d_{1},d_{2})\in D(d)$ . Ce couple détermine une donnée endoscopique de $G_{\operatorname{iso}}$ et $G_{\operatorname{an}}$ . Le groupe endoscopique de cette donnée est $G_{d_{1},\operatorname{iso}}\times G_{d_{2},\operatorname{iso}}$ . Il y a un transfert de $C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{iso}}(E^{\natural }))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\operatorname{an}}(E^{\natural }))$ dans

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \left(C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{d_{1},\operatorname{iso}}(E^{\natural }))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{d_{1},\operatorname{an}}(E^{\natural }))\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \otimes \left(C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{d_{2},\operatorname{iso}}(E^{\natural }))\oplus C_{\operatorname{cusp}}^{\infty }(\mathfrak{g}_{d_{2},\operatorname{an}}(E^{\natural }))\right).\nonumber\end{eqnarray}$$

On le note $\text{transfert}_{d_{1},d_{2}}$ . Il y a un choix naturel de facteur de transfert, cf. [Reference Waldspurger9] proposition X.8. Comme précédemment, on supprime les discriminants de Weyl. Le $\unicode[STIX]{x1D702}$ de la définition X.7 de [Reference Waldspurger9] est une unité de $E^{\natural }$ si $d$ est impair, une unité de $E$ de trace nulle dans $E^{\natural }$ si $d$ est pair.

Dans le cas où $(d_{1},d_{2})=(d^{\prime },d^{\prime \prime })$ , on peut appliquer la construction ci-dessus en remplaçant $d$ par $d^{\prime }$ , respectivement $d^{\prime \prime }$ , et $(d^{\prime },d^{\prime \prime })$ par $(d^{\prime },0)$ , respectivement $(d^{\prime \prime },0)$ . On définit ainsi

$$\begin{eqnarray}\displaystyle f_{1} & = & \displaystyle {\mathcal{Q}}(d^{\prime },0)^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{d^{\prime }}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{d^{\prime },0}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime }}),\nonumber\\ \displaystyle f_{2} & = & \displaystyle {\mathcal{Q}}(d^{\prime \prime },0)^{\operatorname{Lie}}\circ \unicode[STIX]{x1D70C}_{d^{\prime \prime }}^{\ast }\circ \unicode[STIX]{x1D704}_{d^{\prime \prime },0}(\unicode[STIX]{x1D711}_{w^{\prime \prime }}).\nonumber\end{eqnarray}$$

2.4 Une expression à l’aide de transformées de Fourier d’intégrales orbitales

On commence la démonstration du lemme 2.2. On utilise les notations de ce paragraphe et les données que l’on y a fixées. Rappelons que pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ , on définit dans l’espace $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ la notion d’élément topologiquement nilpotent. En identifiant $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ à un sous-ensemble de l’algèbre des endomorphismes de $V_{\sharp }$ , un élément $Y\in \mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ est topologiquement nilpotent si et seulement si la suite des puissances $Y^{m}$ tend vers $0$ quand $m$ tend vers l’infini. Par construction de l’application ${\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime })^{\operatorname{Lie}}$ , la fonction $f$ est à support topologiquement nilpotent.

On note $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime })$ et $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime \prime })$ les couples de partitions paramétrant les classes de conjugaison de $w^{\prime }$ et $w^{\prime \prime }$ . Posons $\unicode[STIX]{x1D6FD}=\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime }\cup \unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime \prime }$ , $\unicode[STIX]{x1D6FD}=(\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\geqslant \cdots \geqslant \unicode[STIX]{x1D6FD}_{t}>0)$ . Pour tout $k\in \{1,\ldots ,t\}$ , considérons la tour d’extensions non ramifiées $E_{k}/E_{k}^{\natural }/F$ telle que $[E_{k}:E_{k}^{\natural }]=2$ et $[E_{k}^{\natural }:F]=\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}$ . On fixe un élément $X_{k}\in E_{k}^{\times }$ tel que $\operatorname{val}_{E_{k}}(X_{k})=0$ , que $\operatorname{trace}_{E_{k}/E_{k}^{\natural }}(X_{k})=0$ et que, en notant $\bar{X}_{k}$ la réduction de $X_{k}$ dans le corps résiduel $\mathbb{F}_{q^{2\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}}}$ , tous les conjugués de $\bar{X}_{k}$ par le groupe de Galois de l’extension $\mathbb{F}_{q^{2\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}}}/\mathbb{F}_{q}$ soient distincts. On suppose de plus que, pour $k,k^{\prime }\in \{1,\ldots ,t\}$ avec $k\not =k^{\prime }$ , $\bar{X}_{k}$ n’est pas conjugué à $\bar{X}_{k^{\prime }}$ . Cette hypothèse est loisible puisque $p>6n+4$ .

Posons $R=\sup (r^{\prime },r^{\prime \prime })$ , $r=\text{inf}(r^{\prime },r^{\prime \prime })$ , $J=\{1,\ldots ,R\}$ , ${\hat{J}}=\{j\in J;j\leqslant R-r,j\,\,\operatorname{pair}\}$ . Fixons un ensemble de représentants $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{0}$ de $\mathfrak{o}^{\times }/(1+\unicode[STIX]{x1D71B}\mathfrak{o})$ . Pour tout $j\in J$ tel que $j>R-r$ , fixons un ensemble de représentants $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{j}$ de $\mathfrak{o}^{\times }/\mathfrak{o}^{\times 2}$ . Pour tout $j\in J$ tel que $j\leqslant R-r$ , posons $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{j}=\unicode[STIX]{x1D6E4}_{0}$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D6E4}$ le sous-ensemble des $\unicode[STIX]{x1D6FE}=(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\unicode[STIX]{x1D6E4}_{j}$ tels que

pour tout $j\in {\hat{J}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}\not \in \unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}+\unicode[STIX]{x1D71B}\mathfrak{o}$  ;

(1) $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}\prod _{j\in J}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})=\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ .

On note $\unicode[STIX]{x1D70E}:\unicode[STIX]{x1D6E4}\rightarrow \mathbb{C}$ la fonction définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE})=\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j\in {\hat{J}}}(q-2+\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}))\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}))\right) & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \mathop{\prod }_{j=R-r+1,\ldots ,R;\,j\,\,\operatorname{impair}}\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Notons $\bar{F}$ une clôture algébrique de $F$ . Pour $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ et pour $j\in J$ , on fixe $a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})\in \bar{F}^{\times }$ tel que

si $j\in {\hat{J}}$ , $a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{2j-2}=\unicode[STIX]{x1D71B}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}$  ;

si $j\leqslant R-r$ et $j$ est impair, $a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{2j}=\unicode[STIX]{x1D71B}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}$  ;

si $j>R-r$ , $a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{2(2j-R+r-1)}=\unicode[STIX]{x1D71B}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}$ . On note $F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ l’extension $F[a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})]$ , $F_{j}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})=F[a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{2}]$ la sous-extension d’indice $2$ , $\mathfrak{p}_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ l’idéal maximal de l’anneau des entiers de $F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ et

$$\begin{eqnarray}A_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})=\{a_{j}\in a_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})+\mathfrak{p}_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{2};\operatorname{trace}_{F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F_{j}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})}(a_{j})=0\}.\end{eqnarray}$$

On pose $A(\unicode[STIX]{x1D6FE})=\prod _{j\in J}A_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Remarquons que $A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ est naturellement un espace principal homogène sous un certain groupe. On munit $A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ d’une mesure invariante par l’action de ce groupe et de masse totale $1$ .

