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Algebraische und logistische Untersuchungen über freie Verbände

Published online by Cambridge University Press:  12 March 2014

Paul Lorenzen
Paul Lorenzen*
Affiliation:
Universität Bonn
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Extract

Die Verbandstheorie ist bekanntlich von Dedekind an Hand seiner idealtheoretischen Untersuchungen begründet worden. Es hat sich in letzter Zeit herausgestellt, daß die wesentliche Eigenschaft des Dedekind'schen Idealsystems darin liegt, daß die Ideale einen Halbverband (§1) bilden. Die Idealtheorie führt so auf die Frage nach alien Halbverbänden über einer beliebigen halbgeordneten Menge M. Die einfache Antwort enthält §2. Ebenso einfach ist die Frage nach alien distributiven Verbänden uber M zu beantworten. In beiden Fällen ist unter den Halbverbänden bzw. distributiven Verbänden über M einer dadurch ausgezeichnet, daß alle anderen homomorph zu ihm sind. Diesen ausgezeichneten Halbverband bzw. distributiven Verband nennen wir den freien Halbverband bzw. freien distributiven Verband über M.

Zu neuen Fragen kommt man bei der Untersuchung speziellerer Halbverbände über M. Es ist z.B. bekannt, daß M stets zu einem vollständigen Boole'schen Verband erweitert werden kann. Gibt es unter diesen Erweiterungen stets den freien vollständigen Boole'schen Verband über M, der dadurch ausgezeichnet ist, daß alle anderen zu ihm homomorph sind ?

In §3 wird zunächst die Existenz des freien orthokomplementären Halbverbandes über M bewiesen. Mit Hilfe der hier benutzten Methode läßt sich auch der Existenzbeweis für den freien abzählbar-vollständigen Boole'schen Verband über M führen.

Type
Research Article
Information
The Journal of Symbolic Logic , Volume 16 , Issue 2 , June 1951 , pp. 81 - 106
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1951

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References

1 Fitch, F. B., The consistency of the ramified “Principia,” in diesem Journal, Bd. 3 (1938), S. 140–149Google Scholar, und The hypothesis that infinite classes are similar, ebd., Bd. 4 (1939), S. 159–162Google Scholar.

2 D.h. a < b und b < c irapliziert a < c.

3 Wir setzen nicht a ≡ b → a = b voraus. Dadurch miissen die Begriffe unter (E) und (F) etwas anderes als üblich definiert werden.

4 D.h. a′ <′ b′ aquivalent a′ < b′.

5 M ist halbgeordnet durch die Relation a — b.

6 D.h. es gibt einen Halbverbandshomomorphismus.

7 D.h. es gibt einen Verbandshomomorphismus.

8 D.h. es gibt einen orthokomplementären Halbverbandshomomorphismus.

9 Wir haben deswegen von vornherein die Klammern weggelassen.

10 Nach unserer Vereinbarung über die Ersetzung von 1 ∧x durch x schließt (6) ein: . Die durch Strukturänderungen entstehenden Regeln sind—um abzukürzen—nicht explizit aufgeführt.

11 Diese Behauptungen schließen ein: .

12 Die Widerspruchsfreiheit bedeutet, daß keine Aussage gleichzeitig wahr und falsch ist, d.h. daß für keine Formel a gleichzeitig 1 < a und a < 0 gilt.

13 Ein abzählbar-vollständiger Boolescher Verband V heißt minimal über M, wenn V keine echte Untermenge V 0 enthält, für die gilt:

14 D.h. es gibt einen Verbandshomomorphismus ρ, für den gilt:

1.

2. Ist, für eine abzählbare Untermenge N, ρ ein Homomorphismus von N auf N′, so gilt ∧ N ρ ∧ N′ und ∨ N ρ ∨ N′.