¹ Nous nous servons ici de la deuxième édition de cet ouvrage publié à Paris, chez Vrin, en 1950. Lustrum (1959, Bd 4, p. 283) nous signale que la première édition de l'ouvrage date de 1936. Tout le livre de Festugière est empreint de mysticisme. Les deux chapitres qui traitent de la dialectique en particulier se trouvent aux pages 157–249 de l'édition citée. Déjà en 1938, E. Bréhier formulait de sérieuses réserves sur cette interprétation mystique du platonisme (Rev. Et. Grecques, 51 (1938) 489–498). Dans un ouvrage plus récent de H. Joly, on retrouve les mêmes réserves (Le Renversement platonicien, Paris, Vrin, 1974, pp. 97–109)Google Scholar. Au lecteur qui s'étonnerait de nous voir revenir sur le sujet, nous répondons que l'influence exercée par l'ouvrage de Festugière sur le platonisme français nous obligeait à un tel exorcisme, d'une part, et d'autre part, que nous sommes redevable à la tradition des platonisants anglo-saxons, à l'intérieur de laquelle nous n'avons encore rencontré aucune interprétation équivalente, de notre compréhension de la dialectique platonicienne.

² «Il y a done une grande différence entre le theorein graduel qui marque les étapes de l'initiation et de l'opsis totale qui l'achève … En sorte que la nature de l'acte final sera tout autre que celle des actes antécédents ». (Contemplation et Vie contemplative selon Platon, op. cit. p. 227). Nous avons translittéré les termes grecs dans le texte et nous adopterons cette pratique dans le reste de cette étude toutes les fois que ce sera possible sans nuire à sa qualité scientifique.

³ « En conséquence, puisque le résultat de la concentration est dès l'abord une extase où l'esprit appartient àl'idée …» (Ibid. p. 227).

⁴ « Voir, quandils'agit des relations entre l'intellect et l'être, ne peut signifier qu'une union immédiate, supérieure et à la production d'une image et à la production d'un concept, une union d'ordre mystique » (Ibid. p. 220).

⁵ « C'est un contact au-delà de la vue, une union inexprimable où le noûs, perdu en l'objet, le touche sans pouvoir définir ce qu'il touche et n'a plus d'autre sentiment que le sentiment même de ce toucher » (Ibid. p. 227).

⁶ « C'est au plus intime d'elle-même que l'âme rencontre cet objet un. Et la perception qu'elle en a est un contact, un sentiment, qui passe l'ordre normal de la connaissance » (Ibid. p. 223).

⁷ « C'est que l'Etre le plus haut, Un ou Bien, est, au juste, un ineflable. On le touche, on s'y unit par la theoria, on ne peut le définir » (Ibid. p. 191).

⁸ « Ces conclusions, je l'avoue, n'ont pu être obtenues qu'en interprétant dans leur sens littéral certains textes du Banquet, de la République et du Philèbe. C'était la méthode des néoplatoniciens et nos résultats concordent avec les leurs ». (Ibid. p. 234)

⁹ « En sorte que la méthode qui mène au Beau dans le Banquet vaut également pour le Bien et l'Un et que les conclusions touchant le Bien et l'Un dans la République et le Philèbe peuvent s'appliquer au Beau » (Ibid., p. 221).

¹⁰ Dans la tradition des platonisants francais on semble préférer l'emploi du terme « Idée » tandis que les anglo-saxons utilisent le terme « Forme ». L'un et l'autre terme ont leurs inconvénients comme traduction des mots grecs idea et eidos. Nous adopterons ici la terminologie de L. Brisson qui nous semble la plus adéquate parce qu'elle évite de confondre l'idée platonicienne avec ce que nous appelons communément « idée », d'une part, et d'autre part, de confondre la Forme platonicienne avec la Forme aristotélicienne. (Cf. Le Même et l'Autre dans la Structure Ontologique du Timée de Platon, Paris, Klincksieck, 1974, p. 583).Google Scholar

¹¹ Rép. VI, 510b7, 511b6. Nous faisons remarquer que ce sont les deux seules fois que Platon utilise ce terme dans toute son œuvre. Nous ne remettons pas en question l'idée communément admise selon laquelle le principe anhypothétique s'identifie au Bien, mais nous ferons remarquer que dans notre passage, Rép. 509d–511e, it n'y a aucune mention du Bien. Nous nous servons ici de l'édition et traduction de E. Chambry dans la Collection des Universités de France de l'Association G. Budé.

¹² Pour la précision, nous rappelons au lecteur que dans le langage platonicien « les mathématiques » est un terme générique qui comprend l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et l'harmonique (Rép. 522b–531c).

¹³ Le terme grec pour désigner la dianoia et la noêsis est pathemata. Nous déduisons l'expression « structures dynamiques » de l'exégèse que V. Goldschmidt a faite du terme pathemata dans son étude : La ligne de la République et la Classification des Sciences (1955), ds. Questions Platoniciennes, Paris, Vrin, 1970, pp. 211–212Google Scholar. Cornford traduit le terme par « mental expériences », expression que nous trouvons trop vague (Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. p. 61).

