* Fejér, L., “Sur les fonctions bornées et intégrables”, Comptes rendus, 131 (1900), 984.Google Scholar

† Hardy, G. H. et Littlewood, J. E., “Sur la série de Fourier d'une fonction à carré sommable”, Comptes rendus, 156 (1913), 1307.Google Scholar

‡ Dieser wurde später durch Carleman, Sutton und Hardy und Littlewood noch wesentlich verallgemeinert.

* Diese Summationsmethode ist natürlich verschieden von derjenigen, die bei der Fourierschen Doppelreihe gewöhnlich angewendet wird. Gewöhnlich handelt es sich, wenn gesetzt wird, um den Grenzwert der Doppelfolge der Mittelwerte (oder, wenn man speziell m = n setzt, um den Grenzwert der einfach unendlichen Folge ). Siehe diesbezüglich die Arbeiten von C. N. Moore, W. H. Young, Küstermann, Tonelli und anderer Autoren. (Strenge und klare Darstellung, mit vielen neuen Resultaten, bei Tonelli, Leonida, Serie trigonometriche (Bologna, 1928)Google Scholar, insb. Capitolo IX, “Serie doppie di Fourier".) Hier, in dieser Note, handelt es sich eigentlich um die derart in eine einfache unendliche Reihe umgestaltete doppelte Fouriersche Reihe dass man in der letzteren alle diejenigen 2n + 1 Glieder A _mn zu einem Gliede B _n zusammenfasst, für welche der eine Index gleich n, der andere aber ≤ ist, d.h. B _n = s _nn − s _{n−1, n−1} = A _0n + A _1n + … + A _{n−1, n} + A _nn + A _{n, n−1} + … + A _n0, für n = 1, 2, …, B ₀ = s ₀₀ = A ₀₀. Unser Satz besagt nun, dass die Cesàroschen Mittel dritter Ordnung dieser einfach unendlichen Reihe an jeder Stetigkeitsstelle (x, y) zu F(x, y) konvergieren. Über ihre Cesàroschen Mittel zweiter, erster und nullter Ordnung habe ich kein nennenswertes Resultat. Ich bemerke hier, dass ich auch die arithmetischen Mittel der Reihe untersucht habe, die aus diesmal durch Cauchysche Zusammenfassung entsteht, d.h. C _n = A _0n + A _{1, n−1} + … + A _n−1,1 + A _n0, n = 0, 1, 2, …. Untersuchungen über liegen von Picone, Miranda und Cesari vor.

* Dass k _n(t, u) ≥ 0 ist, ist ein älterer Satz von mir. Es ist sogar k _n(t, u) > 0 für die ganze (t, u) Ebene, wenn n gerade ist; für ungerades n ist k _n(t, u) = 0 in den Mittelpunkten der Seiten des Fundamentalquadrates | t | ≤ π, | u | ≤ π (und natürlich in den zu diesen mod 2π kongruenten Punkten), sonst ist auch k _n(t, u) > 0. Die Grundlage des Beweises für diese Tatsachen ist mein, nicht ganz leicht beweisbarer, Satz: die arithmetischen Mittel zweiter Ordnung der Reihe sind für jedes reelle θ nichtnegativ.

† Aus der Formel (7) folgt der Satz: Ist für jeden reellen Wert des Argumentes |f(ξ) | ≤ 1, so gilt für die Fourierschen Partialsummen {s _n}

Die Ungleichung hingegen ist im allgemeinen nicht richtig. Wenn aber die Folge {s _n} die Partialsummen einerfür | z | < 1 konvergenten Potenzreihe bezeichnet, für welche |f(z) | ≤ 1 ist für z < 1, so ist bekanntlich für ‖z‖ ≤1 gültig—ein Satz von I. Schur.

* Wenn f(ξ) im ganzen Intervalle 0 ≤ ξ ≤ π beschränkt ist, so nimmt man als Majorante π(ξ) = Max |f(v)|, für 0 ≤ ξ ≤ π. Jetzt wächst π(ξ) in diesem ganzen Intervalle. Unter Maximum verstehe ich: obere Grenze.

† Man kann diese Schlussfolgerung natürlich auch im einfacheren Falle des singulären Integrals anwenden, indem man f(t) etwa durch die Majorante π(t) unter (12) ersetzt. Man erhält so und da nach Dirichlet σ_n → 0, also ist auch Ich habe diese Ableitung des Satzes über die arithmetischen Mittel der Fourierschen Reihe für eine beliebige Stetigkeitsstelle der Funktion aus dem Dirichletschen Konvergenzsatze für die Partialsummen einer monotonen Funktion hier angeführt, obgleich natürlich das Umgekehrte, was bekanntlich durch Hardy geleistet wurde, viel interessanter ist. Es lohnt sich aber vielleicht doch den fast trivialen Satz zu formulieren: Wenn das “singuläre Integral” für n → ∞ zu 0 konvergiert für jede im Intervalle 0 ≤ t ≤ a beschränkte und monotone Funktion mit f(+ 0) = 0, so konvergiert es auch für n → ∞ zu 0 für jede beschränkte und integrierbare Funktion f(t) mit f(+ 0) = 0; vorausgesetzt ist: k _n(t) ≥ 0, für 0 ≤ t ≤ a.

* Die Poissonschen Mittelwerte der Folge {s _n} selbst werden bekanntlich durch

d.h. durch das Poissonsche Integral ausgedrückt.

* Umgekehrt folgt aus der (C, k) Summabilität der Fourierschen Reihe π_(k+2)(t) → 0, für t → + 0. Cesàrosche Summabilität der Funktion und der Fourierreihe sind also zwei Eigenschaften, von welchen jede die andere nach sich zieht—das ist das Theorem über die (C) Summabilität von Hardy und Littlewood, in welchem die Theorie der Summation der Fourierschen Reihe durch die arithmetischen Mittel verschiedener Ordnung sozusagen kulminiert.