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Intuitionistische Untersuchungen der formalistischen Logik

Published online by Cambridge University Press:  22 January 2016

Sigekatu Kuroda
Sigekatu Kuroda*
Affiliation:
Mathematisches Institut, Universität zu Nagoya
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Der. Umschwung, welchen die mathematischen Grundlagenforschungen in diesem Jahrhundert erfuhren, teilte früher einmal die Untersuchungen in drei Hauptrichtungen ab, nämlich in die intuitionistische, logistische und formalistische Auffassung der Mathematik, wonach die lebhafte Polemik über das Wesen der Mathematik sowie das Verhältnis der Logik zur Mathematik aufblütete, und zwar am heftigsten in den zwanziger Jahren dieses Jahrhunderts. Nicht in den prinzipiellen Einsichten, sondern in der Methode der Forschungen hatten doch diese drei Standpunkte viele Berührungspunkte. Erstens entlehnt der Hilbertsche Formalismus dem Logizismus das Hilfsmittel zur Formalisierung der Mathematik. Zweitens ragt die Beweisführung in der Metamathematik, welche die formalisierte Mathematik als ihren eigenen Gegenstand der Untersuchungen betrachtet, insofern nicht aus der intuitionistischen Mathematik hervor, als man die formalisierte Mathematik nur als Zeichenkombinationen ansieht. Ferner sind die formalen Regeln, welche in der intuitionistischen Denktätigkeit erfindlich sind, zuerst von Herrn Heyting formalisiert, danach von Herren Gödel, Gentzen u. a, der logistischen Untersuchungen unterworfen worden. Überdies haben diese drei Richtungen der Grundlagenforschungen heutzutage, wozu gemeinsam der erste Anstoss durch die Cantorsche Mengenlehre gegeben worden ist, auch ihre Absicht in Gemeinschaft, welche dar in besteht, die Logik in bezug auf das Unendliche zu verdeutlichen und damit der Mathematik sichere Stellung zu liefern.

Type
Research Article
Information
Nagoya Mathematical Journal , Volume 2 , February 1951 , pp. 35 - 47
Copyright
Copyright © Editorial Board of Nagoya Mathematical Journal 1951

References

1) Ein Verzeichnis der zitierten Literatur befindet sich am Schluss der Einleitung Der Inhalt dieses Aufsatzes ist cine verkürzte Wiedergabe meiner auf Japanisch veröffentiichten Auisätze [8], [9], nur dass Nr. 9 in [10] enthalten ist.

2) Vgl, dazu das Literaturverzeichnis des Referais von Heyting [6].

3) Wir übernehmen die Zeichen V, ∃ von Russell, A von Heyting und ⇀* ∀, Von Gentzen. Die Zeichén für Implikation und Gleichwertigkeit, welche in verschiedenen Literaturen bisher vorgekommen sind, sind alie unzutreffend, sei es für Praxis, sei es für Schônheit. Wir verwenden deshalb das Zeichen – für Implikation, welches eine Abänderung des Russellschen Zeichen für Behauptung ist. Wenn man die Behauptung einer Aussage a mit – a bezeichnet, so ist das gerade recht, weil es die Gültigkeit von a ohne Annahme bedeutet.

4) Dieser Satz ist von Brouwer zuerst als logischer Satz in [3] formuliert und bewiesen worden,

5) Brouwer behauptete, dass der Satz vom ausgeschlossenen Dritten widerspruchsfrei ist, schon im Jahre 1908 [2]. Aber das ist m. E. nie in den bisherigen Literaturen mit (2) idenzifitiert worden.

6) Von dem philosophischen Gesichtspunkte aus ist diese zwei Arten von mathematischer Existenz manchmal diskutiert worden. Vgl. z. B. [1].

7) Das logische System von Gentzen wird hier nur knapp skiziert. Um Einzelheiten vergleiche man [5].

8) Der Beweis davon befindet sich in [7], [9].

9) Vgl. insbesondere [4].