¹⁴ Pour rédiger cette étude nous nous sommes servi des ouvrages et articles suivants; Euclidis Elementa, ed., Heiberg-Stamatis, Teubner, 4 vols. 1969. (Le vol. V comprenant les livres XIV–XV et les scholiaI–IV vient de paraître à Leipzig, 1977). Procli Diadochi in Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii. Ex recognitione Godofredi Friedlein, Lipsiae, (1873) Hildesheim, 1967, Ver Eecke, P., Proclus de Lycie. Les Commentaires sur le premier livre des Eléments d'Euclide, trad. intr. et notes, Paris, 1948Google Scholar, Proclus, , Commentaire de la République, trad. Festugière, J.A., Paris, 1970, pp. 96–100Google Scholar. Archer-Hind, R.D., The Phaedo of Plato, (1883), New York, Arno Press, 1973Google Scholar. Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt, ed. Hultsch, F., (1875), Amsterdam, 1965, 3 vols.Google ScholarTannery, P., La Géométrie Grecque (1887), New York, Arno Press, 1976, pp. 111–113, 142–153Google Scholar. Ch. Renouvier, La Philosophie de la Règle et du Compas. Théorie logique du jugement dans ses applications aux idées géométriques et à la méthode des géomètres, ds. L'Année Philosophique, 2 (1891), 1–66 Allman, G. J., Greek Geometry from Thales to Euclid (1889), New York, Arno Press, 1976, pp. 123–127Google Scholar, Milhaud, G., Les Philosophes-Géomètres de la Grèce (1900), New York, Arno Press, 1976, pp. 157–184Google Scholar, G. Rodier, Les Mathématiques et la dialectique dans le système de Platon, (1902), ds. Etudes de Philosophie Grecque, Paris, 1957, pp. 37–48Google Scholar, Heath, Th., The Thirteen Books of Euclid's Elements, Cambridge, 1908, vol. I, p. 137–142Google Scholar, Heath, Th., A History of Greek Mathematics, (1921), Oxford, 1965, vol. I, pp. 284–315Google Scholar, Stenzel, J., Plato's Method of Dialectic, (1930), New York, Arno Press, 1973Google Scholar, F.M. Cornford, Mathematics and Dialectic in the Republic, ds. Mind (1932), reproduit dans Studies in Plato's Metaphysics, London-New York, 1965, pp. 61–95Google Scholar, Taylor, A.E., Note on Plato's Republic, VI, 510c2–5, ds. Mind 43 (1934) 81–84CrossRefGoogle Scholar. Lee, H.D., Geometrical Method and Aristotle's Account of first principles, ds. Class. Quart. 29(1935) 113–124CrossRefGoogle Scholar, Robinson, R., Analysis in Greek Geometry, ds. Mind N.S. 45 (1936) 464–473CrossRefGoogle Scholar, Robinson's, R.Plato's Earlier Dialectic (1941), Oxford, 1962, pp. 61–179, 223–280Google Scholar, Mugler, Ch.. Platon et la recherche mathématique de son époque, Strasbourg et Zurich, 1948, pp. 253–356Google Scholar, Heath, Th., Mathematics in Aristotle (1949), Oxford, 1970, pp. 26–27, 50–57, 219–220, 270–272, 278–280Google Scholar, Michel, P.H., De Pythagore à Euclide. Contribution à l'histoire des mathématiques préeuclidiennes, Paris, 1950, pp. 261–263, 538–544Google Scholar, Ross, D., Plato's Theory of Ideas (1951), Oxford, 1963, pp. 37–82Google Scholar, Chemiss, H., Plato as Mathematician, ds. Rev. of Metaph. 4 (1951) 395–425Google Scholar, Robinson, R., L'emploides hypothèses selon Platon, ds. Rev. Metaph. et Morale 59 (1954) 253–268Google Scholar, Brumbaugh, R.S., Plato's mathematical imagination, The Mathematical Passages in the Dialogues and their interpretation, Bloomington (Indiana), pp. 3–11, 17–19, 32–38, 91–107Google Scholar, Wedberg, A., Plato's Philosophy of Mathematics, Stockholm, 1955, pp. 99–111, 131–135Google Scholar, Bluck, R.S., Hypotheses (en grec) in the Phaedo and Platonic Dialectic, ds. Phronesis 2 (1957) 21–31CrossRefGoogle Scholar, Bluck, R.S., Plato's Meno, Cambridge, 1961, pp. 75–108, 441–461Google Scholar, Klein, J., A Commentary of Plato's Meno, North Carolina, 1965, pp. 205–222Google Scholar. Taylor, C. C. W., Plato and the Mathematicians. An examination of Prof. Hares Views, ds. Philos. Quart. 17 (1967) 193–203CrossRefGoogle Scholar, Mansion, S., L'objet des mathématiques et l'objet de la dialectique selon Platon, ds. Rev. Philos. Louvain 67 (1969) 365–388CrossRefGoogle Scholar, Joly, H., Le renversement platonicien. Logos. Episteme. Polis, Paris, 1974, pp. 247–271Google Scholar, Mulhern, J.J.. Professor Wedberg's Theory of Ideas: suggestions for modification, ds. Apeiron 9 (1975) 25–29Google Scholar, Gomez-Lobo, A., Aristotle's Hypotheses and the Euclidian Postulates, ds. Rev. Metaph. 30 (1977) 430–439.Google Scholar

