Nous présentons une expression explicite pour la hauteur normalisée d’une variété torique projective définie sur $\overline{\mathbb{Q}}$. Cette expression se décompose comme somme de contributions locales, chaque terme étant l’intégrale d’une certaine fonction concave et affine par morceaux, définie sur le polytope $Q_{\mathcal{A}}$ classiquement associé à l’action du tore. Plus généralement, nous obtenons une expression explicite pour la multihauteur normalisée d’un tore relative à plusieurs plongements monomiaux.

L’ensemble de fonctions introduit se comporte comme un analogue arithmétique du polytope $Q_{\mathcal{A}}$. En plus des formules pour les hauteur et multihauteurs, nous montrons que cet objet se comporte de manière naturelle par rapport à plusieurs constructions standard : décomposition en orbites, formation de joints, produits de Segre et plongements de Veronese.

La démonstration suit une démarche indirecte : à la place de la définition de la hauteur normalisée, on s’appuie sur le calcul d’une fonction de Hilbert arithmétique appropriée.

We present an explicit expression for the normalized height of a projective toric variety defined over $\overline{\mathbb{Q}}$. This expression decomposes as a sum of local contributions, each term being the integral of a certain function, concave and piecewise linear-affine, defined on the polytope $Q_{\mathcal{A}}$ classically associated with the torus action. More generally, we obtain an explicit expression for the normalized multiheight of a torus with respect to several monomial embeddings.

The set of functions introduced behaves as an arithmetic analogue of the polytope $Q_{\mathcal{A}}$. Besides the formulae for the height and multiheight, we show that this object behaves in a natural way with respect to several standard constructions: decomposition into orbits, joins, Segre products and Veronese embeddings.

The proof follows an indirect path: instead of the definition of the normalized height, we rely on the computation of an appropriate arithmetic Hilbert function.