Considérons des éléments $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ et $a=(a_{j})_{j\in J}\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Considérons des familles $c=(c_{j})_{j\in J}$ et $u=(u_{k})_{k=1,\ldots ,t}$ telles que $c_{j}\in F_{j}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{\times }$ pour $j\in J$ et $u_{k}\in E_{k}^{\natural ,\times }$ pour $k=1,\ldots ,t$ . Pour $j\in J$ , on construit un espace quadratique $(V_{j},Q_{j})$ : $V_{j}=F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ et, pour $v,v^{\prime }\in V_{j}$ , $Q_{j}(v,v^{\prime })=[F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F]^{-1}\operatorname{trace}_{F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F}(\unicode[STIX]{x1D70F}_{j}(v)v^{\prime }c_{j})$ , où $\unicode[STIX]{x1D70F}_{j}$ est l’unique élément non trivial du groupe de Galois de $F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F_{j}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Pour $k=1,\ldots ,t$ , on construit un espace quadratique $(V_{k},Q_{k})$  : $V_{k}=E_{k}$ et, pour $v,v^{\prime }\in V_{k}$ , $Q_{k}(v,v^{\prime })=[E_{k}/F]^{-1}\operatorname{trace}_{E_{k}/F}(\unicode[STIX]{x1D70F}_{k}(v)v^{\prime }u_{k})$ , où $\unicode[STIX]{x1D70F}_{k}$ est l’unique élément non trivial du groupe de Galois de $E_{k}/E_{k}^{\natural }$ . En utilisant la relation $r^{\prime }\equiv r^{\prime \prime }\equiv \operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ imposée en 2.2 et la relation (1) ci-dessus, on montre que la somme directe des $(V_{j},Q_{j})$ et des $(V_{k},Q_{k})$ est isomorphe à l’un des deux espaces de 2.2, disons à $(V_{\sharp },Q_{\sharp })$ . On fixe un isomorphisme. On définit alors un élément $X\in \mathfrak{g}_{\sharp }(F)$  : il respecte chacun des sous-espaces $V_{j}$ et $V_{k}$  ; pour $j\in J$ , il agit sur $V_{j}$ par multiplication par $a_{j}$ et, pour $k=1,\ldots ,t$ , il agit sur $V_{k}$ par multiplication par $X_{k}$ . La classe de conjugaison de $X$ par le groupe orthogonal $O(Q_{\sharp };F)$ est bien déterminée par nos données de départ. Il y a une petite difficulté causée par la parité de la dimension de $V_{\sharp }$  : cette classe de conjugaison par $O(Q_{\sharp };F)$ se décompose en deux classes de conjugaison par $G_{\sharp }(F)$ . Au lieu de $X$ , nous fixons donc des éléments $X^{+}$ et $X^{-}$ dans chacune de ces deux classes. On voit facilement que les constructions ne dépendent que des images des $c_{j}$ dans les groupes $F_{j}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{\times }/\operatorname{norme}_{F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F_{j}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})}(F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{\times })$ et des images des $u_{k}$ dans les groupes $E_{k}^{\natural ,\times }/\operatorname{norme}_{E_{k}/E_{k}^{\natural }}(E_{k}^{\times })$ . Parce que les $F_{j}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F$ sont totalement ramifiés et les $E_{k}/F$ sont non ramifiés, ces groupes s’identifient respectivement à $\mathfrak{o}^{\times }/\mathfrak{o}^{\times 2}$ et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . En posant ${\mathcal{E}}=(\mathfrak{o}^{\times }/\mathfrak{o}^{\times 2})^{J}$ et ${\mathcal{U}}=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{t}$ , on peut donc remplacer les données $c=(c_{j})_{j\in J}$ et $u=(u_{k})_{k=1,\ldots ,t}$ ci-dessus par des familles $c=(c_{j})_{j\in J}\in {\mathcal{E}}$ et $u=(u_{k})_{k=1,\ldots ,t}\in {\mathcal{U}}$ . Notons plus précisément $X^{+}(a,c,u)$ et $X^{-}(a,c,u)$ les éléments associés ci-dessus à de telles familles.

Soit $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ et $e\in {\mathcal{E}}$ . On définit une nouvelle famille $c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]=(c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{j})_{j\in J}\in {\mathcal{E}}$ par les égalités suivantes, pour $j\in J$  :

si $r^{\prime \prime }\leqslant r^{\prime }$ , $c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{j}=(-1)^{j}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}e_{j}$  ;

si $r^{\prime }<r^{\prime \prime }$ , $c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{j}=(-1)^{j+1}e_{j}$

(il s’agit plutôt des images modulo $\mathfrak{o}^{\times 2}$ des expressions indiquées). Pour $a\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ et $\unicode[STIX]{x1D701}=\pm$ , on note désormais $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ l’élément $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e],u)$ introduit ci-dessus. Il appartient à $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ pour un certain indice $\sharp$ , que l’on note plus précisement $\sharp (a,e,u)$ .

Soit $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ . De même qu’en 1.1, on introduit une transformation de Fourier dans $C_{c}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\sharp }(F))$ . Rappelons un résultat d’Harish-Chandra. Soit $X\in \mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ un élément régulier et elliptique. Il existe une fonction $Y\mapsto \hat{i} _{\sharp }(X,Y)$ définie et localement constante sur l’ensemble des éléments elliptiques réguliers de $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ de sorte que, pour tout tel élément $Y$ et pour toute $\unicode[STIX]{x1D719}\in C_{c}^{\infty }(\mathfrak{g}_{\sharp }(F))$ , on ait l’égalité

$$\begin{eqnarray}J(X,\hat{\unicode[STIX]{x1D719}})=\int _{\mathfrak{g}_{\sharp }(F)}\hat{i} _{\sharp }(X,Y)\unicode[STIX]{x1D719}(Y)D^{G_{\sharp }}(Y)^{-1/2}\,dY.\end{eqnarray}$$

Les éléments $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ ci-dessus, tels que $\sharp (a,e,u)=\sharp$ , sont elliptiques réguliers dans $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ . On note $\hat{i} _{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}}[a,e,u]$ la fonction $Y\mapsto \hat{i} _{\sharp }(X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u),Y)$ . On pose

$$\begin{eqnarray}\hat{i} _{\sharp }[a,e,u]={\textstyle \frac{1}{2}}(\hat{i} _{\sharp }^{+}[a,e,u]+\hat{i} _{\sharp }^{-}[a,e,u]).\end{eqnarray}$$

Pour un triplet $(a,e,u)$ tel que $\sharp (a,e,u)\not =\sharp$ , on pose $\hat{i} _{\sharp }[a,e,u]=0$ .

On fixe une décomposition $\{1,\ldots ,t\}=K^{\prime }\sqcup K^{\prime \prime }$ de sorte que $\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime }$ , respectivement $\unicode[STIX]{x1D6FD}^{\prime \prime }$ , soit formée des $\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}$ pour $k\in K^{\prime }$ , respectivement $k\in K^{\prime \prime }$ . On définit un caractère $\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}$ de ${\mathcal{U}}$ par

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)=(-1)^{\mathop{\sum }_{k\in K^{\prime \prime }}u_{k}}.\end{eqnarray}$$

On va se limiter à un sous-groupe ${\mathcal{E}}^{0}$ de ${\mathcal{E}}$ . C’est le sous-groupe des familles $e=(e_{j})_{j\in J}\in {\mathcal{E}}$ telles que

pour tout $j\in {\hat{J}}$ , tel que $j<R$ , $e_{j-1}=e_{j}$ .

On définit le caractère $\unicode[STIX]{x1D705}^{0}$ du groupe ${\mathcal{E}}^{0}$ par

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D705}^{0}(e)=\displaystyle \mathop{\prod }_{j\in {\hat{J}}}\operatorname{sgn}(e_{j-1}).\end{eqnarray}$$

On doit enfin définir quelques constantes. On note ${\mathcal{O}}(w^{\prime })$ et ${\mathcal{O}}(w^{\prime \prime })$ les classes de conjugaison de $w^{\prime }$ dans $W_{N^{\prime }}$ et de $w^{\prime \prime }$ dans $W_{N^{\prime \prime }}$ . On pose

$$\begin{eqnarray}C(w^{\prime })=|{\mathcal{O}}(w^{\prime })||W_{N^{\prime }}|^{-1}q^{N^{\prime }/2}\displaystyle \mathop{\prod }_{k\in K^{\prime }}(q^{\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}}+1)^{-1}\end{eqnarray}$$

et on définit $C(w^{\prime \prime })$ de façon similaire. On pose

$\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })=\operatorname{sgn}((-1)^{(r^{\prime }+r^{\prime \prime })/2}\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})$ si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est pair ;

$\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })=\operatorname{sgn}((-1)^{(r^{\prime }+r^{\prime \prime })/2}\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est impair ;

$$\begin{eqnarray}C(r^{\prime },r^{\prime \prime })=2^{1-r^{\prime }-r^{\prime \prime }}((q-1)^{2}(q-3))^{(r-R)/2}.\end{eqnarray}$$

Lemme. Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et pour tout élément $Y\in \mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ qui est elliptique, régulier et topologiquement nilpotent, on a l’égalité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle J(Y,f_{\sharp }) & = & \displaystyle C(w^{\prime })C(w^{\prime \prime })C(r^{\prime },r^{\prime \prime })\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}}\unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\int _{A(\unicode[STIX]{x1D6FE})}\mathop{\sum }_{e\in {\mathcal{E}}^{0}}\mathop{\sum }_{u\in {\mathcal{U}}}\unicode[STIX]{x1D705}^{0}(e)\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)\hat{i} _{\sharp }[a,e,u](Y)\,da.\nonumber\end{eqnarray}$$

Preuve.