¹⁵ C'est à tort, croyons-nous, que Robinson a refusé une interprétation existentielle de l'hypothèse dans ce texte d'Artistote (Plato's Earlier Dialectic, op. cit. p. 101–102). Pour Robinson, en effet, si l'on maintient la lecture traditionnelle de ποϕνσεως en 72a8 et 72a19, une hypothese serait ou une proposition affirmative ou une proposition négative. Par contre, si l'on adopte la lecture rectifiée de Waitz: ντιϕσεως, alors une hypothèse serait l'une ou l'autre partie d'une contradiction de sorte que l'hypothèse serait une proposition qui possède sa contradictoire tandis que la définition, n'étant pas une proposition, ne possèderait pas sa contradictoire. Dans l'un ou l'autre cas, Aristote ne donnerait pas à l'hypothèse le sens d'assumer l'existence d'une chose. Robinson fonde son interpretation non existentielle de l'hypothèse sur une lecture copulative du verbe « être » en 72a20 et 76635–37. Cette lecture est peut-être possible en 72a20 où nous lisons : « τ εἰναι τι ἤ τ μ εἰναι τι », mais elle devient plus difficile en 76b35–37 où Aristote affirme que les définitions, contrairement aux hypothèses, « οὐδν γρ εἰναι ἤ μ λγονται ». En second lieu, l'interprétation non existentielle n'explique pas l'exemple que donne Aristote en 72a 23–24 pour illustrer la différence entre la définition et l'hypothèse: « τ γρ τ στι μονς κα τ εἰναι μονδα οὐ ταυτον ». Comment comprendre cet exemple si l'on donne au verbe être dans le second membre de la phrase un sens copulatif ? En troisième lieu, la distinction entre ce qu'est une chose et qu'une chose existe est courante dans le vocabulaire d'Aristote (Anal. Post. II, 89b20–35, 92b10–11). Cf. en faveurde l'interprétation existentielle: Mansion, S., Le jugement d'existence chez Aristote (1946), Louvain, 1976, pp. 1–5, pp. 254–274Google Scholar. F.M. Comford, Mathematics and Dialectic in the Republic, art. cit. p. 65, H.D.P. Lee, Geometrical Method and Aristotle's Account of First Principles, art. cit. p. 114, Th. Heath, Mathematics in Aristotle, op. cit. p. 55. Par contre, C.C. W. Taylor suit l'interprétation de Robinson (Plato and the Mathematicians, art. cit., p. 198, n. 8) de même que Gomez-Lobo (Aristotle's Hypotheses and the Euclidian Postulates, art. cit. pp. 430–439).

¹⁶ Lee écrit: «It is therefore evident that Aristotle's account of the first principles of science in the Posterior Analytics is an account of the first principles of geometry …» (Geometrical Methodand Aristotle's Account of First Principles, art. cit. p. 117.) Nous adoptonsici la thèse générate de H. D. P. Lee selon laquelle il existe un parallélisme étroit entre Aristote et Euclide sur les premiers principes de la géométrie. Nous crayons que cette thèse a été mal comprise par Robinson qui ne semble pas y avoir apporté une attention suffisante (Plato's Earlier Dialectic, op. cit. p. 102).

¹⁷ Proclus, éd. Friedlein, p. 67, 12–16. A ce sujet Th. Heath écrit: « He (Aristotle) refers to a considerable number of geometrical propositions, definitions, etc., in a way which shows that his pupils must have had at hand some text-book where they could find the things he mentions; and this text-book must have been that of Theudius » (The Thirteen Books of Euclid's Elements, op. cit. vol. I, p. 117).

¹⁸ Pour être plus précis, il faut dire qu'Euclide n'utilise pas le terme « axiome », mais l'expression « notions communes » (éd. Heiberg-Stamatis, p. 5). C'est Proclus qui utilise le terme « axiome » dans ses commentaires d'Euclide (éd. Friedlein, p. 193, 16). Les κοινα ἔννοιαι d'Euclide pourrait bien venir d'expressions similaires que l'on rencontre chez Aristote: τ κοινα (77a 27, 30), κοινα ρχα (88b 27–29), κοινα δξαι (996b28, 997a 20).

¹⁹ Voir H.D.P. Lee, Geometrical Method and Aristotle Account of First Principles, art. cit. P. 115.

²⁰ Proclus, éd. Friedlein, p. 188.

²¹ Proclus, éd. Friedlein, p. 191–192.

²² Proclus, éd. Friedlein, p. 363. Aristote voyait dans la démonstration des parallèles une pétition de principe qui consiste à prouver le parallélisme de deux droites coupées par une sécante par l'égalité des angles alternes-internes. Comme cette égalité ne peut être prouvée, qu'en supposant les droites parallèles, on présuppose ce qu'il fallait prouver (Anal. Post. 65a 4–9). Th. Heath affirme qu'au temps d'Aristote les géomètres ne désespéraient pas de pouvoir trouver la démonstration des parallèles (The Thirteen Books of Euclid's Elements, op. cit. vol. I, p. 202).

