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Über die monotone Konvergenz der Cesàro-Mittel bei Fourier- und Potenzreihen

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

P. Turán
P. Turán
Affiliation:
Budapest
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1·1. Es bezeichne für nichtnegative ganze n und k

das n-te Cesàro-Mittel der Ordnung k der Reihe μ0 + μ1 + … Insbesondere ist also die n-te Partialsumme dieser Reihe.

Type
Research Article
Information
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , Volume 34 , Issue 2 , April 1938 , pp. 134 - 143
Copyright
Copyright © Cambridge Philosophical Society 1938

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References

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‡ Eine Vereinfachung im Beweise verdanke ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn Prof. W. Rogosinski.

† Für nichtganze k sind in (1) die Grössen durch zu ersetzen.

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§ Der Satz ist für k = 1 allgemein nicht richtig.

† Es ist sin xdx ≥ 0.

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† Nach Voraussetzung ist C endlich.

† Zuerst im Falle λk = 1/k 2 bewiesen bei Koschmieder loc. cit.; allgemein, mit der Bedingung λk≥ 0, steht das Lemma bei Fejér, Journal of Math. and Physics, 13 (1934), 1.Google ScholarDen hier gegebenen Beweis hatte uns Herr Prof. Fejér zur Verfügung gestellt.

† Scheinbar ist statt f(x) ≥ 0 nur f(O) ≥ 0 benutzt. Das erstere ist aber eine Folge hiervon wegen der Konvexität und Symmetrie.

† bedeutet die zu b konjugiert komplexe Zahl.

† Leere Summen (im Falle n = 0) bedeuten 0.

‡ Für cos π = 0 ist