2 Une famille d’opérateurs en dimension finie

On désigne par $\Omega $ l’ensemble des triplets $\omega =(p,q,\alpha )$ où $(p,q)\in \mathbb {N}^{*2}$ et $\alpha \in [1,+\infty [$ .

Pour tout $\omega $ de $\Omega $ , on note n l’entier et $\beta $ le réel appartenant à $]0,1]$ définis par

$$ \begin{align*} n=p+q \end{align*} $$

et

$$ \begin{align*} \alpha^{p}\ \beta^{q}=1. \end{align*} $$

Pour tout $\omega $ de $\Omega $ , on désigne par $\gamma =\gamma (\omega )$ le n-uplet $(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})=(\gamma _{1}(\omega ),\gamma _{2}(\omega ), \ldots ,\gamma _{n}(\omega ))$ défini par

$$ \begin{align*} \gamma_{j} = \bigg\{\!\! \begin{array}{ll} \alpha&(1\le j\le p),\\ \beta&(p+1\le j \le n). \end{array} \end{align*} $$

On désigne par $(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})$ la base canonique de ${\mathbb {C}}^{n}$ .

Les opérateurs que nous étudions dans ce chapitre sont les endomorphismes $v=v_{\omega }$ de ${\mathbb {C}}^{n}$ définis par

$$ \begin{align*} v(e_{j})=\gamma_{j}\ e_{j+1} \quad (1\le j\le n) \end{align*} $$

avec la convention $e_{n+j}=e_{j}$ . On convient également que $\gamma _{n+j}=\gamma _{j}$ .

Lemme 2.1. Soit $\omega \in \Omega $ .

On a pour tous j et k vérifiant $1\le j\le n-1$ et $1\le k\le n$

$$ \begin{align*} \gamma_{k}\gamma_{k+1}\cdots \gamma_{k+j-1} \le \gamma_{1}\gamma_{2}\cdots \gamma_{j}. \end{align*} $$

Démonstration. On a

(2.1) $$ \begin{align} \gamma_{1}\ge \gamma_{2}\ge \cdots\ge \gamma_{n}. \end{align} $$

L’inégalité demandée est donc immédiate si $k+j-1\le n$ . Si $k+j-1>n$ , on a d’après (2.1)

$$ \begin{align*} \gamma_{\ell} \le \gamma_{\ell-(n-j)}\quad \mathrm{pour}\ k\le \ell\le n. \end{align*} $$

D’où

$$ \begin{align*} \gamma_{k}\gamma_{k+1}\cdots \gamma_{k+j-1} &=(\gamma_{k}\gamma_{k+1}\cdots \gamma_{n})(\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{k+j-1-n})\\[3pt] &\le (\gamma_{k-n+j}\gamma_{k-n+j+1} \cdots\gamma_{j})(\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{k+j-1-n})\\[3pt] &=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{j}.\\[-34pt] \end{align*} $$

Soit $\omega =(p,q,\alpha ) \in \Omega $ et $t>0$ . On note $\omega ^{2}=(p,q,\alpha ^{2})$ et

$$ \begin{align*} S(\omega,t)=t^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \frac{\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots \gamma_{j}}{t^{j}}. \end{align*} $$

Pour $\lambda \in {\mathbb {C}}$ , on note $\rho =|\lambda |$ .

Si $\lambda \not = 0$ , on note également pour $v=v_{\omega }$ ,

$$ \begin{align*} \psi_{\lambda}(v) = \lambda^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1} \bigg(\frac{v}{\lambda}\bigg)^{j}. \end{align*} $$

On munit de plus ${\mathbb {C}}^{n}$ de sa structure usuelle d’espace hermitien qui fait de la base $(e_{j})_{1 \le j\le n}$ une base orthonormale.