²³ On doit corriger ici la traduction de Ver Eecke. πσαν πϕασιν πλν ne se traduit pas par «toute simple hypothèse », mais par « toute proposition simple ».

²⁴ Nous aimerions rappeler ici au lecteur que la date moyenne de publication pour la République, sauf le livre I, a été fixée vers 375, pour les Analytiques Seconds d'Aristote vers 348 et pour les Eléments d'Euclide vers 300. Quant aux Commentaires de Proclus sur Euclide, ils datent du Ve s. après J.-C.

²⁵ On peut consulter à ce sujet: A Word Index to Plato, de L. Brandwood, Leeds, 1976, aux mots. Cependant Th. Heath adéjà attiré l'attention sur la présence en Parm. 154b, 154d de la formulation d'une notion commune au sens euclidien du terme et que l'on pourrait rattacher soit à l'axiome 4 ou à l'axiome 2 d'Euclide (Hist, of Greek Math. I, p. 294).

²⁶ R.M. Hare écrit: « The hypotheses here must be things, not propositions… it is impossible for them to be propositions here. (Plato and the Mathematicians, ds. New Essays on Plato and Aristotle, ed. by Bambrough, R., London, 1963, p. 23).Google Scholar

²⁷ Nous nous inspirons ici de l'article de C.C.W. Taylor Plato and the Mathematicians: an examination of Professor Hare's Views avec lequel nous sommes pleinement d'accord en ce qui concerne sa réfutation de la thèse de Hare.

²⁸ La traduction du terme logos est une véritable croix pour les platonisants. Par exemple, le songe de Socrate en Théét. 201e ss. dépend du sens que l'on donne au terme logos dans la troisième définition de la science.

²⁹ On se reportera ici à toutes les références accumulées par C.C.W. Taylor sur l'usage des définitions chez les géomètres et les mathématiciens avant Platon (Plato and the Mathematicians, art. cit. p. 121). Sur les Eléments d'Hippocrate, voir P. Tannery, La Géométrie Grecque, op. cit. 108–120, G.J. Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid, op. cit. pp. 52–79, P.-H. Michel, De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 181–182, pp. 247–249.

³⁰ Cornford écrit: « Hypotheses are assumptions of the existence of things defined » (Mathematics and Dialectic in the Republic VI-VII, art. cit. p. 65).

³¹ Archer-Hind écrit: « The hypothesis is the notion or definition, logos, under which the object to be explained falls » (The Phaedo of Plato, op. cit. p. 102, n. 8). Voir aussip. 98, n. 4, p. 102, n. 9, p. 103, n. 4.

³² F.M. Comford, Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. p. 63.

³³ K. von Fritz, Archiv. für Begriffsgeschichte, I (1955) 38 ss. Par contre, C.C.W. Taylor auquel nous empruntons cette référence se prononce contre ce rapprochement (Plato and the Mathematicians, p. 199, n. 10).

³⁴ Robinson, par exemple, écrit: « The Phaedo's account of the method of hypothesis is the main account of it in Plato. It is much more serious and full and precise than those in the Meno and in the Republic and in the Parmenides ». (Plato's Earlier Dialectics, op. cit. p. 123).

³⁵ Nous utilisons cette définition empruntée à un dialogue de Platon à titre de simple illustration. Brumbaugh soutient que cette définition ne réflète pas la théorie personnelle de Platon sur les nombres (Plato's Mathematical Imagination, op. cit. pp. 17–19).

³⁶ Nous adoptons ici la position de R. Robinson qui nous semble la plus raisonnable et la plus conforme au texte de Platon (Plato's Earlier Dialectic, op. cit. pp. 93–113).

³⁷ Cf. A.E. Taylor, Notes on Plato's Republic VI, 510ec2–5, art. cit. pp. 81–84.

³⁸ Cf. R. Robinson, Plato's Earlier Dialectic, op. cit. p. 103. La division des angles de Robinson peut être confirmée par Proclus qui distingue dans son commentaire des définitions 10, 11, 12 les trois espèces d'angles admis paries géomètres: l'angle droit, obtus et aigu (Ed. Friedlein, pp. 131–136). Proclus réfere même explicitement à notre texte de République en p. 131. Proclus range ces trois espèces d'angles dans le genre rectiligne.

³⁹ Cf. R. Robinson, Plato's Earlier Dialectic, op. cit. pp. 103–105.

⁴⁰ Cornford fait observer que le terme μολογου μνως pourrait avoir deux sens ici: celui de cohérence entre les propositions et celui d'assentiment d'un interlocuteur à la proposition posée. (Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. p. 66). Le contexte géométrique permet difficilement d'acquiescer au second sens qui se réfere plutôt à l'accord des interlocuteurs dans l'elenchus socratique. Si l'on tient compte d'une part de ce contexte géométrique et d'autre part de ce que Mugler a appelé «l'orthodoxie de la déduction » chez les géomètres grecs (Platon et la Recherche Mathématique de son époque, op. cit. p. 311), nous nous croyons autorisé à traduire ce terme: « par voie de déduction » tout simplement. Nous donnons le même sens au terme μολογαν en 533C6.

