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LA VARIANTE INFINITÉSIMALE DE LA FORMULE DES TRACES DE JACQUET-RALLIS POUR LES GROUPES LINÉAIRES

Published online by Cambridge University Press:  19 April 2016

Michał Zydor*
Affiliation:
Faculty of Mathematics and Computer Science, Weizmann Institute of Science, P.O. Box 26, Rehovot 76100, Israel ([email protected])

Abstract

We establish an infinitesimal version of the Jacquet-Rallis trace formula for general linear groups. Our formula is obtained by integrating a kernel truncated à la Arthur multiplied by the absolute value of the determinant to the power $s\in \mathbb{C}$. It has a geometric side which is a sum of distributions $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ indexed by the invariants of the adjoint action of $\text{GL}_{n}(\text{F})$ on $\mathfrak{gl}_{n+1}(\text{F})$ as well as a «spectral side» consisting of the Fourier transforms of the aforementioned distributions. We prove that the distributions $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ are invariant and depend only on the choice of the Haar measure on $\text{GL}_{n}(\mathbb{A})$. For regular semi-simple classes $\mathfrak{o}$, $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ is a relative orbital integral of Jacquet-Rallis. For classes $\mathfrak{o}$ called relatively regular semi-simple, we express $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ in terms of relative orbital integrals regularised by means of zeta functions.

Nous établissons une variante infinitésimale de la formule des traces de Jacquet-Rallis pour les groupes linéaires. Notre formule s’obtient par intégration d’un noyau tronqué à la Arthur multiplié par la valeur absolue du déterminant à la puissance $s\in \mathbb{C}$. Elle possède un côté géométrique qui est une somme de distributions $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ indexées par les invariants de l’action de $\text{GL}_{n}(\text{F})$ sur $\mathfrak{gl}_{n+1}(\text{F})$ ainsi qu’un «côté spectral» formé des transformées de Fourier des distributions précédentes. On démontre que les distributions $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ sont invariantes et ne dépendent que du choix de la mesure de Haar sur $\text{GL}_{n}(\mathbb{A})$. Pour des classes $\mathfrak{o}$ semi-simples régulières, $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ est une intégrale orbitale relative de Jacquet-Rallis. Pour les classes $\mathfrak{o}$ dites relativement semi-simples régulières, on exprime $I_{\mathfrak{o}}(s,\cdot )$ en termes d’intégrales orbitales relatives régularisées à l’aide des fonctions zêta.

Type
Research Article
Copyright
© Cambridge University Press 2016 

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