(2.2) $$ \begin{align} le\ polyn\hat{o}me\ minimal\ de\ v\ est\ X^{n}-1,\end{align} $$

(2.3) $$ \begin{align} (v-\lambda {\kern2pt}{\rm id})\psi_{\lambda}(v) = (1-\lambda^{n}){\rm id},\end{align} $$

(2.4) $$ \begin{align} \|v^{j}\| = \|v^{j}(e_{1})\| = \gamma_{1}\gamma_{2}\cdots \gamma_{j},\end{align} $$

(2.5) $$ \begin{align} \|\psi_{\lambda}(v)\| \le S(\omega,\rho),\end{align} $$

(2.6) $$ \begin{align} \|\psi_{\lambda}(v)(e_{1})\|^{2} = S(\omega^{2},\rho^{2}). \end{align} $$

Démonstration. On a $\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}=1$ . On en déduit que $v$ permute circulairement les vecteurs de la base $(e_{1},\gamma _{1}e_{2}, \gamma _{1}\gamma _{2}e_{3},\ldots , \gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n-1}e_{n})$ de ${\mathbb {C}}^{n}$ . D’où (2.2).

On a

$$ \begin{align*} v\psi_{\lambda}(v)=\lambda^{n} \sum_{j=1}^{n}(v/\lambda)^{j} = \lambda\psi_{\lambda}(v)+v^{n} -\lambda^{n} {\rm id} = \lambda\psi_{\lambda}(v)+(1-\lambda^{n}){\rm id} \end{align*} $$

d’après (2.2). Cela entraîne (2.3).

On a $\|v^{j}e_{1}\| = \gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{j}$ , d’où $\|v^{j}\| \ge \gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{j}$ . Par ailleurs on a

$$ \begin{align*} \bigg\|v^{j}\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_{k}e_{k}\bigg)\bigg\|^{2} &=\bigg\|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_{k} \gamma_{k}\gamma_{k+1}\cdots \gamma_{k+j-1}e_{k+j}\bigg\|^{2}\\ &= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\gamma_{k}\gamma_{k+1} \cdots \gamma_{k+j-1} |x_{k}|)^{2} \le (\gamma_{1}\gamma_{2} \cdots \gamma_{j})^{2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{2} \end{align*} $$

d’après le lemme 2.1 On a donc aussi $\|v^{j}\| \le \gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{j}$ , ce qui permet d’achever la preuve de (2.4).

En utilisant (2.4), on a

$$ \begin{align*} \|\psi_{\lambda}(v)\|\le \rho^{n-1} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \|v^{j}\|/\rho^{j} = \rho^{n-1} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \frac{\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{j}}{\rho^{j}} = S(\omega,\rho). \end{align*} $$

ce qui montre (2.5). Enfin la formule (2.6) est immédiate.

3 Endomorphismes de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ et opérateurs de $\ell ^{2}(\mathbb {N}^{*})$ , diagonaux par blocs

On pose $\ell ^{2}:=\ell ^{2}(\mathbb {N}^{*})$ et on note $(\delta _{r})_{r\ge 1}$ sa base orthonormale canonique définie par

$$ \begin{align*} \delta_{r}(j) = \bigg\{\!\! \begin{array}{rl} 1 &\mathrm{si}\ j=r,\\ 0 &\mathrm{si}\ j\not= r. \end{array} \end{align*} $$

Pour alléger les notations, on écrit $\ll k\gg $ à la place de $\ll k\ge 1\gg $ . On choisit une suite $n(1),n(2),\ldots $ d’entiers de $\mathbb {N}^{*}$ et on définit $s(1)$ , $s(2),\ldots $ par les formules

(3.1) $$ \begin{align} s(1)=1 \end{align} $$

et pour tout k

(3.2) $$ \begin{align} s(k+1)-s(k)=n(k). \end{align} $$

On note

(3.3) $$ \begin{align} E_{k} = {\rm Vect}\{\delta_{r} :s(k) \le r<s (k+1)\}. \end{align} $$

On choisit pour tout k un endomorphisme $v_{k}$ de $E_{k}$ . En écrivant un vecteur générique y de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ sous la forme

$$ \begin{align*} y= \sum_{k} y_{k} \end{align*} $$

avec $y_{k}\in E_{k}$ , on définit un endomorphisme $v$ de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ par la formule

$$ \begin{align*} v(y) = \sum_{k} v_{k}(y_{k}). \end{align*} $$

On dira que $v$ est l’endomorphisme diagonal par blocs de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ défini par les endomorphismes $v_{k}$ .

Dans le cas où $v(\ell ^{2}) \subset \ell ^{2}$ , on note $u=v_{|\ell ^{2}}$ la restriction de $v$ à $\ell ^{2}$ , à la fois pour l’espace de départ et l’espace d’arrivée. On verra alors que $u$ est automatiquement continu. On dira que $u$ est l’opérateur diagonal par blocs de $\ell ^{2}$ défini par les endomorphismes $v_{k}$ .