⁴¹ Nous nous référons ici à l'article de R. Robinson, L'Emploi des hypothèses selon Platon, art. cit. pp. 253–256. La même description de la démarche hypothétique se retrouve dans son ouvrage: Plato's Earlier Dialectic, pp. 105–113.

⁴² Ibid., art. cit. p. 256.

⁴³ Robinson avait déjà observé ce fait puisqu'il écrit: « Cette déductivité apparaît clairement dans le Phédon, mais peut-être au plus clair dans la Ligne Divisée de la République ; car là il semble que Platon regarde la méthode des hypothèses, pour le cas des mathématiques au moins, comme se composant de rien d'autre que la déduction » (Ibid., art. cit. p. 253).

⁴⁴ Proclus parle à plusieurs reprises de cette distinction, mais l'exposé le plus clair qu'il en donne se trouve ici en page 201 de l'éd. Friedlein. Il écrit: « Elle (la science géométrique) appelle problème ce en quoi il est proposé de se procurer, de mettre en lumière et de construire des choses qui ne sont pas encore, et appelle théorème ce dans quoi il est present de concevoir, de reconnaître et de démontrer une chose qui est ou quin'est pas. En effet, les problèmes imposent de proposer des créations, des positions, des applications, des descriptions, des circonscriptions, des ajustements, des contacts et toutes choses de ce genre; tandis que les théorèmes s'efforcent d'exprimer des propriétés, les choses inhérentes aux objets de la géométrie et de convaincre par des démonstrations. Or, quelles que soient les choses où les recherches peuvent avoir lieu, la géométrie tient compte de toutes en imputant les unes aux problèmes et les autres aux théorèmes » (trad. P. Ver Eecke, Proclus de Lycie, op. cit. p. 179). Mugler a rattaché cette distinction entre problème et théorème qui était un objet de discussion au sein de l'Académie (cf. Proclus, éd. Friedlein, pp. 178–184) au dualisme platonicien, le problème étant considéré de l'ordre de l'action et le théorème de l'ordre de la connaissance (Platon et la Recherche mathématique de son époque, op. cit. pp. 268–282). C'est ce dualisme qui aurait pénétré tout l'édifice de la géométrie euclidienne (Ibid. p. 269), dualisme que Speusippe et les autres disciples de Platon auraient atténué en se prévalant de la métaphysique du temps développée dans le Timée. Cependant, H. Cherniss a critiqué cette opinion selon laquelle Platon aurait rejeté sa conception cyclique du temps pour lui substituer une conception linéaire et irréversible (Plato as Mathematician, art. cit. p. 407–414).

⁴⁵ Il ne feut pas confondre le diorismos qui est ici la détermination d'un problème avec le diorismos de Ménon, 87a qui indique plutôt les conditions de possibilité d'une figure géométrique. Le terme pouvait être employé en ces deux sens par les géomètres grecs.

⁴⁶ Proclus, Commentaire sur la République, trad. A.J. Festugière, op. cit. t. II, pp. 96–104.

⁴⁷ Ibid. p. 100.

⁴⁸ Nous omettons ici intentionnellement la seconde critique que Platon adresse à la géométric à savoir, qu'elle utilise des images et des figures visibles, pour nous en tenir strictement à la démarche de l'esprit (510d4–511a2, 511a6–8). Cette seconde critique soulève moins un problème de méthode qu'un problème fort complexe sur la nature des objets mathématiques qui nous éloignerait de notre sujet. On lira à ce sujet l'étude de Mansion, S., L'objet des mathématiques et l'objet de la dialectique selon Platon, ds. Rev. Philos. Louvain 67 (1969), 365–388.CrossRefGoogle Scholar

⁴⁹ Nous avons essayé ici de rendre le sens actif du terme ρμ en le traduisant par « stimulant ». Comford a déjà attiré l'attention sur ce sens: « The primary and common meaning of ρμ is ‘impulse’ or ‘effort’ or ‘impetus’. It is nearer to ‘spring’ than to ‘springboard’. » (Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. p. 67, n. 2). Cf. aussi R. Robinson qui accepte ce sens (Plato's Earlier Dialectic, op. cit. pp. 156–157).

⁵⁰ L'attitude du dialecticien rappelle celle du« für uns » de Hegel dans la Phénoménologie de l'Esprit. Pour le géomètre et le mathématicien les hypothèses sont des principes de la science au-delà desquels il leur apparaît impossible de remonter. Ainsi dans la description de la dianoia Platon appelle-t-il ces hypothèses des principes (51Oc8). Mais du point de vue du dialecticien (für uns) ces hypothèses ne sont plus des principes (511b5). D'où le double sens du terme archè dans le passage.

