Nous dirons qu'un corps (commutatif) K est un corps de courbe réelle sur le corps k si et seulement si c'est une extension de k, ordonnable, finiment engendrée et de degré de transcendance 1 sur k, telle que k soit relativement algébriquement clos dans K. Un tel corps est le corps d'une courbe (plane) définie sur k. De plus si k est réel-clos, toute courbe définie sur k dont K est le corps, a un point régulier rationnel sur k; en effet soit I ⊂ k[X0,…, Xn] l'idéal d'une telle courbe Γ; on a donc: K = k[x0,…, xn] où x0,…, xn sont les classes d'équivalence de X0,…, Xn; (x0,…, xn) est un point régulier de Γ dans la clôture réelle de K, et par modèle-complétude, Γ a un point régulier rationnel sur k.

Notre but est d'étendre les résultats de Raphael Robinson [6] sur l'indécidabilité des corps de fractions rationnelles sur un corps ordonnable (dans le langage des corps). Comme lui, nous donnerons une méthode qui ne s'applique que lorsque le corps de base k est réel-clos, et une seconde méthode générate.