¹ Turin, 1894, § 38, p. 45.

² Formulaire de Mathématiques, Paris, 1901, pp. 39 sq.

³ Sur ce point J. Vuillemin, Leçons sitr la première philosophic de Russell, Colin, Paris, 1968, p. 176.

⁴ Formulaire, Paris, 1901, p. 70.

⁵ Principles, chap. XI. § 110, pp. 114–115.

⁶ Principles of Mathematics, chap. XXVI. § 210 (2e éd., p 220). §216, p. 226; Logic of Relations (in Logic and Knowledge, éd. by R.C. Marsh, London, 1956, pp. 10–12). Ce principe est dans les P.M. exprimé dans la proposition:

* 72.66: S²⊂ S. S ≠ S. ≡ (Ξ R). R ∈ Cls → l. S ≠ RI R.

⁷ J'utilise le mot «définitions créatrices» faute de mieux. Ces définitions ne sont telles que lorsqu'on les caractérise par le vocabulaire qu'elles utilisent. Mais. selon le réaliste, ce n'est pas notre esprit qui crée les nouveaux objets qu'il définit: il voit seulement ce qui préexiste à sa vue. On notera qu'il existe une classe importante de définitions, les définitions par induction, qui n'entre pas dans cette trichotomie, encore que. lorsqu'on accepte les définitions créatrices, elles se trouvent, comme Russell l'a fait remarquer à Poincaré, remplacées par ces dernières. Considérées comme irréductibles, elles caractérisent l'une des formes de l'intuitionisme mathématique.

⁸ St. Thomas, Summa theologica, Quaest, 85, Art. 2: «Non ergo voces significant ipsas species intelligibiles, sed ea quae intellectus format sibi ad judicandum de rebus exterioribus».

Naturellement, bien que la contextualité soit un trait conceptualiste, une définition contextuelle ne peut être interpreted comme conceptualiste que si les individus desquels la forme universelle ne saurait être détachée sont des individus concrets, j'entends donnés dans l'espace et le temps. Si ces individus sont des ensembles, comme il arrive dans la definition par abstraction du nombre, la contextualité reste incapable, à elle seule, de faire l'économie du réalisme (voir note 14).

⁹ = _Df (m) (n) ma = nb. =.me nd,

ou m et n sont des entiers naturels quelconques. Cette définition, comme on e l voit dans le texte des Analytiques postérieurs, rend raison de l'interversion des moyens (Si = , alors = ), alors que, lorsqu'on conçoit ce rapport isolément, il se peut que l'interversion devienne impossible (Si est le rapport entre le côte d'un carré et le côté de ce même carré réduit à son quart, sera le rapport des deux diagonales correspondantes; mais on ne pourra intervertir les moyens). Cette définition remonte à Eudoxe. Théodore et Théétète avaient donne du «rapport irrationnel» une définition réaliste mais en utilisant un développement infini en fraction continue.

¹⁰ Principles, chap. XIX, XXVI, L–LII, XXIX; L'idée d'ordre et la position absolue dans 1'espace et le temps, Bibliothèque du Congrès de Philosophic 1901. Paris, Colin, III, pp. 241–277.

¹¹ Ross, W.D., Aristotle's Metaphysics, Oxford, Clarendon Press, 2e ed., 1948, I, p. XLIIIGoogle Scholar.

¹² Weyl, H., Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, 1949, p. 12Google Scholar; Carnap, Aujbau der Wett, §§37 et 40, Logische Syntax der Sprache 38; Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, 1928, p. 58.

¹³ Introduction à la philosophie mathématiqtie.

¹⁴ From a logical Point of View, p. 13. Ce même critère a été exprimé, indépendamment, par Bernays.

¹⁵ Métuphysique, 2, 13.

¹⁶ Voir, par exemple, Principles, chap. XXVI; Problems of Philosophy, p. 90, pp. 94–95.

¹⁷ Voir aussi Russell's Ontological Development, The Journal of Philosophy, vol. LXIII, no. 21, nov. 1966, p. 662.

¹⁸ Russell, Order, Mind, X, 1901, p. 30.

¹⁹ The Problems of Philosophy, pp. 95–96. On pourrait montrer à l'¸uvre cette these chez Quine; par exemple dans Word and Object: la notion de stimulation est introduite (p. 34) comme un Universel — non comme un particulier daté, mais comme une forme événementielle répétable; en conséquence, le stimulus-signification revient à une disposition pour un sujet à donner son assentiment ou son dissentiment a un énoncé en réponse à une stimulation présente. Or l'analyse des conditionnels «forts» dans les dispositions (pp. 224–225) se fait en introduisant dans la théorie un prédicat Mxy interprété comme signifiant «x et y ont une structure moléculaire semblable (alike)» ou, dans notre cas (p. 223): «x et y sont des conditions nerveuses semblables, induites par l'apprentissage, qui disposent le sujet à donner son assentiment ou son dissentiment à un certain énoncé en réponse à certaines stimulations données». Ainsi l'énoncé: «x est stimulus-synonyme avec y» serait paraphrasé par Mxy, oû figure l'universel de ressemblance. II en va de même, dit Quine, pp. 223–224, pour tous les prédicats tels que «rouge», en sorte qu'on peut accepter la paraphrase: x est rouge → (;y) (Mxy et y reflète sélectivement un certain domaine de basses fréquences) oû Mxy est interprété: «x et y ont des structures moléculaires semblables».

²⁰ Russell, Principles of Mathematics, § 159, 2e éd., pp. 170–171.

²¹ Russell, op. cit.. § 207, p. 217.

²² Russell, op. cit., chap XXVI.

²³ Quine, On ordered pairs and relations, in Selected Logic Papers, Rawdon. N. York, 1966, pp. 110–113. Cette définition est analogue à celle de Wiener, à la différence près des types.

²⁴ La doctrine d'Aristote et la scolastique ont, en rapport avec la théorie de la «matière intelligible» et du problème de l'individuation, insisté sur ce fait qu'un universel reste un universel même si, de par sa définition, il n'est réalisé qu'en un seul exemplaire, lequel joue par rapport à lui le rôle d'un particulier.

²⁵ Un objet quelconque a s'identifie à la paire ordonnée (z(θz € a); z(θz Uø€a))

²⁶ Quine, op. cit., p. 112.

²⁷ Dans Métaphysique A, 9, 990b 16 Aristote dit précisément que les arguments platoniciens conduisent à poser des idées des relations, qui, à son avis, ne forment pas une classe indépendante dans la nature. Comme le note Ross (op. cit.. t.l, p. 194) l'argument du Phédon conduit à poser l'idée de 1'égal, qui s'applique, pour la longueur, à des lits, à des hommes, à des arbres, et qui vient done couper la classification naturelle. II y a évidemment conflit entre l'ontologie exigée par les mathématiques et l'ontologie suggérée par cette classification.

²⁸ À certains égards, l'opposition de deux sortes d'engagements ontologiques correspond, à l'intérieur des mathématiques elles-mêmes à l'opposition que Kant établit entre deux sortes de jugement synthétique a priori, les jugements «mathematiques» et les jugements «dynamiques», le mot «analytique» étant réservé aux propositions du Calcul des propositions et du Calcul monadique, qui sont complets et décidables. Les jugements synthétiques a priori mathématiques sont des liaisons extérieures entre des termes qu'on peut penser indépendamment de cette liaison, et qui appartiennent a la possibilité de la représentation subjective des objets. Les jugements synthétiques a priori dynamiques sont des liaisons internes entre des termes qui sont poses en fonction de leur appartenance à la liaison et qui appartiennent aux conditions de la pensee déterminée et objective de la réalité.