⁵¹ On notera en passant que les exemples de principes donnés par Platon en 510c–3–5 ne constituaient pas aux yeux des géomètres de l'époque les premiers principes de leur science. Les figures avaient comme principes les surfaces, les surfaces avaient comme principes les lignes, et celles-ci les points. De même le pair et l'impair avaient comme principes les nombres et ceux-ci l'unité. Platon n'argumente done pas à partir des principes premiers de la géométrie et des mathématiques, mais il argumente comme si les exemples qu'il donne étaient des principes premiers pour les mathématiciens et géomètres alors qu'ils n'en étaient pas.

⁵² Dans la classification des sciences mathématiques en République, VII, 521c–532, l'arithmétique vient en premier lieu et la géométrie en deuxième lieu.

^52a Selon un témoignage d'Aristote, Platon n'aurait pas admis la définition pythagoricienne du point: « Platon lui-même combattait la notion de Point comme n'êtant qu'une conception géométrique, mais il l'appelait principe de la ligne, et il se servait même souvent de l'expression Lignes insécables » (Met. A., 992a 20–22). Mais le même témoignage montre que Platon considérait le point comme principe (archè) de la ligne et non comme élément (stoicheion).

⁵³ Cette théorie des nombres idéaux et des grandeurs idéales nous est surtout connue par le témoignage d'Aristote. Elle devait appartenir à l'enseignement oral de Platon. Nous ne pouvons pas aborder ici tous les problèmes tant du point de vue de la signification de cette théorie que du point de vue de sa transmission. Nous nous contentons de renvoyer le lecteur à l'ouvrage bien connu de Robin, L.. La Théorie Platonicienne des Idées et des Nombres d'après Aristote (1908), Hildesheim, 1963, pp. 267–478Google Scholar. Nous ne voulons pas entrer ici dans tout le problème délicat de l'enseignement oral de Platon.

⁵⁴ Cet aspect a été développé dans un exposé suggestif de S. Mansion, L'objet des mathématiques et l'objet de la dialectique selon Platon, art. cit. pp. 379–384. Nous nous inspirons ici de ces pages.

⁵⁵ Nous employons ici les expressions « objets mathématiques » ou « entités mathématiques » dans le sens de « corrélats noématiques » et nous excluons toute portée ontologique à ces expressions pour demeurer fidèle au texte de Platon. Nous accordons cette portée ontologique seulement lorsque nous parlons de « Formes mathématiques ». Nous suivons ici le vocabulaire de S. Mansion que nous croyons en plein accord avec le platonisme. (Ibid. p. 379, n. 20).

⁵⁶ Voir une discussion sur ces exemples dans Cross-Woozley, , Plato's Republic, London–New York, 1966, pp. 145–165Google Scholar. Les auteurs reprochent à Platon de n'avoir pas distingué dans ses exemples, d'une part, entre le sens copulatif et le sens existentiel du verbe être, et d'autre part, entre les prédicats relationnels v.g. double et les prédicats non relationnels v.g. beau.

⁵⁷ Hackforth a parlé ici de « unreal problems » comme si l'on se demandait pourquoi le mercredi vient après le mardi. Si l'on acceptait cette remarque on trouverait sans doute la philosophie pleine de « unreal problems ». Voir à ce sujet la réponse de S. Mansion, L'objet des mathématiques et l'objet de la dialectique selon Platon, art. cit. p. 382, n. 24.

⁵⁸ Il faut rappeler ici que les Grecs avaient coutume de distinguer entre la science des nombres (arithmos, arithmètikè) et l'art du calcul (logismos, logistikè).

⁵⁹ Nous suivons pour 524c3 la correction faite par S. Mansion de la traduction de Chambry. (cf. art. cit. p. 380, n. 21).

⁶⁰ Pour le moment, il semble que Platon soit satisfait d'expliquer ce mélange d'unité et de multiplicité dans le monde sensible et les entités mathématiques en faisant appel à la Forme intelligible toujours simple et identique à elle-même. Mais à partir du Parménide, il prend conscience que le problème de l'unité et de la multiplicité se pose même dans le monde intelligible. Il écrit: « L'essence de l'Un, par contre, qu'on la démontre, en soi, multiple; le multiple, à son tour, qu'on le démontre un, voilà où commencera mon émerveillement» (129b7–c1).

⁶¹ Nous adoptons ici la traduction de P. Tannery (La Géométrie Grecque, op. cit. p. 111). La traductionde P. Ver Eecke prête à un contre-sens évident lorsqu'iltraduit: « Des méthodes nous ont été données cependant, et la plus belle est celle qui présente la chose cherchée comme accordée en principe par l'analyse ». (Proclus de Lycie, op. cit. p. 187). Nous invitons le lecteur à se reporter au texte grec pour se convaincre de la feusseté de cette dernière traduction.

