¹ P(R,S) could be read: R and S satisfy the w. f. formula P (“erfüllen die Aussagefunktion P”). See Tarski, A., Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia philosophica, vol. 1 (1936), pp. 261–405.Google Scholar Several notions defined somewhat vaguely in §§2, 3, 4 can be expressed exactly with the help of the notions of satisfaction and of truth as defined by Tarski.

² Skolem, Th., Über einige Satzfunktionen in der Arithmetik. Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps-Akademi i Oslo, I. Mat.-naturv. kl. 1930, no. 7 (1931), p. 7Google Scholar: “Die eben bewiesenen Sätze werde ich jetzt anwenden um etwas Licht auf die Schwierigkeiten zu werfen, auf die man stösst, wenn man versuchen will, den Begriff der ganzen Zahl vollständig zu charakterisieren. Bekanntlich muss man hierzu u. a. das Prinzip der vollständigen Induktion benutzen, oder wenn man will das Wohlordnungsaxiom: In jeder Menge ganzer positiver Zahlen mit mindestens einem Elemente gibt es eine kleinste Zahl. Könnte man nun dem Begriff “Menge” einen absoluten Sinn beilegen, so wäre die Charakterisierung vollständig und früher hat man sich die Sache immer so vorgestellt. Seitdem man aber darüber klar geworden ist dass auch der Begriff “Menge” selbst einer Begründung—etwa einer aromatischen—nötig hat, und dass man dadurch zu einem allgemeinen Relativismus geführt wird, so lässt sich jene Auffassung nicht mehr aufrecht erhalten; die Möglichkeit einer vollständigen Charakterisierung der Zahlenreihe ist jedenfalls zweifelhaft.”

³ A weaker assumption of self-consistency of the system Λ* (see below) would be sufficient.

⁴ Skolem, Th., Über einige Grundlagenfragen der Mathematik, Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps-Ahademi i Oslo, I. Mat.-naturv. kl. 1929, no. 4 (1929), pp. 23–29.Google Scholar

⁵ In order to discuss the properties of sets, we denote by D₁ the set of all numbers 2 + ξ where ξ ε C and put for γ εD₁: R_r = E_n[c_n(r) = 2].

⁶ We use here several theorems concerning Borel sets. They can be found, e.g., in the monograph: Kuratowski, K., Topologie I, Monografje matematyczne, Warsaw 1933Google Scholar.

⁷ E_xy[…] denotes the set of (x, y) which satisfy the condition […].

⁸ Kuratowski, K., Fundamenta mathematicae, vol. 29 (1937), p. 99.Google Scholar

⁹ Use is made here of the axiom of choice.

¹⁰ See Kuratowski, K., Fundamenta mathematicae, vol. 29 (1937), p. 58.Google Scholar

¹¹ A sequence n₁, n₂ , n₃, … is defined as the set {φ(n₁, 1), φ(n₂, 2), φ(n₃, 3),…}.

¹² K. Kuratowski in the paper cited in footnote 10, page 55.

¹³ I.e., the set E_φ(m.n)[mTn] is not in M.