Le lemme suivant précise tout cela. Il généralise le cas des opérateurs diagonaux traité dans l’excellent livre [Reference Halmos4] de Halmos sur les Hilbert, aux problèmes 61 et 62.

Démonstration. (i) $\Rightarrow $ (ii) On raisonne par l’absurde; on suppose donc que $\sup \nolimits _{k} \|v_{k}\|=+\infty $ .

On extrait une sous-suite $k_{n}$ pour laquelle $\|v_{k_{n}}\|\ge n$ pour tout n. En choisissant y avec $\|y_{k}\|=1/n$ et $\|v_{k}(y_{k})\| =\|v_{k}\|\cdot \|y_{k}\|$ quand $k=k_{n}$ , et $y_{k}=0$ sinon, on voit que $y\in \ell ^{2}$ et $v(y)\notin \ell ^{2}$ . Donc $v(\ell ^{2})\not \subset \ell ^{2}$ .

(ii) $\Rightarrow $ [(i) et (iii)] Soit $y\in \ell ^{2}$ . On a

$$ \begin{align*} \sum_{k} \|v(y_{k})\|^{2} \le \sum_{k} \|v_{k}\|^{2} \cdot \|y_{k}\|^{2} \le \sup_{k} \|v_{k}\|^{2} \cdot \|y\|^{2}. \end{align*} $$

Donc avec (ii), $v(\ell ^{2}) \subset \ell ^{2}$ , $u=v_{|\ell ^{2}}$ est continu et

$$ \begin{align*} \|u\| \le \sup_{k} \|v_{k}\|. \end{align*} $$

Par ailleurs, en considérant, pour chaque k, un vecteur $y_{k}$ de $E_{k}$ qui vérifie $\|y_{k}\| =1$ et $\|v_{k}(y_{k})\|=\|v_{k}\|$ , on a

$$ \begin{align*} \|u\| \ge \sup_{k} \|v_{k} (y_{k})\| = \sup_{k} \|v_{k}\|. \\[-42pt] \end{align*} $$

Dans les deux lemmes suivants on suppose vérifiée la condition (ii) du lemme 3.1. La condition (i) est donc vérifiée et la lettre $u$ désignera implicitement l’opérateur diagonal par blocs $u=v_{|\ell ^{2}}$ .

Lemme 3.2. Soit $v$ un endomorphisme diagonal par blocs de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ défini par des endomorphismes $v_{k}$ , tel que

$$ \begin{align*} \sup_{k} \|v_{k}\| <+\infty. \end{align*} $$

Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. (i) $u$ est inversible;

2. (ii) pour tout k, $v_{k}$ est inversible, et

   $$ \begin{align*} \sup_{k} \|v_{k}^{-1}\| <+\infty. \end{align*} $$
   Quand ces conditions sont réalisées, on a aussi

3. (iii) $\|u^{-1}\| = \sup _{k} \|v_{k}^{-1}\|$ .

Démonstration. (i) $\Rightarrow $ [(ii) et (iii)] Supposons (i). On a alors pour tout k

$$ \begin{align*} \ker v_{k} \subset \bigg(\prod_{j\ge 1} \ker v_{j}\bigg) \cap \ell^{2} = (\ker v) \cap \ell^{2} = \ker u=\{0\}. \end{align*} $$

Donc $v_{k}$ est inversible. On en déduit que $v$ est inversible et

(3.4) $$ \begin{align} v^{-1} = (v_{k}^{-1})_{k}. \end{align} $$

Soit maintenant $y\in \ell ^{2}$ . Notons $x=u^{-1}(y)$ . On a $v^{-1}(y) =v^{-1}(u(x)) =x\in \ell ^{2}$ . Donc $v^{-1}(\ell ^{2})\subset {\ell }^{2}$ et ${v^{-1}}_{|\ell ^{2}}={(v_{|\ell ^{2}})}^{-1}$ . En appliquant le lemme 3.1 à $v^{-1}$ , on a donc avec (3.4) que $\sup \nolimits _{k} \|{v_{k}}^{-1}\| <+\infty $ , ${v^{-1}}_{|\ell ^{2}}$ est continu et

$$ \begin{align*} \|u^{-1}\| = \|v^{-1}{}_{|\ell^{2}}\| = \sup_{k} \|v_{k}^{-1}\|. \end{align*} $$

