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INTÉGRALES ORBITALES SUR $GL(N,\mathbb{F}_{q}((t)))$
Published online by Cambridge University Press: 14 May 2019
Résumé
Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique ${\geqslant}0$ , et soit $G=GL(N,F)$ , $N\geqslant 1$ . Un élément $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G$ est dit quasi régulier si le centralisateur de $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ dans $M(N,F)$ est un produit d’extensions de $F$ . Soit $G_{\text{qr}}$ l’ensemble des éléments quasi réguliers de $G$ . Pour $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G_{\text{qr}}$ , on note $O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}$ l’intégrale orbitale ordinaire sur $G$ associée à $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ . On remplace ici le discriminant de Weyl $|D_{G}|$ par un facteur de normalisation $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}:G_{\text{qr}}\rightarrow \mathbb{R}_{{>}0}$ permettant d’obtenir les mêmes résultats que ceux prouvés par Harish-Chandra en caractéristique nulle: pour $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(G)$ , l’intégrale orbitale normalisée $I^{G}(\unicode[STIX]{x1D6FE},f)=\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{\frac{1}{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}(f)$ est bornée sur $G$ , et pour $\unicode[STIX]{x1D716}>0$ tel que $N(N-1)\unicode[STIX]{x1D716}<1$ , la fonction $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{-\frac{1}{2}-\unicode[STIX]{x1D716}}$ est localement intégrable sur $G$ .
Abstract
Let $F$ be a non–Archimedean local field of characteristic ${\geqslant}0$ , and let $G=GL(N,F)$ , $N\geqslant 1$ . An element $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G$ is said to be quasi–regular if the centralizer of $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ in $M(N,F)$ is a product of field extensions of $F$ . Let $G_{\text{qr}}$ be the set of quasi–regular elements of $G$ . For $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G_{\text{qr}}$ , we denote by $O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}$ the ordinary orbital integral on $G$ associated with $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ . In this paper, we replace the Weyl discriminant $|D_{G}|$ by a normalization factor $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}:G_{\text{qr}}\rightarrow \mathbb{R}_{{>}0}$ which allows us to obtain the same results as proven by Harish–Chandra in characteristic zero: for $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(G)$ , the normalized orbital integral $I^{G}(\unicode[STIX]{x1D6FE},f)=\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{\frac{1}{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}(f)$ is bounded on $G$ , and for $\unicode[STIX]{x1D716}>0$ such that $N(N-1)\unicode[STIX]{x1D716}<1$ , the function $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{-\frac{1}{2}-\unicode[STIX]{x1D716}}$ is locally integrable on $G$ .
MSC classification
- Type
- Research Article
- Information
- Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 20 , Issue 2 , March 2021 , pp. 423 - 515
- Copyright
- © Cambridge University Press 2019
Footnotes
L’auteur a bénéficié d’une subvention de l’Agence nationale de la recherche, projet ANR-13-BS01-00120-02 FERPLAY