Posons $N=N^{\prime }+N^{\prime \prime }$ . En [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.15 (1), on a écrit une égalité

(2) $$\begin{eqnarray}f_{\sharp }=\mathop{\sum }_{(n^{\prime },n^{\prime \prime })\in D(N)}\mathop{\sum }_{(v^{\prime },v^{\prime \prime })\in {\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime },\sharp }}b(v^{\prime },v^{\prime \prime }){\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime };v^{\prime },v^{\prime \prime })_{\sharp }^{\operatorname{Lie}}.\end{eqnarray}$$

Les ${\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime };v^{\prime },v^{\prime \prime })_{\sharp }^{\operatorname{Lie}}$ sont des fonctions sur $\mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ et les $b(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ sont des coefficients. L’ensemble ${\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime },\sharp }$ est un ensemble de représentants des classes de conjugaison dans $W_{n^{\prime }}\times W_{n^{\prime \prime }}$ paramétrées par des couples de partitions de la forme $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime })$ , $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime \prime })$ et tels que $\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime }\cup \unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime \prime }=\unicode[STIX]{x1D6FD}$ . Il y a une restriction (l’hypothèse 3.13(1) de [Reference Moeglin and Waldspurger6]), que nous levons en posant ${\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime };v^{\prime },v^{\prime \prime })_{\sharp }^{\operatorname{Lie}}=0$ si elle n’est pas vérifiée (dans [Reference Moeglin and Waldspurger6], cette fonction n’est définie que sous cette hypothèse 3.13(1)). En supprimant ainsi cette restriction, l’ensemble ${\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime },\sharp }$ devient indépendant de l’indice $\sharp$ et nous supprimons cet indice. Il y a une application naturelle

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6FF}:{\mathcal{U}}\rightarrow \mathop{\bigcup }_{(n^{\prime },n^{\prime \prime })\in D(N)}{\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}.\end{eqnarray}$$

Pour $u=(u_{k})_{k=1,\ldots ,t}\in {\mathcal{U}}$ , on note $\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime }(u)$ la partition formée des $\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}$ pour $k$ tel que $u_{k}=0$ et $\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime \prime }(u)$ celle formée des $\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}$ pour $k$ tel que $u(k)=1$ . L’application ci-dessus envoie $u$ sur le couple de classes de conjugaison paramétrées par $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime }(u))$ et $(\emptyset ,\unicode[STIX]{x1D6FF}^{\prime \prime }(u))$ . L’égalité 3.15(6) de [Reference Moeglin and Waldspurger6] et les calculs qui la suivent montrent que, pour $(v^{\prime },v^{\prime \prime })\in \cup _{(n^{\prime },n^{\prime \prime })\in D(N)}{\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}$ , on a l’égalité

(3) $$\begin{eqnarray}b(v^{\prime },v^{\prime \prime })=C_{1}\mathop{\sum }_{u\in \unicode[STIX]{x1D6FF}^{-1}(v^{\prime },v^{\prime \prime })}\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u),\end{eqnarray}$$

où

(4) $$\begin{eqnarray}C_{1}=|{\mathcal{O}}(w^{\prime })||W_{N^{\prime }}|^{-1}|{\mathcal{O}}(w^{\prime \prime })||W_{N^{\prime \prime }}|^{-1}.\end{eqnarray}$$

Fixons $(v^{\prime },v^{\prime \prime })\in \bigcup _{(n^{\prime },n^{\prime \prime })\in D(N)}{\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}$ . L’intégrale orbitale $J(Y,{\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime };v^{\prime },v^{\prime \prime })_{\sharp }^{\operatorname{Lie}})$ est calculée par une application successive des propositions 3.13 et 3.14 de [Reference Moeglin and Waldspurger6], où l’on remplace $(w^{\prime },w^{\prime \prime })$ par $(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ . On obtient

(5) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle J(Y,{\mathcal{Q}}(r^{\prime },r^{\prime \prime };v^{\prime },v^{\prime \prime })_{\sharp }^{\operatorname{Lie}})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },v^{\prime },v^{\prime \prime })\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}}\unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\int _{A(\unicode[STIX]{x1D6FE})}\mathop{\sum }_{e\in {\mathcal{E}}_{MW}^{0}}\unicode[STIX]{x1D705}_{MW}^{0}(e)\hat{i} _{\sharp ,MW}[a,e,v^{\prime },v^{\prime \prime }](Y)\,da,\end{eqnarray}$$

où

$C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },v^{\prime },v^{\prime \prime })$ est une certaine constante sur laquelle nous allons revenir ;

$\unicode[STIX]{x1D6E4}$ et, pour $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ , $A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ sont les termes que l’on a définis ci-dessus ;

les autres termes ${\mathcal{E}}_{MW}^{0}$ , etc., sont quelque peu différents des nôtres, on y a ajouté un indice $MW$ pour les en distinguer.

On constate que le couple $(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ intervient dans (5) d’une part par la constante, d’autre part par la fonction $\hat{i} _{\sharp ,MW}[a,e,v^{\prime },v^{\prime \prime }]$ . Pour ce qui est de la constante, le couple $(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ intervient via des termes $|T^{\prime }||T^{\prime \prime }|$ et des produits $\operatorname{sgn}_{CD}(v^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(v^{\prime \prime })$ , cf. les formules de [Reference Moeglin and Waldspurger6]. Il résulte de la définition ci-dessus que ce dernier produit vaut $\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ . En se reportant à la définition des tores $T^{\prime }$ et $T^{\prime \prime }$ , on calcule explicitement

(6) $$\begin{eqnarray}|T^{\prime }||T^{\prime \prime }|=\displaystyle \mathop{\prod }_{k=1,\ldots ,t}(q^{\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}}+1).\end{eqnarray}$$

En conclusion, $C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },v^{\prime },v^{\prime \prime })$ ne dépend pas de $(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ mais seulement de $(w^{\prime },w^{\prime \prime })$ . On la note plutôt $C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })$ . Quant à la fonction $\hat{i} _{\sharp ,MW}[a,e,v^{\prime },v^{\prime \prime }]$ , elle ne dépend de $(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ que par un élément $X$ défini en [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.13. On a un certain choix pour cet élément. On constate que, pour tout $u\in \unicode[STIX]{x1D6FF}^{-1}(v^{\prime },v^{\prime \prime })$ , on peut prendre pour $X$ un élément construit comme ci-dessus à l’aide des données $(X_{k})_{k=1,\ldots ,t}$ et $u$ . Notons $\hat{i} _{\sharp ,MW}[a,e,u]$ la fonction associée à ce choix. L’égalité suivante résulte alors de (2), (3) et (5) :

(7) $$\begin{eqnarray}\displaystyle J(Y,f_{\sharp }) & = & \displaystyle C_{1}C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}}\unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE})\int _{A(\unicode[STIX]{x1D6FE})}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\mathop{\sum }_{e\in {\mathcal{E}}_{MW}^{0}}\mathop{\sum }_{u\in {\mathcal{U}}}\unicode[STIX]{x1D705}_{MW}^{0}(e)\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)\hat{i} _{\sharp ,MW}[a,e,u](Y)\,da.\end{eqnarray}$$

Supposons que $(r^{\prime },r^{\prime \prime })\not =(0,0)$ . Il y a une application naturelle de notre ensemble ${\mathcal{E}}^{0}$ dans l’ensemble ${\mathcal{E}}_{MW}^{0}$ . À $e\in {\mathcal{E}}^{0}$ , elle associe l’unique élément $e_{MW}\in {\mathcal{E}}_{MW}^{0}$ tel que $e_{MW,j}=e_{j}$ pour $j=1,\ldots ,R-1$ . L’élément $e_{MW,R}$ est défini par les égalités

$\prod _{j=R-r+1,\ldots ,R}e_{MW,j}=1$ si $r>0$  ;

$e_{MW,R}=e_{MW,R-1}$ si $r=0$ .