⁶² Voir surce point: P. Tannery, La Géométrie Grecque, op. cit. pp. 111–113, G.J. Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid, op. cit. pp. 123–127, G. Milhaud, Les Philosophes-Géomètres de la Grèce, op. cit. pp. vol. I, pp. 290–292, Ch. Mugler, Platon et la Recherche mathématique de son époque, op. cit. pp. 283–287. Au XVIIIe s. J.F. Montucla croyait que Platon était l'inventeur de la méthode analytique en se fondant sur les témoignages de Proclus et de Laërce, Diogène (Histoire des Mathématiques, (1758) (rééd. An VII), Paris, A. Blanchard, 1968, vol. I, pp. 163–168.Google Scholar

⁶³ La position de Cornford se lit dans la conclusion suivante : « It is quite possible to accept the statement that Plato ‘discovered’ the method of Analysis, in the same sense as Aristotle discovered the syllogism; that is to say, he was the first to reflect upon the process of thought involved and to describe it in contrast with the process of Synthesis. And it is certain that in his account of the dialectical ascent Plato is describing the upward movement of thought which has been illustrated from geometrical analysis »(Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. p. 72).

⁶⁴ Voir ici P. Tannery, La Géométrie Grecque, op. cit. p. 18–25. Tannery parle plus précisément de sources juxtaposées Porphyre-Pappus. Robinson a déjà signalé huit passages anciens sur la méthode analytique, mais aucun de ces passages ne nous fournit une description aussi complète que celui de Pappus. (Analysis in Greek Geometry, ds. Mind 45 (1936) 466, n. 3).

⁶⁵ Nous prenons ce texte dans Pappi Alexandrini Collectionis, éd. F. Hultsch, Vol. II, pp. 634–636. Nous n'avons pas pu mettre la main sur la traduction de P. Ver Eecke de Pappus d'Alexandrie, La Collection Mathématique, Bruges, 1933, 2 vols. Nous donnons done ici notre propre traduction en nous aidant de la traduction latine de F. Hultsch et de la traduction anglaise de Th. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements, op. cit. vol. I, p. 138.

⁶⁶ Il ne faut pas comprendre ici le terme « problématique » au sens actuel. Il s'agit au contraire de la division en géométrie entre les théorèmes et les problémes. Voir à ce sujet notre note 44 où Proclus explique cette distinction entre un théorème et un problème. (Ed. Friedlein, p. 201).

⁶⁷ Notre traduction présuppose l'adoption de l'interprétation traditionnelle de ce texte de Pappus. Si tous les interpretes s'entendent pour dire que la synthèse est un processus de déduction, par contre, en ce qui concerne l'analyse, l'interprétation traditionnelle veut qu'elle soit également un processus de déduction, ce qui implique la réciprocité des propositions. Parmi les partisans de l'interprétation traditionnelle, nous citons : Th. Heath, The Thirteen Books ofEuclid's Elements, op. cit. vol. I, pp. 137–142, R. Robinson, Analysis in Greek Geometry, art. cit. pp. 464–473, H. Cherniss, Plato as Mathematician, art. cit. pp. 414–419, Ch. Mugler, Platon et la Recherche mathématique de son époque, op. cit. pp. 293–297 qui se contredit sur ce point, comparer pp. 293–297 et 311–320. Cette interprétation traditionnelle a été contestée par F.M. Cornford, Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. pp. 70–73. Selon Cornford, l'analyse telle que décrite par Pappus serait un processus d'intuition et n'impliquerait pas la réciprocité des propositions. La controverse prend appui sur le sens qu'il faut donner dans le texte de Pappus à l'expression: δι τѽν ς κολοωϑν Robinson qui a réfuté l'interprétation de Cornford comprend l'expression comme se référant a des conséquences logiques et traduit par «through its successive consequences » tandis que Cornford qui comprend l'expression comme se référant a une succession non pas logique, mais temporelle traduit par «the succession of sequent steps ». La réfutation de Robinson de l'interprétation de Cornford nous semble definitive. Cependant, il faudrait sans doute la nuancer avec les remarques de R.S. Bluck (Plato's Meno, op. cit. pp. 76–85) qui suit sur ce point celles de N. Gulley (Phronesis, 3 (1958) 1–14.) Selon ces auteurs, il aurait existé chez les géomètres grecs deux formes d'analyse. On trouve la forme déductive chez Euclide (XIII, 1–5), chez Arehimède et Pappus, tandis que les exemples que L'on trouve chez Aristote (Eth. Nic. ni2b20ss. Met. 1051321 ss. Phys. 200ai6ss.) et les commentateurs grecs sont plutôt basés sur la forme non-déductive ou intuitive de l'analyse. Robinson a naturellement recours dans son argumentation contre Cornford à Euclide (XIII, 1) (art. cit. pp. 470–471), mais il ne souffle mot de cette forme intuitive de l'analyse. Par ailleurs, ce que Ch. Mugler a deja appele «l'orthodoxie de la deduction » chez les geometres grecs (Platon et la Recherche mathematique de son époque, op. cit. p. 311) nous incline à croire personnellement que l'interprétation traditionnelle qui s'appuie par ailleurs sur d'excellents historiens (Hankel, Cantor, Duhamel, Zeuthen, Heath), est la bonne. Dans une description aussi serree et méthodique de l'analyse géométrique, Pappus, lui-même géomètre, se devait de privilégier la forme classique de l'analyse qui était sans aucun doute la forme déductive, celle où l'analyse apparaissait sous son jour le meilleur. Voir notre article, Aristote et I'Analyse Géométrique, Philosophiques 5 (1978) 271–307.CrossRefGoogle Scholar

⁶⁸ Cornford ecrit: « They have then (en parlant des historiens modernes des mathématiques) been at great pains to show how the premisses of a demonstration can be the consequences of the conclusion… » Et: « You cannot follow the same series of steps first one way, then the opposite way, and arrive at logical consequences in both directions ». (Mathematics and Dialectic in the Republic VI–VII, art. cit. p. 72, n. 1)

⁶⁹ Voir ici R. Robinson, Analysis in Greek Geometry, art. cit. p. 469 et 472.