(ii) $\Rightarrow $ (i) Supposons (ii). On a alors $v$ inversible et (3.4) est vérifié. En appliquant le lemme 3.1 à $v$ , on a $v(\ell ^{2}) \subset \ell ^{2}$ et $u$ est continu. En l’appliquant cette fois à $v^{-1}$ , on a $v^{-1}(\ell ^{2}) \subset \ell ^{2}$ et $u^{-1}$ est continu. Il découle de tout cela que $u$ est inversible d’inverse $v^{-1}{}_{|\ell ^{2}}$ .

On déduit immédiatement du lemme 3.2 le critère suivant d’appartenance au spectre.

Lemme 3.3. Soit $v$ un endomorphisme diagonal par blocs de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ défini par des endomorphismes $v_{k}$ , tel que

$$ \begin{align*} \sup_{k} \|v_{k}\| <+\infty. \end{align*} $$

Soit $\lambda \in {\mathbb {C}}$ .

Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. (i) $\lambda \in \sigma (u)$ ;

2. (ii) $ \left\{ \begin {array}{ll} \lambda \in \bigcup \limits _{k} \sigma (v_{k})\\ ou\\ \lambda \notin \bigcup \limits _{k} \sigma (v_{k})\ et\ \sup \limits _{k} \|(v_{k}-\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| =+\infty. \end {array}\right. $

Remarque 1. Dans le cas particulier des opérateurs diagonaux, le critère (ii) s’écrit de manière plus simple

$$ \begin{align*} \lambda\in \overline{\bigcup_{k} \sigma(v_{k})} \end{align*} $$

(voir le problème 63 de [Reference Halmos4]).

Remarque 2. Lorsque $v$ n’est pas pas inversible, écrivons par convention $\|v^{-1}\|=+\infty $ . On peut alors écrire (ii) sous la forme plus concise,

1. (ii)’ $ \sup _{k} \|(v_{k} -\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| = +\infty. $

4 Une famille d’opérateurs diagonaux par blocs

On se donne une suite $\omega =(\omega (k))_{k\ge 3}=(\omega _{p(k),q(k),\alpha (k)})_{k\ge 3}$ d’éléments de l’ensemble $\Omega $ du chapitre 2. On pose $n(1)=n(2)=1$ et $n(k)=p(k)+q(k)$ pour $k\ge 3$ . On définit les sous-espaces $E_{k}$ pour $k\ge 1$ par (3.1), (3.2) et (3.3).

Pour tout $k\ge 3$ , on identifie ${\mathbb {C}}^{n(k)}$ à $E_{k}$ en envoyant la base canonique $(e_{1},e_{2},\ldots , e_{n(k)})$ de ${\mathbb {C}}^{n(k)}$ sur la base $(\delta _{s(k)},\delta _{s(k)+1},\ldots ,\delta _{s(k+1)-1})$ de $E_{k}$ . On définit alors l’endomorphisme diagonal par blocs $v$ de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ par $v_{1}={\rm id}_{|E_{1}}$ , $v_{2}={\rm id}_{|E_{2}}$ et $v_{k}=v_{\omega (k)}$ pour tout $k\ge 3$ . On dit que $v$ est associé à $\omega $ .

Démonstration. Cela découle de la combinaison du lemme 3.1 avec le point (2.4) du lemme 2.2 avec $j=1$ .

Notations. Dans les chapitres 5 et 6 qui suivent, une fois donnée une telle suite $\omega $ d’éléments de $\Omega $ , on continuera à désigner par $v$ l’endomorphisme diagonal par blocs de ${\mathbb {C}}^{\mathbb {N}^{*}}$ associé à $\omega $ , et par $u$ l’opérateur diagonal par blocs de $\ell ^{2}$ défini par $u=v_{|\ell ^{2}}$ .