On constate que $\unicode[STIX]{x1D705}^{0}(e)=\unicode[STIX]{x1D705}_{MW}^{0}(e_{MW})$ . Fixons $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ et $a\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Dans l’énoncé du lemme, on peut évidemment limiter la somme en $e$ et $u$ à la somme sur les couples $(e,u)$ tels que $\sharp (a,e,u)=\sharp$  : si cette condition n’est pas vérifiée, $\hat{i} _{\sharp }[a,e,u]=0$ . Notons $({\mathcal{E}}^{0}\times {\mathcal{U}})_{a,\sharp }$ ce sous-ensemble. On constate alors que l’application

$$\begin{eqnarray}\begin{array}{@{}ccc@{}}({\mathcal{E}}^{0}\times {\mathcal{U}})_{a,\sharp } & \rightarrow & {\mathcal{E}}_{MW}^{0}\times {\mathcal{U}}\\ (e,u) & \mapsto & (e_{MW},u)\end{array}\end{eqnarray}$$

est bijective et que, pour $(e,u)\in ({\mathcal{E}}^{0}\times {\mathcal{U}})_{a,\sharp }$ , on a l’égalité $\hat{i} _{\sharp ,MW}[a,e_{MW},u]=\hat{i} _{\sharp }[a,e,u]$ . En utilisant ces propriétés, l’égalité (7) devient alors l’égalité de l’énoncé, aux constantes près. Il ne reste donc plus qu’à démontrer l’égalité

(8) $$\begin{eqnarray}C_{1}C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })=C(w^{\prime })C(w^{\prime \prime })C(r^{\prime },r^{\prime \prime })\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime }).\end{eqnarray}$$

On a supposé que $(r^{\prime },r^{\prime \prime })\not =(0,0)$ . Si $(r^{\prime },r^{\prime \prime })=(0,0)$ , les termes $\unicode[STIX]{x1D6E4}$ , ${\mathcal{E}}^{0}$ , etc., disparaissent et la formule (7) se compare directement à celle de l’énoncé. De nouveau, il ne reste plus qu’à comparer les constantes.

La constante $C_{2}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })$ est le produit de la constante $C\unicode[STIX]{x1D6FC}(w^{\prime },w^{\prime \prime })_{\sharp }$ de la proposition 3.14 de [Reference Moeglin and Waldspurger6] et de l’inverse de la constante de la proposition 3.13 de cette référence. Malheureusement, il y a des erreurs dans ces constantes. On a déjà effectué quelques corrections dans [Reference Waldspurger8] page 335 :

la constante de la proposition 3.13 est

(9) $$\begin{eqnarray}q^{-N/2}2^{-\unicode[STIX]{x1D6FD}(r^{\prime },r^{\prime \prime })}\unicode[STIX]{x1D6FE}(r^{\prime },r^{\prime \prime })_{\sharp }|T^{\prime }||T^{\prime \prime }|\end{eqnarray}$$

(en réalité, $T^{\prime }$ et $T^{\prime \prime }$ sont associés à un couple $(v^{\prime },v^{\prime \prime })\in {\mathcal{V}}_{n^{\prime },n^{\prime \prime }}$ mais, d’après (5), le produit de leurs nombres d’éléments en est indépendant) ;

on a l’égalité

$$\begin{eqnarray}C=2^{1-r^{\prime }-r^{\prime \prime }-\unicode[STIX]{x1D6FD}(r^{\prime },r^{\prime \prime })}((q-1)^{2}(q-3))^{(r-R)/2}.\end{eqnarray}$$

A l’aide de (4) et (6), on voit que le produit de $C_{1}$ , $C$ et de l’inverse de (9) vaut $C(w^{\prime })C(w^{\prime \prime })C(r^{\prime },r^{\prime \prime })\unicode[STIX]{x1D6FE}(r^{\prime },r^{\prime \prime })_{\sharp }^{-1}$ . Rappelons qu’en [Reference Waldspurger11] 1.1, on a associé à $Q_{\sharp }$ des discriminants $\unicode[STIX]{x1D702}^{\prime }(Q_{\sharp })$ et $\unicode[STIX]{x1D702}^{\prime \prime }(Q_{\sharp })$ , notons-les simplement $\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime }$ et $\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime \prime }$ . D’après [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.13, on a

$\unicode[STIX]{x1D6FE}(r^{\prime },r^{\prime \prime })_{\sharp }=\operatorname{sgn}((-1)^{(r^{\prime }+r^{\prime \prime })/2}\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime }\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime \prime })$ , si $r^{\prime }$ et $r^{\prime \prime }$ sont pairs, c’est-à-dire si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est pair ;

$\unicode[STIX]{x1D6FE}(r^{\prime },r^{\prime \prime })_{\sharp }=1$ si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est impair.

Il y a une autre correction à apporter à [Reference Moeglin and Waldspurger6]. On a

$\unicode[STIX]{x1D6FC}(w^{\prime },w^{\prime \prime })_{\sharp }=1$ si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est pair ;

$\unicode[STIX]{x1D6FC}(w^{\prime },w^{\prime \prime })_{\sharp }=\operatorname{sgn}((-1)^{(r^{\prime }-r^{\prime \prime })/2}\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime }\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime \prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est impair.

Cette constante provient en fait de [Reference Waldspurger9] paragraphes VII.25 et VII.26. Dans cette référence, on avait supposé $r^{\prime }$ et $r^{\prime \prime }$ pairs et obtenu la constante  $1$ . Dans [Reference Moeglin and Waldspurger6], on a abusivement adopté cette valeur même quand $r^{\prime }$ et $r^{\prime \prime }$ sont impairs. En reprenant la preuve de [Reference Waldspurger9] VII.26 et en y supposant $r^{\prime }$ et $r^{\prime \prime }$ impairs, on obtient la constante ci-dessus. Signalons que, dans le cas spécial orthogonal impair, il n’y a (à notre connaissance) pas de correction à apporter à la formule de [Reference Moeglin and Waldspurger6] pour la constante $\unicode[STIX]{x1D6FC}(w^{\prime },w^{\prime \prime })_{\sharp }$ .

D’après [Reference Waldspurger11] 1.1, on a l’égalité $\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime }\unicode[STIX]{x1D702}_{\sharp }^{\prime \prime }(-1)^{r^{\prime \prime }}=\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$ . En la reportant dans la formule ci-dessus, on obtient l’égalité

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6FE}(r^{\prime },r^{\prime \prime })_{\sharp }^{-1}\unicode[STIX]{x1D6FC}(w^{\prime },w^{\prime \prime })_{\sharp }=\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime }).\end{eqnarray}$$

En mettant ces calculs bout à bout, on obtient l’égalité (8), ce qui achève la démonstration. ◻

2.5 Transformation de l’expression précédente

On note ${\mathcal{L}}$ l’ensemble des couples $(L_{1},L_{2})$ de sous-ensembles de $\{1,\ldots ,R-r\}$ tels que

$\{1,\ldots ,R-r\}$ est la réunion disjointe de $L_{1}$ et $L_{2}$  ;

pour tout $j\in {\hat{J}}$ , les intersections $L_{1}\cap \{j-1,j\}$ et $L_{2}\cap \{j-1,j\}$ ont un unique élément ; on note cet élément $l_{1}(j/2)$ , respectivement $l_{2}(j/2)$  ;

si $r=0$ et $R>0$ , $l_{2}(R/2)=R-1$ .

Pour un tel couple, on définit un caractère $\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}$ de ${\mathcal{E}}$ par

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)=\displaystyle \mathop{\prod }_{j=1,\ldots ,(R-r)/2}\operatorname{sgn}(e_{l_{2}(j)}).\end{eqnarray}$$

Lemme. Pour $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ et pour tout élément $Y\in \mathfrak{g}_{\sharp }(F)$ qui est elliptique, régulier et topologiquement nilpotent, on a l’égalité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle J(Y,f_{\sharp }) & = & \displaystyle C(w^{\prime })C(w^{\prime \prime })C(r^{\prime },r^{\prime \prime })\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })|{\mathcal{L}}|^{-1}\mathop{\sum }_{(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}}\unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\int _{A(\unicode[STIX]{x1D6FE})}\mathop{\sum }_{e\in {\mathcal{E}}}\mathop{\sum }_{u\in {\mathcal{U}}}\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)\hat{i} _{\sharp }[a,e,u](Y)\,da.\nonumber\end{eqnarray}$$

Preuve.

