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Über die Zwischensysteme der Aussagenlogik*

Published online by Cambridge University Press:  22 January 2016

Toshio Umezawa
Toshio Umezawa*
Affiliation:
Universität zu Nagoya
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Die klassische Aussagenlogik ist, bekanntlich, in dem Sinne vollständig, dass die Hinzufügung einer klassisch nicht beweisbaren Formel als Axiom dieses Systems stets einen Widerspruch nach sich zieht. Die Vollständigkeit (in diesem Sinne) kann für intuitionistische Aussagenlogik nicht bestehen, weil noch immer die Formel A ∨ Ā (der Satz vom ausgeschlossenen Dritten) hinzugefügt werden kann. Es steht aber die Frage, ob man aus der intuitionistischen Aussagenlogik durch Hinzufügung einer klassisch beweisbaren und intuitionistisch nicht beweisbaren Formel stets die klassischen Aussagenlogik bekommt.

Type
Research Article
Information
Nagoya Mathematical Journal , Volume 9 , October 1955 , pp. 181 - 189
Copyright
Copyright © Editorial Board of Nagoya Mathematical Journal 1955

Footnotes

*

Für die wertvolle Hilfe bei der Fertigstellung dieser Arbeit bin Ich Prof. K. Ono zu Dank verpflichtet. Auch verdanke Ich Herrn I. Nishimura die aufbauende Kritik des Manuskriptes.

References

1) Gentzen, Vgl. G., Untersuchungen über das logische Schliessen, Math. Zeits. 39 (1935), S. 176–210 und 405–431.CrossRefGoogle Scholar

2) Maehara, Vgl. S., Eine Darstellung der intuitionistischen Logik in der klassischen, Nagoya Math. Jour. 7 (1954), S. 46–64 Google Scholar. Auch fand Ich diese Tatsche ohne Kenntnis seiner Arbeit. Im System LJ′ gilt nicht der Gentzensche Hauptsatz, also verlieren wir den Erfolg der Anwendung des Hauptsatzes auf das Entscheidungsproblem. Aber ist das uns nicht wesentlich.

3) Um missverständis zu vermeiden, gebrauchen wir das Wort „ Sequenzschema “für den Ausdruck, woraus die Sequenzen durch Einsetzungen entstehen.

4) Diese Definition und die folgende Terminologie verdanke Ich Prof. K. Ono. Vgl. K. Ono, Logische Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik, Jour, of the Faculty of Science, Imp. Univ. of Tokyo, section 1, Vol. 111, 1938.

5) Es ist klar, dass es die richtige bzw. falche Formel im System LJ′ gibt.

6) Man beachte, dass (r1, r2) kein Element der Form (x, 0) sowie (0, y) enthält.

7) In (r1, r2) bedeutet I natiirlich das Element (r1, r2) und 0 das Element (0, 0).

8) Birkhoff, Vgl. G., Lattice Theory, New York 1948 Google Scholar. Man kann es direkt für LJ′ beweisen. Z.B. für FEA und FES schliesst man wie folgt. Wenn sowohl als gelten, so gilt minx Wenn gilt, so gilt auch

9) Es sei Q′n+1 das aus Qn+1 durch Elinimierung von entstandene Sequenz-schema. Wenn man ais Werte von und als Wert von nimmt, so ergibt sich gleichfalls, dass der Wert des Sukzedens (1, 1) ist. Daraus erhält man

10) Um LPn ⊃ LJ′ direkt zu beweisen, darf man anstatt (r1, r2) (ω, ω), wo ω die transzendentale Ordnungszahl ist, betrachten.

11) Dabei soil es beachtet, dass diese Abbildungen unsere Zwischensysteme nicht charakterisieren.

12) Die Sequenz ist J′-herleitbar. Daher ist äquivalent mit P2. McKinsey, Vgl. J.C.C., Proof of the independence of the primitive symbols of Heyting’s calculus of propositions, The Jour. of Symbolic Logic, 4 (1939), S. 155–158, Fussnote 3.Google Scholar

13) Da herleitbar ist und äquivalent ist, erhält man daraus den de Morganschen Satz.