5 Spectre

Lemme 5.1. Soit $\omega =(\omega (k))_{k\ge 3}=(\omega _{p(k),q(k),\alpha (k)})_{k\ge 3}$ une suite d’éléments de $\Omega $ telle que

(5.1) $$ \begin{align} \mathit{la\ suite\ }n(k)\ \textrm{n'est pas born}\acute{\mathrm{e}}\textrm{e} \end{align} $$

et

(5.2) $$ \begin{align} \lim_{k\rightarrow +\infty} \alpha(k) =1. \end{align} $$

Alors

$$ \begin{align*} \sigma(u) =\{\lambda \in {\mathbb{C}} : r \le |\lambda| \le 1\} \end{align*} $$

où

$$ \begin{align*} r=\sup \{s\in [0,1] : \mathit{la\ suite\ } (\alpha(k)^{p(k)} s^{q(k)})_{k\ge3}\ \textrm{est born}\acute{\mathrm{e}}\textrm{e}\}. \end{align*} $$

Dans la suite de cet article et en particulier pour la preuve de ce lemme, on utilise les notations suivantes. Soient f et g deux fonctions définies sur une partie D de $\mathbb {R}^{d}$ à valeurs dans $\mathbb {R}^{+*}$ . On note $f\ll g$ (respectivement $f\gg g$ ) pour signifier qu’il existe un réel positif K tel que pour tout élément x de D, on a $f(x)\le Kg(x) (\mathrm {respectivement} f(x) \ge Kg(x))$ . Si K dépend d’un paramètre $\eta $ , c’est-à-dire est une fonction de $\eta $ , on écrira par exemple $f\ll _{\eta } g$ à la place de $f\ll g$ .

Démonstration. C’est la combinaison du lemme 4.1 avec l’hypothèse (5.2), qui assure que $u$ est bien défini et continu.

D’après le point (2.2) du lemme 2.2, on a

(5.3) $$ \begin{align} \bigcup_{k\ge1} \sigma(v_{k}) = \bigcup_{k\ge1} \{z\in {\mathbb{C}} : z^{n(k)}=1\}. \end{align} $$

Soit $\lambda \in {\mathbb {C}}$ . On va maintenant discuter suivant les propriétés conjointes de $\rho :=|\lambda |$ et de la suite $(\omega (k))_{k\ge 3} = (p(k),q(k),\alpha (k))_{k\ge 3}$ .

1 $^{\mathrm {er}}$ cas. $\rho>1$ . En utilisant successivement les formules (2.3) et (2.4) du lemme 2.2, et l’hypothèse (5.2), on a

$$ \begin{align*} \|(v_{k}-\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| &= \dfrac{\|\psi_{\lambda}(v_{k})\|}{|1-\lambda^{n(k)}|} \ll_{\rho}\displaystyle \sum_{j=0}^{n(k)-1} \frac{\|v_{k}^{j}\|}{\rho^{j}} \\ &=\displaystyle\sum_{j=0}^{n(k)-1} \frac{\gamma_{1}(\omega(k))\gamma_{2}(\omega(k))\cdots\gamma_{j}(\omega(k))}{\rho^{j}} &\le \displaystyle\sum_{j=0}^{n(k)-1}\bigg(\dfrac{\alpha(k)}{\rho}\bigg)^{j} \ll_{\rho}\ 1. \end{align*} $$

En utilisant (5.3) et le lemme 3.3, on en déduit que

(5.4) $$ \begin{align} \textrm{le rayon spectral de }u \ \textrm{est}\ \acute{\mathrm{e}}\textrm{gal}\ \grave{\mathrm{a}}\ \textrm{un.} \end{align} $$

Pour les 2 $^{\grave{\mathrm{e}}\textrm {me}}$ et 3 $^{\grave{\mathrm{e}}\textrm {me}}$ cas, on note

$$ \begin{align*} \tilde{r} = \sup\{s\in [0,1] : \mathrm{la\ suite\ } \alpha(k)^{p(k)}s^{q(k)}\textrm{ est born}\acute{\mathrm{e}}\textrm{e}\}. \end{align*} $$

2 $^{\textrm{i}\grave{{e}}{me}}$  cas. $0<\rho <1$ et la suite $\alpha (k)^{p(k)}\rho ^{q(k)}$ n’est pas bornée. En utilisant successivement les formules (2.3) et (2.6) du lemme 2.2 on a

$$ \begin{align*} \|(v_{k}-\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| &\gg_{\rho} \|\psi_{\lambda}(v_{k})\| \ge \|\psi_{\lambda}(v_{k})(e_{1})\|\\[3pt] &= S^{1/2}(\omega(k)^{2},\rho^{2})\ge \alpha(k)^{p(k)} \rho^{q(k)-1}. \end{align*} $$

Donc $\sup \nolimits _{k\ge 1}\|(v_{k}-\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| =+\infty $ .