En vertu de l’énoncé précédent, il suffit de prouver que, pour $e\in {\mathcal{E}}$ , on a les égalités

1. (1) $\sum _{(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}}\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)=0$ si $e\not \in {\mathcal{E}}^{0}$  ;

2. (2) $\sum _{(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}}\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)=|{\mathcal{L}}|\unicode[STIX]{x1D705}^{0}(e)$ , si $e\in {\mathcal{E}}^{0}$ .

Supposons que $e\not \in {\mathcal{E}}^{0}$ . Alors il existe $j\in \{1,\ldots ,(R-r)/2\}$ , avec $j<R/2$ si $r=0$ et $R>0$ , de sorte que $e_{2j-1}\not =e_{2j}$ . On fixe un tel $j$ . On regroupe les éléments de ${\mathcal{L}}$ en paires. Si $(L_{1},L_{2})$ est un élément d’une paire, l’autre élément $(L_{1}^{\prime },L_{2}^{\prime })$ est obtenu en échangeant $l_{1}(j)$ et $l_{2}(j)$ et en ne changeant pas les autres $l_{1}(h)$ , $l_{2}(h)$ pour $h\not =j$ . On a alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e) & = & \displaystyle \operatorname{sgn}(e_{l_{2}(j)})\displaystyle \mathop{\prod }_{h\not =j}\operatorname{sgn}(e_{l_{2}(h)}),\nonumber\\ \displaystyle \unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}^{\prime }}(e) & = & \displaystyle \operatorname{sgn}(e_{l_{1}(j)})\displaystyle \mathop{\prod }_{h\not =j}\operatorname{sgn}(e_{l_{2}(h)}).\nonumber\end{eqnarray}$$

Puisque $e_{l_{2}(j)}\not =e_{l_{1}(j)}$ , la somme de ces termes est nulle, ce qui prouve (1).

Supposons que $e\in {\mathcal{E}}^{0}$ . Pour tout $j=1,\ldots ,(R-r)/2$ et tout $(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}$ , on a l’égalité $\operatorname{sgn}(e_{l_{2}(j)})=\operatorname{sgn}(e_{2j-1})$ . Cela résulte de l’égalité $e_{2j-1}=e_{2j}$ imposée aux éléments de ${\mathcal{E}}^{0}$ , sauf dans le cas où $r=0$ , $R>0$ et $j=R/2$ . Mais dans ce cas, $l_{2}(j)=2j-1$ par définition de ${\mathcal{L}}$ . En conséquence, $\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)=\prod _{j=1,\ldots ,(R-r)/2}\operatorname{sgn}(e_{2j-1})=\unicode[STIX]{x1D705}^{0}(e)$ . D’où (2).◻

2.6 Calcul de facteurs de transfert

Pour $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ , $a\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ , $e\in {\mathcal{E}}$ , $u\in {\mathcal{U}}$ et $\unicode[STIX]{x1D701}=\pm$ , on a introduit un élément $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ . Fixons $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ et $a$ . Quand $e$ , $u$ et $\unicode[STIX]{x1D701}$ varient, ces éléments $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ décrivent un ensemble de représentants des classes de conjugaison contenues dans deux classes totales de conjugaison stable dans $\mathfrak{g}_{\operatorname{iso}}(F)\cup \mathfrak{g}_{\operatorname{an}}(F)$ . Ces deux classes se déduisent l’une de l’autre par conjugaison par des éléments de déterminant $-1$ des groupes orthogonaux. On n’a pas donné de critère pour distinguer $X^{+}(a,e,u)$ de $X^{-}(a,e,u)$ . On voit que l’on peut effectuer ces choix de signes de sorte que, pour $\unicode[STIX]{x1D701}$ fixé et quand $e$ et $u$ varient, les éléments $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ décrivent un ensemble de représentants des classes de conjugaison contenues dans l’une de nos deux classes totales de conjugaison stable. On fixe un élément dans cette classe qui appartienne à $\mathfrak{g}_{\operatorname{iso}}(F)$ et on le note $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,w^{\prime },w^{\prime \prime })$ .

On a défini $t_{1}^{\prime }$ , $t_{1}^{\prime \prime }$ , $t_{2}^{\prime }$ , $t_{2}^{\prime \prime }$ en 2.2. On a les égalités $t_{1}^{\prime }=t_{1}^{\prime \prime }=(R+r)/2$ et $t_{2}^{\prime }=t_{2}^{\prime \prime }=(R-r)/2$ . Fixons $(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}$ . Soit $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ . On définit deux suites $\unicode[STIX]{x1D6FE}^{L_{1}}=(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{1}})_{j=1,\ldots ,t_{1}^{\prime }}$ et $\unicode[STIX]{x1D6FE}^{L_{2}}=(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{2}})_{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}$ par les formules suivantes :

pour $j\in \{1,\ldots ,(R-r)/2\}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{1}}=\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}(j)}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{2}}=\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}(j)}$  ;

pour $j\in \{(R-r)/2+1,\ldots ,(R+r)/2\}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{1}}=\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j+(R-r)/2}$ .

Pour $a\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ , on définit de même des suites $a^{L_{1}}=(a_{j}^{L_{1}})_{j=1,\ldots ,t_{1}^{\prime }}$ et $a^{L_{2}}=(a_{j}^{L_{2}})_{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}$ . On définit un élément $\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\in F^{\times }/F^{\times 2}$ par les deux propriétés :

$\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\equiv t_{2}^{\prime }\,\,\text{mod}\,\,2\,\mathbb{Z}$  ;

$\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])}\prod _{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{2}})=\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ .

On définit $\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}]$ par l’égalité $\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]=\unicode[STIX]{x1D702}$ . On constate que les données $\unicode[STIX]{x1D6FE}^{L_{1}}$ , $a^{L_{1}}$ , $(N^{\prime },0)$ , $w_{1}^{\prime }=w^{\prime }$ et $w_{1}^{\prime \prime }=\emptyset$ vérifient les mêmes conditions que $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ , $a$ , $(N^{\prime },N^{\prime \prime })$ , $w^{\prime }$ et $w^{\prime \prime }$ , le couple $(n,\unicode[STIX]{x1D702})$ étant remplacé par $(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}])$ . De même pour les données $\unicode[STIX]{x1D6FE}^{L_{2}}$ , $a^{L_{2}}$ , $(N^{\prime \prime },0)$ , $w_{2}^{\prime }=w^{\prime \prime }$ et $w_{2}^{\prime \prime }=\emptyset$ , le couple $(n,\unicode[STIX]{x1D702})$ étant remplacé par $(n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])$ . De même que l’on a construit ci-dessus des éléments $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,w^{\prime },w^{\prime \prime })$ , on construit dans $\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ un élément $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a^{L_{1}},w^{\prime })$ et dans $\mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ un élément $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime })$ . La correspondance endoscopique entre classes de conjugaison stable est un peu perturbée par les signes $\unicode[STIX]{x1D701}$ . Précisément, pour $\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}=\pm$ , il existe $\unicode[STIX]{x1D701}=\pm$ tel que la classe de conjugaison stable de $(X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime }))$ dans $\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)\times \mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ corresponde à la classe totale de conjugaison stable de $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,w^{\prime },w^{\prime \prime })$ . Ainsi, pour $e\in {\mathcal{E}}$ et $u\in {\mathcal{U}}$ , le facteur de transfert $\unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]}((X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime })),X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u))$ est défini et non nul.

Posons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle d(r^{\prime },r^{\prime \prime },\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})^{(R-r)/2}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })^{(R-r)/2}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })^{(R-r)/2+\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j\in {\hat{J}}}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})^{j/2-1}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j=R-r+1,\ldots ,R}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})^{(R-r)/2}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\operatorname{sgn}(-1)^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])B}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])})^{B}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })^{B},\nonumber\end{eqnarray}$$

où $B=0$ si $r^{\prime }\geqslant r^{\prime \prime }$ ou $B=1$ si $r^{\prime }<r^{\prime \prime }$ .

