page 97 note (¹) On dit qu’une fonction f jouit de la propriété additive lorsqu’on a

f(x) + f(y) = f(x + y)

quels que soient x et y.

On démontre qu’une fonction continue qui jouit de cette propriété est une « forme linéaire » c’est-à-dire une fotiction linéaire hotnogène.

et, plus généralement,

Dès lors, si m et n sont deux entiers positifs,

Il en résulte que f(x) = x f(1) dès que x est rationnel. La fonction f étant supposée continue, cette relation est aussi vérifiée pour x irrationnel; elle est ainsi valable quel que soit x réel.

page 102 note (¹) Rappelons qu’en parlant de l’intérêt produit dans un intervalle, nous supposons le capital placé à l’origine de l’intervalle (Chapitre I, numéro 3).

page 107 note (¹) En vertu de la continuité de f, il y a alors une infinité de valeurs y qui jouissent de cette propriété.

page 107 note (²) D’une manière plus précise, f(x, y) · f(y, x) < 1.

page 107 note (³) En vertu de la continuité de f, il y a alors une infinité de systèmes de valeurs x, y qui jouissent de cette propriété.

page 108 note (¹) Nous dirons au Chapitre suivant qu’une loi de placement est à intérêt composé lorsque l’on a identiquement

f(x, y) = f(x, z) · f(z, y)

ce qui exige, en particulier, que l’on ait

1 = f(x, z) · f(z, x).

Nous pouvons donc remarquer dès maintenant qu’une loi de placement à intérêt simple non nul ne sera pas une loi à intérêt composé.

page 112 note (¹) Le symbole i tel qu’il vient d’être défini, conformément d’ailleurs à la notation actuarielle internationale, ne peut prêter à confusion; nous sommes restés dans le domaine réel et i n’a, dans le cas présent, aucun rapport avec l’unité imaginaire.

page 114 note (¹) D’une manière plus précise on doit avoir f(x, y) · f(y, x) < 1; effectivement, on a 1 — i ² (y — x)² < 1 dès que x et y sont distincts.

page 114 note (²) La loi n’est pas à intérêst composé, avons-nous dit.

page 115 note (¹) C’est l’intérêt produit dans l’intervalle (x, y) par le capital 1 placé à l’instant y (au sens de la définition admise précédemment au Chap. I, n° 3).

page 115 note (²) On suppose f(x, y) ≠ 0.

page 116 note (¹) Nous nous limitons donc au cas pour lequel les intérêts suivent la même loi que le capital initial. On pourrait naturellement imaginer une théorie plus générale qui ne lierait pas la loi de placement des intérêts à celle du capital initial. Cette théorie admettrait les deux cas particuliers auxquels nous nous bornons dans la présente étude: l’intérêt simple, pour lequel la loi de placement des intérêts est la loi à intérêt nul et l’intérêt composé, pour lequel la loi de placement des intérêts est celle du capital initial.

page 117 note (¹) Nous supposons que f(x, y) ≠ 0; nous verrons dans quelques instants qu’il en est bien ainsi, quels que soient x et y.

page 122 note (¹) En vertu de la continuité de f, il y a alors une infinité de valeurs y qui jouissent de cette propriété.

page 122 note (²) D’une manière plus précise, f(x, y) + f(y, x) > 2.

page 122 note (³) Il a été signalé précédemment (numéro 5 du Chapitre II, note) qu’une loi à intérêt simple non nul n’était pas à intérêt composé.

page 122 note (⁴) En vertu de la continuité de f, il y a alors une infinité de systèmes de valeurs x, y qui jouissent de cette propriété.

page 124 note (¹) On a vu (Chap. II, numéro 6) que, dans le cas de l’intérêt simple, la tendance à croître (ou à décroître) de la valeur acquise totale était constante; ici c’est la tendance à croître (ou à décroître) par unité de capital de la valeur acquise qui est constante.

page 125 note (¹) On suppose δ₁(0, y) ≠ 0.

page 129 note (¹) D’une manière plus précise, on doit avoir f(x, y) + f(y, x) > 2; effectivement, on a (1 + i) ^y—x + (1 + i) ^x—y > 2; rappelons que l’inégalité , où α > 0, résulte directement de (α — 1)² > 0.

page 137 note (¹) Si l’on affectait la différence à un placement selon la loi du capital initial, le » retrait d’intérêts >< serait sans effet sur la valeur finale, par définition même de l’intérêt composé.