Le but de cet article est de démontrer une version locale de certains résultats classiques concernant l'espace de Hardy H1 et l'action sur cet espace des opérateurs de Calderón–Zygmund. Plus précisément, voici deux exemples de questions étudiées.

La première concerne l'invariance de l'espace H1 relativement aux fonctions maximales utilisées pour le définir. On sait que, si une fonction f est telle qu'une certaine fonction maximale raisonnable M1f soit intégrable dans ℝn, alors toute autre fonction maximale raisonnable M2f est également intégrable dans ℝn. Si on suppose seulement que M1f est intégrable sur une boule de ℝn, que peut-on dire de l'intégrabilitéde M2f?

La seconde concerne l'action sur l'espace H1 des opérateurs de Calderón–Zygmund. Un résultat classique de cette théorie affirme que, si T est un opérateur de Calderón–Zygmund (respectivement un opérateur de Calderón–Zygmund vérifiant la condition T*() = 0) et si f ∈ H1, alors T(f) ∈ L1 (respectivement T(f) ∈ H1). Que peut-on dire de T(f), si on suppose seulement qu'une certaine fonction maximale associée à f est intégrable sur une boule de ℝn?

La deuxième question s'est naturellement posée au cours de notre travail [3], dans lequel nous avons eu besoin de certains résultats de la Section 4 du présent article. A notre connaissance, ces résultats ne se trouvent pas dans la littérature et pour les obtenir, on doit “localiser” convenablement les méthodes utilisées classiquement pour établir les résultats globaux correspondants; nous en rappelons les grandes lignes, qui fixent le plan de notre article. La description de l'action des opérateurs de Calderón–Zygmund sur H1 est basée sur la décomposition atomique de cet espace; de façon un peu similaire, notre réponse à la deuxième question passe par le résultat de localisation de la Section 3 qui est, sans être aussi précis, dans l'esprit des décompositions atomiques. A son tour, la décomposition atomique de H1 est une conséquence du fait que cet espace puisse être défini au moyen de “grandes” fonctions maximales; parallèlement, notre résultat de localisation de la Section 3 utilise une version locale de ce résultat, qui fait l'objet de la Section 2.