Avec le lemme 3.3, on en déduit que

(5.5) $$ \begin{align} \tilde{r} < |\lambda| <1 \Longrightarrow \lambda \in \sigma(u). \end{align} $$

3 $^{\grave{{e}}{me}}$  cas. Pour un certain réel $\gamma $ , on a $0\le \rho <\gamma <1$ et la suite $\alpha (k)^{p(k)}\gamma ^{q(k)}$ est bornée. Si $\rho =0$ , on a en utilisant successivement les formules (2.2) et (2.4) du lemme 2.2,

$$ \begin{align*} \|v_{k}^{-1}\| = \|v_{k}^{n(k)-1}\| &= \gamma_{1}(\omega(k))\gamma_{2}(\omega(k)) \cdots \gamma_{n(k)-1}(\omega(k))\\[3pt] &= 1/\beta(k) = \alpha(k)^{p(k)/q(k)}\\[3pt] &= \dfrac{1}{\gamma} (\alpha(k)^{p(k)} \gamma^{q(k)})^{1/q(k)} \ll_{\gamma} 1. \end{align*} $$

Si maintenant $\rho \not = 0$ , il existe un grand $M>1$ et un petit $\delta>0$ tels que si

(5.6) $$ \begin{align} q(k)\ge M \end{align} $$

alors

(5.7) $$ \begin{align} \rho /\beta(k) = (\alpha(k)^{p(k)}\gamma^{q(k)})^{1/q(k)} \rho/\gamma < 1-\delta. \end{align} $$

En utilisant successivement les formules (2.3) et (2.5) du lemme 2.2 on a

$$ \begin{align*} \|(v_{k} -\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| &\ll_{\rho} \|\psi_{\lambda}(v_{k})\| \le S(\omega_{k},\rho)\\ &\ll_{\rho} Q:= \alpha(k)^{p(k)}\rho^{q(k)} \displaystyle \sum_{j=0}^{q(k)-1}(\beta(k)/\rho)^{j}. \end{align*} $$

On a de plus $Q\ll _{\rho } 1$ . En effet pour les k tels que l’on a (5.6), cela résulte de (5.7). Et quand (5.6) n’est pas vérifiée, la somme dans Q est bornée, ainsi que la suite $\alpha (k)^{p(k)}\rho ^{q(k)}$ .

On déduit de tout cela que si $0\le \rho <\tilde {r}$ , alors $\|(v_{k}-\lambda {\kern2pt}{\rm id})^{-1}\| \ll _{\rho }\, 1$ . En combinant avec (5.3) et le lemme 3.3, on obtient que

(5.8) $$ \begin{align} 0\le |\lambda| <\tilde{r} \Rightarrow \lambda\notin \sigma(u). \end{align} $$

Par ailleurs on a $\sigma (v_{k}) \subset \sigma (u)$ pour tout $k\ge 1$ . D’où avec (5.3)

(5.9) $$ \begin{align} \bigcup_{k\ge 1} \{z \in {\mathbb{C}} : z^{n(k)}= 1\} \subset \sigma(u). \end{align} $$

On conclut la preuve du lemme 5.1, en utilisant l’hypothèse (5.1) et les propriétés du spectre $\sigma (u)$ que sont sa compacité, (5.4), (5.5), (5.8) et (5.9).

6 Rigidité

Démonstration. C’est la combinaison du lemme 4.1 avec la décroissance de $\alpha (k)$ , qui assure que $u$ est bien défini et continu.

