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Slice convergence: stabilité et optimisation dans les espaces nonréflexifs

Published online by Cambridge University Press:  15 October 2004

Khalid El Hajioui  and
Driss Mentagui
Khalid El Hajioui
Affiliation:
Laboratoire d'Analyse Convexe et Variationnelle, Systèmes Dynamiques et Processus Stochastiques, Département de   Mathématiques, Faculté des Sciences, Université Ibn Tofail, BP 133, Kénitra, Maroc; [email protected].; [email protected].
Driss Mentagui
Affiliation:
Laboratoire d'Analyse Convexe et Variationnelle, Systèmes Dynamiques et Processus Stochastiques, Département de   Mathématiques, Faculté des Sciences, Université Ibn Tofail, BP 133, Kénitra, Maroc; [email protected].; [email protected].
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Abstract

Il est démontré par Mentagui [ESAIM: COCV9 (2003) 297-315] que, dans le cas des espaces de Banach généraux, la convergenced'Attouch-Wets est stable par une classe d'opérations classiques del'analyse convexe, lorsque les limites des suites d'ensembles et defonctions satisfont certaines conditions de qualification naturelles. Cecitombe en défaut avec la slice convergence. Dans cet article, nousétablissons des conditions de qualification uniformes assurant lastabilité de la slice convergence et de la slice convergence duale par lesmêmes opérations, dont le rôle est fondamental en optimisationconvexe. Nous obtenons comme conséquences certains résultats clés destabilité de l'épi-convergence établis par Mc Linden et Bergstrom [Trans. Amer. Math. Soc.286 (1981) 127-142] en dimension finie. Comme application, nousprésentons un modèle de convergence et de stabilité recouvrant unelarge classe de problèmes en optimisation convexe et en théorie de ladualité. Les éléments clés dans notre démarche sont l'analysed'horizon, les notions de quasi-continuité et d'inf-locale compacité desfonctions convexes, puis la bicontinuité de la transformation deLegendre-Fenchel relativement à la slice convergence et la sliceconvergence duale.

Keywords

Fonction convexeopérateurlinéaireslice convergenceMosco-convergenceépi-convergenceconvergence uniforme sur les bornésinf-locale compacitéquasi-continuitécône (fonction) horizondualitéstabilitéoptimisation convexe.
Type
Research Article
Information
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations , Volume 10 , Issue 4 , October 2004 , pp. 505 - 525
Copyright
© EDP Sciences, SMAI, 2004