Lemme. Sous les hypothèses ci-dessus, on a l’égalité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]}((X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime })),X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =d(r^{\prime },r^{\prime \prime },\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u).\nonumber\end{eqnarray}$$

Preuve.

Pour tout polynôme $Q$ , on note $Q^{\prime }$ son polynôme dérivé. Notons $P$ le polynôme caractéristique de $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ , vu comme endomorphisme de $V_{\sharp (a,e,u)}$ . Pour $j\in \{1,\ldots ,t_{2}^{\prime }\}$ , posons

$$\begin{eqnarray}C_{l_{2}(j)}=(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D702}[F_{l_{2}(j)}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{l_{2}(j)}a_{l_{2}(j)}^{-1}P^{\prime }(a_{l_{2}(j)})\end{eqnarray}$$

et notons $\operatorname{sgn}_{l_{2}(j)}$ le caractère quadratique de $F_{l_{2}(j)}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{\times }$ associé à l’extension quadratique $F_{l_{2}(j)}(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Pour $k\in K^{\prime \prime }$ , posons

$$\begin{eqnarray}C_{k}=(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D702}[E_{k}:F]\unicode[STIX]{x1D71B}^{u_{k}}X_{k}^{-1}P^{\prime }(X_{k}),\end{eqnarray}$$

et notons $\operatorname{sgn}_{k}$ le caractère quadratique de $E_{k}^{\natural }$ associé à l’extension quadratique $E_{k}$ .

Remarque.

Les formules ci-dessus ne définissent $C_{l_{2}(j)}$ et $C_{k}$ que modulo les groupes $\operatorname{norme}_{F_{l_{2}(j)}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F_{l_{2}(j)}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})}(F_{l_{2}(j)}(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{\times })$ , respectivement $\operatorname{norme}_{E_{k}/E_{k}^{\natural }}(E_{k}^{\times })$ . C’est sans importance pour la suite.

D’après [Reference Waldspurger9] proposition X.8, on a l’égalité

(1) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]}((X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime })),X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}\operatorname{sgn}_{l_{2}(j)}(C_{l_{2}(j)})\right)\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{k\in K^{\prime \prime }}\operatorname{sgn}_{k}(C_{k})\right).\end{eqnarray}$$

Pour $k\in K^{\prime \prime }$ , le caractère $\operatorname{sgn}_{k}$ est non ramifié. Pour calculer $\operatorname{sgn}_{k}(C_{k})$ , il suffit de calculer la valuation de $C_{k}$ modulo $2\,\mathbb{Z}$ . On voit facilement que la valuation de $(-1)^{n}[E_{k}:F]X_{k}^{-1}P^{\prime }(X_{k})$ est nulle. Celle de $\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}u_{k}$ est $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})+u_{k}$ . D’où $\operatorname{sgn}_{k}(C_{k})=(-1)^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})+u_{k}}$ . Le produit des $(-1)^{u_{k}}$ pour $k\in K^{\prime \prime }$ est égal à $\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)$ . Le produit des $(-1)^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$ est $(-1)^{|K^{\prime \prime }|\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$ . Mais $(-1)^{|K^{\prime \prime }|}=\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ . D’où

(2) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\prod }_{k\in K^{\prime \prime }}\operatorname{sgn}_{k}(C_{k})=\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}.\end{eqnarray}$$

Fixons $j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }$ . Posons pour simplifier $l_{1}=l_{1}(j)$ , $l_{2}=l_{2}(j)$ et notons $l$ l’élément de ${\hat{J}}$ tel que $\{l_{1},l_{2}\}=\{l-1,l\}$ . Le polynôme $P$ se décompose en produit des polynômes caractéristiques $P_{k}$ des $X_{k}$ , pour $k=1,\ldots ,t$ , et des polynômes caractéristiques $P_{h}$ des $a_{h}$ , pour $h=1,\ldots ,R$ . On a

$$\begin{eqnarray}P^{\prime }(a_{l_{2}})=P_{l_{2}}^{\prime }(a_{l_{2}})\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{h=1,\ldots ,R;h\not =l_{2}}P_{h}(a_{l_{2}})\right)\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{k=1,\ldots ,t}P_{k}(a_{l_{2}})\right).\end{eqnarray}$$

On vérifie que tous les termes ci-dessus sauf le premier appartiennent à $F_{l_{2}}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})^{\times }$ . Pour le premier, son produit avec $a_{l_{2}}$ appartient à ce groupe. On a calculé les images par $\operatorname{sgn}_{l_{2}}$ de presque tous ces termes en [Reference Waldspurger9] page 400. Pour $k=1,\ldots ,t$ , on a $\operatorname{sgn}_{l_{2}}(P_{k}(a_{l_{2}}))=-\text{sgn}(-1)^{[E_{k}:F]/2}$ . Parce que $[E_{k}:F]/2=\unicode[STIX]{x1D6FD}_{k}$ , on a $\sum _{k=1,\ldots ,t}[E_{k}:F]/2=N$ . On a aussi $(-1)^{t}=\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ . On obtient

$$\begin{eqnarray}\operatorname{sgn}_{l_{2}}\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{k=1,\ldots ,t}P_{k}(a_{l_{2}})\right)=\operatorname{sgn}(-1)^{N}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime }).\end{eqnarray}$$

Soit $h\in \{1,\ldots ,l-2\}$ . On a $\operatorname{sgn}_{l_{2}}(P_{h}(a_{l_{2}}))=\operatorname{sgn}(-1)^{[F_{h}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]/2}$ . Par construction, tous les $[F_{h}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]$ sont impairs et le terme ci-dessus vaut $\operatorname{sgn}(-1)$ . Puisque $l$ est pair, le produit de ces termes sur $h=1,\ldots ,l-2$ vaut $1$ . Pour $h\in \{l+1,\ldots ,R\}$ , on a $\operatorname{sgn}_{l_{2}}(P_{h}(a_{l_{2}}))=\operatorname{sgn}(-1)^{1+[F_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]/2}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})$ . Comme ci-dessus, $[F_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]/2$ est impair et le terme ci-dessus vaut $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})$ . Puisque $l$ est pair, le produit de ces termes sur $h=l+1,\ldots ,R$ vaut $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{R}\prod _{h=l+1,\ldots ,R}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})$ . On a $\operatorname{sgn}_{l_{2}}(a_{l_{2}}P_{l_{2}}^{\prime }(a_{l_{2}}))=\operatorname{sgn}((-1)^{[F_{l_{2}}/F]/2}[F_{l_{2}}:F])$ , ou encore $\operatorname{sgn}(-[F_{l_{2}}:F])$ . Il reste un dernier terme $P_{l_{1}}(a_{l_{2}})$ , dont l’image par $\operatorname{sgn}_{l_{2}}$ n’est pas calculée dans [Reference Waldspurger9]. Le polynôme caractéristique de $a_{l_{1}}$ est $P_{l_{1}}(Y)=Y^{2l-2}-\unicode[STIX]{x1D71B}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}}$ . Donc $P_{l_{1}}(a_{l_{2}})=a_{l_{2}}^{2l-2}-\unicode[STIX]{x1D71B}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}}=\unicode[STIX]{x1D71B}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}})$ . Mais $-\unicode[STIX]{x1D71B}^{-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}$ est une norme de l’extension $F_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})/F_{l_{2}}^{\natural }(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ (c’est la norme de $\unicode[STIX]{x1D71B}^{-1}a_{l_{2}}^{l-1}$ ). On a donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \operatorname{sgn}_{l_{2}}(P_{l_{1}}(a_{l_{2}})) & = & \displaystyle \operatorname{sgn}_{l_{2}}(-\unicode[STIX]{x1D71B}^{-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}\unicode[STIX]{x1D71B}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}}))\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \operatorname{sgn}_{l_{2}}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}}))=\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}})),\nonumber\end{eqnarray}$$

puisque $\operatorname{sgn}_{l_{2}}$ coïncide avec $\operatorname{sgn}$ sur $\mathfrak{o}^{\times }$ . En rassemblant ces calculs, on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \operatorname{sgn}_{a_{l_{2}}}(a_{l_{2}}P^{\prime }(a_{l_{2}}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\operatorname{sgn}(-1)^{N}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })\operatorname{sgn}([F_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F])\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{R+1}\displaystyle \mathop{\prod }_{h=l+1,\ldots ,R}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h}).\nonumber\end{eqnarray}$$

