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INTÉGRALES ORBITALES SUR $GL(N,\mathbb{F}_{q}((t)))$

Part of: Lie groups

Published online by Cambridge University Press:  14 May 2019

Bertrand Lemaire
Bertrand Lemaire*
Affiliation:
Aix-Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, I2M, UMR 7373 163 avenue de Luminy, Case 901, 13288 Marseille, France ([email protected])
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Résumé

Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique ${\geqslant}0$, et soit $G=GL(N,F)$, $N\geqslant 1$. Un élément $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G$ est dit quasi régulier si le centralisateur de $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ dans $M(N,F)$ est un produit d’extensions de $F$. Soit $G_{\text{qr}}$ l’ensemble des éléments quasi réguliers de $G$. Pour $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G_{\text{qr}}$, on note $O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}$ l’intégrale orbitale ordinaire sur $G$ associée à $\unicode[STIX]{x1D6FE}$. On remplace ici le discriminant de Weyl $|D_{G}|$ par un facteur de normalisation $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}:G_{\text{qr}}\rightarrow \mathbb{R}_{{>}0}$ permettant d’obtenir les mêmes résultats que ceux prouvés par Harish-Chandra en caractéristique nulle: pour $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(G)$, l’intégrale orbitale normalisée $I^{G}(\unicode[STIX]{x1D6FE},f)=\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{\frac{1}{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}(f)$ est bornée sur $G$, et pour $\unicode[STIX]{x1D716}>0$ tel que $N(N-1)\unicode[STIX]{x1D716}<1$, la fonction $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{-\frac{1}{2}-\unicode[STIX]{x1D716}}$ est localement intégrable sur $G$.

Abstract

Abstract

Let $F$ be a non–Archimedean local field of characteristic ${\geqslant}0$, and let $G=GL(N,F)$, $N\geqslant 1$. An element $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G$ is said to be quasi–regular if the centralizer of $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ in $M(N,F)$ is a product of field extensions of $F$. Let $G_{\text{qr}}$ be the set of quasi–regular elements of $G$. For $\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G_{\text{qr}}$, we denote by $O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}$ the ordinary orbital integral on $G$ associated with $\unicode[STIX]{x1D6FE}$. In this paper, we replace the Weyl discriminant $|D_{G}|$ by a normalization factor $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}:G_{\text{qr}}\rightarrow \mathbb{R}_{{>}0}$ which allows us to obtain the same results as proven by Harish–Chandra in characteristic zero: for $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(G)$, the normalized orbital integral $I^{G}(\unicode[STIX]{x1D6FE},f)=\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{\frac{1}{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}(f)$ is bounded on $G$, and for $\unicode[STIX]{x1D716}>0$ such that $N(N-1)\unicode[STIX]{x1D716}<1$, the function $\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{-\frac{1}{2}-\unicode[STIX]{x1D716}}$ is locally integrable on $G$.

Keywords

intégrale orbitalediscriminant de Weylstrate simpleélément minimal

MSC classification

Primary: 22E50: Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields
Type
Research Article
Information
Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 20 , Issue 2 , March 2021 , pp. 423 - 515
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Copyright
© Cambridge University Press 2019

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Footnotes

L’auteur a bénéficié d’une subvention de l’Agence nationale de la recherche, projet ANR-13-BS01-00120-02 FERPLAY

References

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