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References

H. Attouch, Variational convergence for functions and operators, Applicable Mathematics Series. Pitman, London (1984).
Attouch, H., Azé, D. and Wets, R.J.-B., Convergence of convex-concave saddle functions; continuity properties of the Legendre-Fenchel transform with applications to convex programming and mechanics. Ann. Inst. Henri Poincaré 5 (1988) 537-572.
Attouch, H. and Beer, G., On the convergence of subdifferentials of convex functions. Arch. Math. 60 (1993) 389-400. CrossRef
H. Attouch and H. Brezis, Duality for the sum of convex functions in general Banach spaces. Publications AVAMAC, Perpignan, 84-10. Av (1984).
H. Attouch and R.J.-B. Wets, Quantitative stability of variational systems: II. A framework for nonlinear conditionning. IIASA working paper (1988) 88-89.
Attouch, H. and R. J. -B. Wets, Quantitative stability of variational systems: I. The epigraphical distance. Trans. Amer. Math. Soc. 328 (1991) 695-729.
Azé, D. and Penot, J.-P., Operations on convergent families of sets and functions. Optimization 21 (1990) 521-534. CrossRef
B. Bank, J. Guddat, D. Klatte, B. Kummer and K. Tammer, Nonlinear parametric optimization. Akademie Verlag (1982).
G. Beer, Topologies on closed and closed convex sets and the Effros measurability of set valued functions, in Sém. d'Anal. Convexe, Montpellier (1991), exposé No. 2, 2.1-2.44.
Beer, G., The slice topology: A viable alternative to Mosco convergence in nonreflexive spaces. Nonlinear. Anal. Theo. Meth. Appl. 19 (1992) 271-290. CrossRef
Beer, G. and Borwein, J., Mosco convergence and reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 109 (1990) 427-436. CrossRef
Beer, G. and Lucchetti, R., Convex optimization and the epi-distance topology. Trans. Amer. Math. Soc. 327 (1991) 795-813. CrossRef
Beer, G. and Lucchetti, R., The epi-distance topology: Continuity and stability results with applications to convex optimization problems. Math. Oper. Res. 17 (1992) 715-726. CrossRef
G. Beer and R. Lucchetti, Weak topologies for the closed subsets of a metrizable space. Trans. Amer. Math. Soc. 335 (1993) 805-822.
N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques. Masson, Paris (1981).
H. Brezis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Masson, Paris (1983).
C. Castaing and M. Valadier, Convex analysis and measurable multifunctions. Lect. Notes Math. 580 (1977).
Dieudonné, J., Sur la séparation des ensembles convexes. Math. Annal. 163 (1966) 1-3. CrossRef
S. Dolecki, G. Salinetti and R.J.-B. Wets, Convergence of functions: equi-semicontinuity. Trans. Amer. Math. Soc. 276 (1983) 409-429. CrossRef
A.L. Dontchev and T. Zolezzi, Well-posed optimization problems. Lect. Notes Math. 1543 (1993).
I. Ekeland et R. Temam, Analyse convexe et problèmes variationnels. Dunod, Paris (1974).
K. El Hajioui, Convergences variationnelles: approximations inf-convolutives généralisées, stabilité et optimisation dans les espaces non réflexifs. Thèse de Doctorat, Université Ibn Tofail, Kénitra (2002).
K. El Hajioui et D. Mentagui, Sur la stabilité d'une convergence variationnelle dans les espaces de Banach généraux, en préparation.
Hadamard, J., Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Publ. Univ. Princeton 13 (1902) 49-52.
J. Hadamard, Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations. Dover (1953).
J.L. Joly, Une famille de topologies et de convergences sur l'ensemble des fonctionnelles convexes. Thèse Grenoble (1970).
G. Köthe, Topological vector spaces (I, II). Springer (1969, 1979).
J. Lahrache, Stabilité et convergences dans les espaces non réflexifs, in Sém. d'Anal. Convexe Montpellier, exposé No. 10 (1991).
P.J. Laurent, Approximation et optimisation. Hermann, Paris (1972).
Mclinden, L. and Bergstrom, R.C., Preservation of convergence of convex sets and functions in finite dimensions. Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1981) 127-142. CrossRef
D. Mentagui, Inf-convolution polaire, stabilité de l'épi-convergence et estimation de la rapidité de convergence d'une suite de compacts. Thèse Rabat (1988).
D. Mentagui, Problèmes d'optimisation biens posés et convergences variationnelles. Théorie et applications dans le cadre de l'optimisation non différentiable. Thèse d'État, F.U.N.D.P., Namur (1996).
Mentagui, D., Caractérisation de la stabilité d'un problème de minimisation associé à une fonction de perturbation particulière. Pub. Inst. Math. 60 (1996) 65-74.
Mentagui, D., Analyse de récession et résultats de stabilité d'une convergence variationnelle. Application à la théorie de la dualité en programmation mathématique. ESAIM: COCV 9 (2003) 297-315. CrossRef
D. Mentagui et K. El Hajioui, Convergences des fonctions convexes et approximations inf-convolutives généralisées. Publ. Inst. Math., Nouvelle série 86 (2002) 123-136.
J.J. Moreau, Fonctionnelles convexes. Sém. sur les E.D.P. collège de France, Paris (1967).
Mosco, U., Approximation of the solutions of some variational inequalities. Ann. Scuola Normale Sup. Pisa 21 (1967) 373-394.
Mosco, U., On the continuity of the Young-Fenchel transform. J. Math. Anal. Appl. 25 (1971) 518-535. CrossRef
R. Phelps, Convex functions, monotone operators and differentiability. Lect. Notes Math. 1364 (1989).
Radström, H., An imbedding theorem for spaces of convex sets. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952) 165-169. CrossRef
R.T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton Univ. Press (1970).
R.T. Rockafellar and R.J.-B. Wets, Variational analysis. Springer (1998).
Y. Sonntag and C. Zalinescu, Set convergences: An attempt of classification, in Proc. of Intl. Conf. on Diff. Equations and Control theory, Iasi, Romania, August (1990) 199-226.
Tikhonov, A.N., Stability of inverse problems. Dokl. Akad. Nauk. USSR 39 (1943) 176-179.
A.N. Tikhonov, Solution of incorrectly formulated problems and the regularization methods. Soviet Math. Dokl. 4 (1963) 1035-1038.
Tikhonov, A.N., Methods for the regularization of optimal control problems. Soviet Math. Dokl. 6 (1965) 761-763.
A.N. Tikhonov and V. Arsenine, Methods for solving ill-posed problems. Nauka (1986).
R.J.-B. Wets, A formula for the level sets of epi-limits and some applications, Mathematical theories of optimization, J.P. Cecconi and T. Zolezzi Eds., Lect. Notes Math. 983 (1983).
Wijsman, R.A., Convergence of sequences of convex sets, cones and functions. Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964) 186-188. CrossRef
Wijsman, R.A., Convergence of sequences of convex sets, cones and functions II. Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966) 32-45. CrossRef
Zolezzi, T., On stability in mathematical programming. Math. Programming 21 (1984) 227-242.
Zolezzi, T., Continuity of generalized gradients and multipliers under perturbations. Math. Oper. Res. 10 (1985) 664-673. CrossRef
Zolezzi, T., Stability analysis in optimization. Lect. Notes Math. 1990 (1986) 397-419. CrossRef