Soit $y\in \ell ^{2}$ . On a en utilisant successivement les formules (2.2) et (2.4) du lemme 2.2, l’hypothèse sur $p(k)$ et les deux hypothèses sur $\alpha (k)$ ,

$$ \begin{align*} \|(u^{\ell!}-{\rm id})y\|^{2} &= \displaystyle\sum_{k\ge \ell+1} \|(v_{k}^{\ell!}-{\rm id})y_{k}\|^{2}\\ &\le \displaystyle\sum_{k\ge \ell+1} \|v_{k}^{\ell!}-{\rm id}\|^{2} \|y_{k}\|^{2} \le 4 \displaystyle\sum_{k\ge \ell+1} \|v_{k}^{\ell!}\|^{2}\ \|y_{k}\|^{2}\\ &=4 \displaystyle\sum_{k\ge \ell+1} (\alpha(k))^{2\ell!} \|y_{k}\|^{2} \le 4 (\alpha(\ell+1))^{2\ell!} \displaystyle\sum_{k\ge \ell+1} \|y_{k}\|^{2}\\ &\ll\displaystyle\sum_{k\ge \ell+1} \|y_{k}\|^{2}. \end{align*} $$

On a donc $\lim \nolimits _{\ell \rightarrow +\infty } u^{\ell !}y=y$ .

7 Preuve du théorème

Pour tout $r\in [0,1]$ , on choisit l’opérateur par blocs $u=v_{|\ell ^{2}}$ où $v$ est associé à

$$ \begin{align*} \omega=(\omega_{p(k),q(k),\alpha(k)})_{k\ge 3}\ \mathrm{avec}\ p(k) +q(k)=k! \end{align*} $$

et

$$ \begin{align*} (q(k),\alpha(k)) = \left\{ \begin{array}{ll} \bigg(k,1+\dfrac{\log(1/r)}{(k-1)!}\bigg) &\mathrm{si} \ 0<r\le 1,\\\\[-5pt] \bigg(1,1+\dfrac{1}{(k-1)!}\bigg) &\mathrm{si}\ r=0. \end{array} \right. \end{align*} $$

C’est en combinant les lemmes 5.1 et 6.1 que l’on vérifie que ce choix permet d’établir le théorème.

A Annexe

On utilisera pour cette annexe la notation

$$ \begin{align*} \overline{D(z_{0},r)} = \{z\in {\mathbb{C}} : |z -z_{0}| \le r\}. \end{align*} $$

A.1 Preuve alternative de la Proposition CMP

Soit $u$ un opérateur d’un Banach et $n\ge 1$ tels que

(A.1) $$ \begin{align} \|u^{n} -{\rm id}\| \le 1/2. \end{align} $$

On a alors

$$ \begin{align*} \sigma(u^{n}-{\rm id}) \subset \overline{D(0,1/2)} \end{align*} $$

d’où

$$ \begin{align*} \sigma(u^{n}) \subset \overline{D(1,1/2)} \subset \{z \in {\mathbb{C}} : 1/2 \le |z| \le 3/2\} \end{align*} $$

et

(A.2) $$ \begin{align} \sigma (u) \subset \{z \in {\mathbb{C}} : (1/2)^{1/n} \le |z| \le (3/2)^{1/n}\}. \end{align} $$

Maintenant si $u$ est uniformément rigide, il existe des entiers n arbitrairement grands vérifiant (A.1) et donc aussi (A.2). On en déduit que $\sigma (u) \subset {\mathbb {U}}$ .

A.2 Rayon spectral d’un opérateur rigide

Il résulte immédiatement d’un résultat de Müller de 1986 (voir theorem de [Reference Müller5]) que l’on a l’énoncé suivant.

Théorème M. Le rayon spectral d’un opérateur rigide est inférieur ou égal à un.

Preuve alternative du théorème M. Soit $u$ un opérateur rigide d’un Banach de suite de rigidité $(n_{k})_{k\ge 1}$ . Alors pour tout élément x de E, la suite de vecteurs $(u^{n_{k}}x)_{k\ge 1}$ est bornée. D’après le théorème de Banach and Steinhaus, il existe un réel positif M tel que pour tout $k\ge 1$ ,

$$ \begin{align*} \|u^{n_{k}}\| \le M. \end{align*} $$

On procède alors comme dans § A.1: on en déduit d’abord que pour tout $k\ge 1$ ,

$$ \begin{align*} \sigma(u^{n_{k}}) \subset \overline{D(0,M)}, \end{align*} $$

puis

$$ \begin{align*} \sigma(u) \subset \overline{D(0,M^{1/n_{k}})}. \end{align*} $$

On conclut en faisant tendre k vers $+\infty $ .