Le terme $C_{l_{2}}$ est le produit de $a_{l_{2}}P^{\prime }(a_{l_{2}})$ et de $(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D702}[F_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{l_{2}}a_{l_{2}}^{-2}$ . Le terme $a_{l_{2}}^{-2}$ est remplacé par $-1$ car $-a_{l_{2}}^{-2}$ est la norme de $a_{l_{2}}^{-1}$ . Le facteur $[F_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}):F]$ compense celui intervenant dans la formule précédente. On a

$$\begin{eqnarray}\operatorname{sgn}_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D702})=\operatorname{sgn}_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})\operatorname{sgn}_{l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D71B}^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}).\end{eqnarray}$$

Le premier facteur est remplacé par $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})$ . Puisque $-\unicode[STIX]{x1D71B}^{-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}$ est une norme, le second facteur est remplacé par $\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}$ , ou encore, puisque $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est de la même parité que $R$ , par $\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{R}$ . En se reportant à la définition de $c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{l_{2}}$ , on peut écrire $c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{l_{2}}=(-1)^{l_{2}}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}e_{l_{2}}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{B}$ , où $B$ a été défini avant l’énoncé. D’où

$$\begin{eqnarray}\operatorname{sgn}_{l_{2}}(c[\unicode[STIX]{x1D6FE},e]_{l_{2}})=\operatorname{sgn}((-1)^{l_{2}}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}e_{l_{2}})\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{B}.\end{eqnarray}$$

On obtient alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \operatorname{sgn}_{l_{2}}(C_{l_{2}}) & = & \displaystyle \operatorname{sgn}(-1)^{N+n+R+1+l_{2}}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\operatorname{sgn}(e_{l_{2}})\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{B}\displaystyle \mathop{\prod }_{h=l+1,\ldots ,R}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h}).\nonumber\end{eqnarray}$$

On a $n-N=(r^{\prime 2}+r^{\prime \prime 2})/2$ . Puisque $r^{\prime }$ et $r^{\prime \prime }$ sont de même parité, on constate que $n-N$ est de la même parité que $r^{\prime }$ et $r^{\prime \prime }$ , ou encore de $R$ . Le premier terme se simplifie donc en $\operatorname{sgn}(-1)^{1+l_{2}}$ . On constate aussi que $(-1)^{1+l_{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{1}})=\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l-1}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l}$ . D’où

(3) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \operatorname{sgn}_{l_{2}}(C_{l_{2}}) & = & \displaystyle \operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })\operatorname{sgn}(e_{l_{2}})\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l-1}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}})^{B}\displaystyle \mathop{\prod }_{h=l+1,\ldots ,R}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h}).\end{eqnarray}$$

Rétablissons l’indice $j$ et faisons le produit de ces expressions sur $j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }=(R-r)/2$ . Les premiers termes donnent $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})^{(R-r)/2}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })^{(R-r)/2}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })^{(R-r)/2}$ . Le produit des $\operatorname{sgn}(e_{l_{2}(j)})$ est égal à $\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)$ . Le produit des termes suivants est $\prod _{j\in {\hat{J}}}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\prod }_{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}\operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{l_{2}(j)})=\operatorname{sgn}(-1)^{t_{2}^{\prime }}\operatorname{sgn}\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j}^{L_{2}}\right).\end{eqnarray}$$

Puisque $t_{2}^{\prime }$ est de la même parité que $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])$ , le premier terme vaut $\operatorname{sgn}(-1)^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])}$ . Par définition de $\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]$ , le second terme vaut $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])})\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })$ . Considérons le dernier produit de la formule (3). Pour $h\in \{R-r+1,\ldots ,R\}$ , le terme $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})$ intervient pour tout $j$ . Le produit en $j$ donne $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})^{(R-r)/2}$ . Pour $h\in {\hat{J}}$ , les termes $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h-1})$ et $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})$ interviennent pour les $j<h/2$ . Le produit donne $\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{h})^{h/2-1}$ . D’où

(4) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \displaystyle \mathop{\prod }_{j=1,\ldots ,t_{2}^{\prime }}\operatorname{sgn}_{l_{2}(j)}(C_{l_{2}(j)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)(\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime })\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime }))^{(R-r)/2}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j\in {\hat{J}}}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})^{j/2-1}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j-1}-\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\left(\displaystyle \mathop{\prod }_{j=R-r+1,\ldots ,R}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D6FE}_{j})^{(R-r)/2}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \times \,\operatorname{sgn}(-1)^{\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])B}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])})^{B}\operatorname{sgn}_{CD}(w^{\prime \prime })^{B}.\end{eqnarray}$$

Le lemme résulte de (1), (2) et (4). ◻

2.7 Démonstration du (ii) du lemme 2.2

Soit $(\bar{n}_{1},\bar{n}_{2})\in D(n)$ et $\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}\in F^{\times }/F^{\times 2}$ tels que $\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\unicode[STIX]{x1D702}_{2}=\unicode[STIX]{x1D702}$ . Soit $\bar{Y}_{1}$ , respectivement $\bar{Y}_{2}$ , un élément régulier, elliptique et topologiquement nilpotent de $\mathfrak{g}_{\bar{n}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1}}(F)$ , respectivement $\mathfrak{g}_{\bar{n}_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}(F)$ . On va calculer l’intégrale orbitale endoscopique $J^{\operatorname{endo}}(\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2},f)$ , cf. 1.2 dont les définitions s’adaptent aux algèbres de Lie.

Soit $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ . Pour $(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ et $a\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ , posons

(1) $$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{\sharp }[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2}) & = & \displaystyle d(r^{\prime },r^{\prime \prime },\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})\mathop{\sum }_{Y}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{\bar{n}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\bar{n}_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}((\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2}),Y)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\mathop{\sum }_{e\in {\mathcal{E}}}\mathop{\sum }_{u\in {\mathcal{U}}}\unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)\hat{i} _{\sharp }[a,e,u](Y).\end{eqnarray}$$

En utilisant le lemme 2.5, on calcule

$$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2},f_{\sharp })=|{\mathcal{L}}|^{-1}\!\mathop{\sum }_{(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}}C(\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})\!\int _{A(\unicode[STIX]{x1D6FE})}E_{\sharp }[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2})\,da,\end{eqnarray}$$

où l’on a posé

$$\begin{eqnarray}C(\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})=d(r^{\prime },r^{\prime \prime },\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})C(w^{\prime })C(w^{\prime \prime })C(r^{\prime },r^{\prime \prime })\unicode[STIX]{x1D6FC}(r^{\prime },r^{\prime \prime },w^{\prime },w^{\prime \prime })\unicode[STIX]{x1D70E}(\unicode[STIX]{x1D6FE}).\end{eqnarray}$$

Par définition, on a l’égalité

$$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2},f)=J^{\operatorname{endo}}(\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2},f_{\operatorname{iso}})+J^{\operatorname{endo}}(\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2},f_{\operatorname{an}}).\end{eqnarray}$$

D’où l’égalité

(2) $$\begin{eqnarray}J^{\operatorname{endo}}(\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2},f)=|{\mathcal{L}}|^{-1}\mathop{\sum }_{(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}}C(\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})\int _{A(\unicode[STIX]{x1D6FE})}E[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2})\,da,\end{eqnarray}$$

où l’on a posé

$$\begin{eqnarray}E[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2})=E_{\operatorname{iso}}[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2})+E_{\operatorname{an}}[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2}).\end{eqnarray}$$

Fixons $\sharp =\operatorname{iso}$ ou $\operatorname{an}$ , $(L_{1},L_{2})\in {\mathcal{L}}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in \unicode[STIX]{x1D6E4}$ et $a\in A(\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . Rappelons que, pour $e\in {\mathcal{E}}$ et $u\in {\mathcal{U}}$ , on a l’égalité $\hat{i} _{\sharp }[a,e,u]=\frac{1}{2}(\hat{i} _{\sharp }^{+}[a,e,u]+\hat{i} _{\sharp }^{-}[a,e,u])$ . Supposons que $n_{1}\not =0$ et $n_{2}\not =0$ . On a défini en 2.6 une application qui, à $\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}=\pm$ , associe $\unicode[STIX]{x1D701}=\pm$ de sorte que les classes de conjugaison stable de $(X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime \prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime }))$ et $X^{\unicode[STIX]{x1D701}}(a,e,u)$ se correspondent. Notons-la $Z$ . Elle est surjective et ses fibres ont deux éléments. On a donc

$$\begin{eqnarray}\hat{i} _{\sharp }[a,e,u]=\frac{1}{4}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}=\pm }\hat{i} _{\sharp }^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}[a,e,u].\end{eqnarray}$$

