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Études sur les règles d'inférence dites règles de Gentzen (II)

Published online by Cambridge University Press:  09 June 2010

Hugues Leblanc
Hugues Leblanc
Affiliation:
Bryn Mawr College
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Je vais traiter ici des inférences dont la validité tient au rôle qu'y jouent les cinq connecteurs « ⊃ », « ∼ », « & », « V » et « ≡ », les deux quantificateurs « ∀ » et « ∃ », et le signe d'identité « = ». Qu'on me permette de rappeler que les deux conjectures présentéd dans ma première étude se sont avéré'es justes. En premier lieu, toute règle de structure et toute règie d'élimination ou d'introduction pour « & » ou « V » qui vaut pour la logique classique des connecteurs vaut également pour la logique intuitionniste des connecteurs. En second lieu, tout énoncé du genre A1, A2, …, An ⊢ B qui vaut pour la logique classique des connecteurs peut s'obtenir exclusivement à l'aide des règles de structure R, P, E, S, et des règles d'elimination et d'introduction pour ceux des connecteurs « ⊃ », « ∼ », « & », « V » et « ≡ » qui figurent dans A1, A2, …, An, et B.

Type
Articles
Information
Dialogue: Canadian Philosophical Review / Revue canadienne de philosophie , Volume 1 , Issue 4 , March 1963 , pp. 355 - 367
Copyright
Copyright © Canadian Philosophical Association 1963

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References

1 Voir « Études sur les règies d'inférence dites règles de Gentzen, Première partie, » Dialogue, vol. I, no. 1 (1962), pp. 56–66.Google Scholar

2 Voir à ce sujet « Proof routines for the propositional calculus », Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. IV, no. (1963)Google Scholar. La première de mes deux conjectures a également été prouvée par D. H. J. de Jongh et par N. D. Belnap, Jr. et R. H. Thomason. Deux corrections à ma première étude s'imposent, l'une concernant la note 7 en page 58, l'autre la note 15 en page 64. Gentzen n'offre pas de règles de structure pour le genre d'inférences que j'étudie ici; il en offre cependant pour un genre apparenté, et les règies R, P, E, et C sont calquées sur elles. Quant à l'article « Intuitionism reconsidered, » il a été publicé dans le numéro 2 du volume III de Notre Dame Journal of Formal Logic, pp. 79–82.

3 J'emploie les deux lettres « W » et « X » pour me reférer aux variables ou constantes individuelles qui figurent dans les prémisses et conclusion A 1, A 2, ,,,, An, et B, et je me sers des deux lettres « w » et « x » comme variables individuelles.Je suppose connue la notion d'occurrence libre (free occurrence) d'une variable individuelle dans une prémisse ou conclusion donnée (voir à ce sujet mon manuel An Introduction to Deductive Logic, pp. 59–60), et déclare libre toute occurrence d'une constante individuelle dans une prémisse ou conclusion donnée.

4 Pour abréger, je combine désormais tout emploi de E et P en une seule opération.

5 La lettre « R » que j'attache ici a « IE» et « II » signifie « restreinte »; de même, la lettre « G » que j'attache plus bas à « IE » et « II » signifie « généralisée ».

6 Voir entre autres Leonard, H. S., « The Logic of Existence, » Philosophical Studies, vol. VII, no. 4 (1956), pp. 49–64CrossRefGoogle Scholar, et Quine, W. V., « On What There Is, » The Review of Metaphysics, vol. II, no. 5 (1948), pp. 21–38.Google Scholar

7 Voir Leblanc, H. et Hailperin, T., « Nondesignating Singular Terms, » Philosophical Review, vol. LXVIII, no. 2 (1959), pp. 239–243CrossRefGoogle Scholar, et Hintikka, J. J., « Existential Presuppositions and Existential Commitments, » The Journal of Philosophy, vol. LVI, no. 3 (1959), pp. 125–127.CrossRefGoogle Scholar

8 Les lettres « V » et « C » signifient respectivement « variable » et « constante ».

9 La règle IIR suffirait ici à assurer la validité de (6). II ne semble cependant pas y avoir avantage à se donner IIR plutōt que IIG.

10 Voir pour plus de détails « Nondesignating Singular Terms ».

11 Voir Carnap, R., Logical Foundations of Probability, Chicago, 1950, chapitre IIIGoogle Scholar; voir aussi Leblanc, H., Statistical and Inductive Probabilities, Englewood Cliffs, N. J., 1962, chapitre 1.Google Scholar

12 Carnap présume, notons-le, que les constantes individuelles de L∞ et par conséquent, de tout sous-langage de L∞ sont dans un ordre donné.

13 Voir Henkin, L., « An algebraic characterization of quantifiers, » Fundamenta Mathematicae, vol. 37, no. 1 pp. 63–74.CrossRefGoogle Scholar

14 Ce réultat est dû, comme je l'ai dit plus haut, à Leon Henkin.

15 Voir à ce sujet Church, A., Introduction to Mathematical Logic, Volume I, Princeton, 1956, pp. 238–245Google Scholar; voir aussi Ladriére, J., Les Limitations Internes des Formalismes, Paris & Louvain, 1957.Google Scholar