Utilisons le lemme 2.6. Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D705}^{L_{2}}(e)\unicode[STIX]{x1D705}^{{\mathcal{U}}}(u)\hat{i} _{\sharp }[a,e,u] & = & \displaystyle \frac{1}{4}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}=\pm }d(r^{\prime },r^{\prime \prime },\unicode[STIX]{x1D6FE},L_{2})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]} (\,(X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime })),\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle X^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}(a,e,u))\hat{i} _{\sharp }^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}[a,e,u].\nonumber\end{eqnarray}$$

L’égalité (1) se récrit

(3) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle E_{\sharp }[a,L_{1},L_{2}](\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{1}{4}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}=\pm }\mathop{\sum }_{Y}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{\bar{n}_{1},\unicode[STIX]{x1D702}_{1},\bar{n}_{2},\unicode[STIX]{x1D702}_{2}}((\bar{Y}_{1},\bar{Y}_{2}),Y)E_{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}[a,L_{1},L_{2}](Y),\end{eqnarray}$$

où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle E_{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}[a,L_{1},L_{2}](Y)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\mathop{\sum }_{e\in {\mathcal{E}}}\mathop{\sum }_{u\in {\mathcal{U}}}\unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]} (\,(X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime })),\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad X^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}(a,e,u))\hat{i} _{\sharp }^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}[a,e,u](Y).\nonumber\end{eqnarray}$$

Fixons $\unicode[STIX]{x1D701}_{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D701}_{2}$ . Dans la formule définissant $E_{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}[a,L_{1},L_{2}](Y)$ , la somme est en réalité limitée aux $(e,u)$ tels que $\sharp (a,e,u)=\sharp$ (pour les autres, $\hat{i} _{\sharp }^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}[a,e,u]$ est nulle). Les $X^{Z(\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2})}(a,e,u)$ parcourent un ensemble de représentants des classes de conjugaison par $G_{\sharp }(F)$ dans la classe de conjugaison stable correspondant à celle de $(X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime }),X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}(a^{L_{2}},w^{\prime \prime }))$ . On voit qu’aux différences de notations et à une constante près, $E_{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}[a,L_{1},L_{2}](Y)$ n’est autre que le membre de droite de l’égalité de la conjecture 2 de [Reference Waldspurger10] VIII.7. Cette conjecture est démontrée depuis que Ngo Bao Chau a démontré le lemme fondamental. On va appliquer cette conjecture. Posons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle C_{\sharp }(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}(\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F))\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}(\mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F))\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}(\mathfrak{g}_{\sharp }(F))^{-1},\nonumber\end{eqnarray}$$

avec les définitions de [Reference Waldspurger10] VIII.5. Pour $j=1,2$ et pour un élément régulier $Y_{j}$ de $\mathfrak{g}_{n_{j},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{j},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ , notons $z_{\operatorname{iso}}(Y_{j})$ le nombre de classes de conjugaison par $G_{n_{j},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{j},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ dans la classe de conjugaison stable de $Y_{j}$ . Rappelons que $X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},w^{\prime })$ est un élément d’une certaine classe de conjugaison stable, cf. 2.6. Un ensemble de classes de conjugaison par $G_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ dans cette classe de conjugaison stable est formé d’éléments $X^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}(a^{L_{1}},e_{1},u_{1})$ , où $e_{1}$ et $u_{1}$ décrivent des ensembles ${\mathcal{E}}_{1}$ et ${\mathcal{U}}_{1}$ analogues à ${\mathcal{E}}$ et ${\mathcal{U}}$ , avec la restriction $\sharp (a^{L_{1}},e_{1},u_{1})=\operatorname{iso}$ . On définit pour ces éléments une fonction $\hat{i} _{\operatorname{iso}}^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}[a^{L_{1}},e_{1},u_{1}]$ similaire à $\hat{i} _{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}}[a,e,u]$ . Si la condition $\sharp (a^{L_{1}},e_{1},u_{1})=\operatorname{iso}$ n’est pas vérifiée, on pose $\hat{i} _{\operatorname{iso}}^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}[a^{L_{1}},e_{1},u_{1}]=0$ . On pose des définitions analogues en remplaçant l’indice $1$ par $2$ (et $w^{\prime }$ par $w^{\prime \prime }$ ). Alors la conjecture 2 de [Reference Waldspurger10] VIII.7 fournit l’égalité

(4) $$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{\sharp }^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1},\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}[a,L_{1},L_{2}](Y) & = & \displaystyle C_{\sharp }(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\mathop{\sum }_{e_{1}\in {\mathcal{E}}_{1},u_{1}\in {\mathcal{U}}_{1},e_{2}\in {\mathcal{E}}_{2},u_{2}\in {\mathcal{U}}_{2}}\mathop{\sum }_{Y_{1},Y_{2}}z_{\operatorname{iso}}(Y_{1})^{-1}z_{\operatorname{iso}}(Y_{2})^{-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,\unicode[STIX]{x1D6E5}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]}((Y_{1},Y_{2}),Y)\hat{i} _{\operatorname{iso}}^{\unicode[STIX]{x1D701}_{1}}[a^{L_{1}},e_{1},u_{1}]\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \times \,(Y_{1})\hat{i} _{\operatorname{iso}}^{\unicode[STIX]{x1D701}_{2}}[a^{L_{2}},e_{2},u_{2}](Y_{2}),\end{eqnarray}$$

où l’on somme sur les $(Y_{1},Y_{2})$ , elliptiques réguliers dans $\mathfrak{g}_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)\times \mathfrak{g}_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ , à conjugaison près par $G_{n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)\times G_{n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F)$ .

Calculons $C_{\sharp }(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])$ . D’après [Reference Moeglin and Waldspurger6] 3.15, on a les égalités

$\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}(\mathfrak{g}_{\sharp }(F))=\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}^{n}\operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})})$ , si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est pair ;

$\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}(\mathfrak{g}_{\sharp }(F))=\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}^{n-1}$ si $\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})$ est impair.

Le terme $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}$ est une constante de Weil élémentaire. Il vérifie l’égalité $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}^{2}=\operatorname{sgn}(-1)$ . On voit tout d’abord que les termes ci-dessus ne dépendent pas de l’indice $\sharp$ . La constante $C_{\sharp }(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])$ non plus, on la note simplement $C(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])$ . Pour $j=1,2$ , on a des formules analogues pour $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{\unicode[STIX]{x1D713}_{F}}(\mathfrak{g}_{n_{j},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{j},\unicode[STIX]{x1D6FE}],\operatorname{iso}}(F))$ . On obtient les égalités

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle C(n_{1},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}],n_{2},\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1, & \text{pour}\,~\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{pair}\\ & \text{et}\,\,\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{pair}\,;\\ \operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}])}), & \text{pour}\,~\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{pair}\\ & \text{et}\,\,\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{impair}\,;\\ \operatorname{sgn}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}]\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])}), & \text{pour}\,~\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{impair}\\ & \text{et}\,\,\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{pair}\,;\\ \operatorname{sgn}(-\unicode[STIX]{x1D702}\unicode[STIX]{x1D71B}^{-\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702})}), & \text{pour}\,~\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{1},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{impair}\\ & \text{et}\,\,\operatorname{val}_{F}(\unicode[STIX]{x1D702}[L_{2},\unicode[STIX]{x1D6FE}])\,\,\operatorname{impair}\!.\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}$$

Insérons l’égalité (4) dans la formule (3). Pour $j=1,2$ , posons

$$\begin{eqnarray}\hat{i} _{\operatorname{iso}}[a^{L_{j}},e_{j},u_{j}]={\textstyle \frac{1}{2}}(\hat{i} _{\operatorname{iso}}^{+}[a^{L_{j}},e_{j},u_{j}]+\hat{i} _{\operatorname{iso}}^{-}[a^{L_{j}},e_{j},u_{j}]).\end{eqnarray}$$

On obtient