⁷⁰ Voici l'énoncede la proposition 5: « Les angles situés à la base des triangles isocèlessont égaux entre eux, et les droites égales étant prolongées, (P) les angles situés au-dessous de la base seront égaux entre eux (Q)». (Euclide, éd. Heilberg-Stamatis, p. 12) et l'énoncé de la proposition 6 est le suivant: « Si deux angles d'un triangle sont egaux entre eux (Q), lescôtés sous-tendus à ces angles égaux seront égaux entre eux (P)». (Ibid. p. 13). On pourrait symboliser la réciprocité ou l'équivalence de la façon suivante:

Si P, alors Q

Si Q, alors P

D'où P↔Q

⁷¹ Voici l'énoncé de la proposition-théorème 4: « Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés égaux chacun à chacun, et si les angles compris sous les côtés égaux sont égaux, ils auront aussi des bases égales ; le triangle sera égal au triangle, et les autres angles sous lesquels les côtés égaux sont sous-tendus seront égaux chacun à chacun » (Euclide, Ibid., p. 10) et l'enonce du théorème 8 est le suivant: « Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux cocirc;tés chacun è chacun, et la base égale à la base, ils auront aussi l'angle compris sous les droites égales, égal à l'angle ». (Ibid. p. 16)

⁷² Sur ce problème de la reciprocité des propositions géométriques, voir Ch. Mugler, Platon et la recherche mathematique de son epoque, op. cit. p. 320–330. H. Cherniss areproché à Mugler, et croyons-nous avec raison, d'avoir exagéré l'apport de Platon dans l'usage de la méthode analytique et d'avoir omis la reconnaissance par les géomètres grecs de l'existence de propositions géométriques non réciproques. Mais nous pouvons difficilement suivre H. Cherniss lorsqu'il reproche à Mugler de considérer la réciprocité des propositions géométriques comme une loi générale de la géoimétrie grecque. Les textes qu'il apporte à l'appui de sa critique (Proclus, ed. Friedlein, p. 253, 16–254, 5» Aristote, Anal. Post. 7885–13, Phys. 200a 15–24) montreraient seulement a notre avis, que les géomètres grecs étaient conscients de l'existence de certaines propositions géométriques qui n'admettaient pas la réciprocité (Plato as mathematician, art. cit. pp. 416–418). Parailleurs, H. Cherniss nous donne en p. 414 la meilleure description mode me de la méthode d'analyse qui suppose la réciprocité des propositions. Pourquoi dès lors refuse-t-il de considérer la réciprocité comme une loi générale et la non-réciprocité comme l'exception ou le cas etrange ? Voir aussi le long commentaire du texte d'Aristote (Phys. 200a 15–24) par Mugler sur ce probleme de la non-réciprocite des propositions géométriques (Ibid. pp. 330–356).

⁷³ On se reportera ici aux exposés pratiques de Th. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements, op. cit. pp. 137–142, R. Robinson, Analysis in Greek Geometry, art. cit. pp. 470–471, Ch. Mugler, Platon et la recherche mathématique de son époque, op. cit. pp. 293–296, P.-H. Michel, De Pythagore a Euclide, op. cit. pp. 538–544. Rappelons ici que C.A. Bretschneidera été le premier à reconnaître dans les démonstrations d'Euclide, XIII, 1–5 l'usage du double mouvement d'analyse et de synthèse (Die Geometrie und die Geometer vor Euklides, 1870, p. 168ss.). On notera également qu'à la suite de la proposition 5, on rencontre pour la première fois dans les Eléments une très courte définition de l'analyse et de la synthèse. C'est cette courte définition qui donna à Bretschneider l'idée d'examiner si les propositions 1 à 5 n'étaient pas une application de l'analyse et de la synthèse. Cette idée créa l'unanimité des historiens de la géométrie. Mais les discussions persistent sur l'authenticité d'Euclide XIII, 1–5. Bretschneider et Th. Heath l'admettent en considérant Eudoxe comme une source d'Euclide tandis que Friedlein et Tannery s'y opposent et voit dans le texte une source alexandrine. Voir à ce sujet P.-H. Michel, De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 557–562.

⁷⁴ Voir à ce sujet H. Cherniss, Plato as Mathematician, art. cit. p. 415–416.

⁷⁵ R.Robinson, Plato's Earlier Dialectic, pp. 146–179.

⁷⁶ Ibid., pp. 163–165.

⁷⁷ Ibid., pp. 166–169.

⁷⁸ Ibid., pp. 169–172.

⁷⁹ Il faudrait cependant noter ici une légère différence avec la réduction à l'absurde qui se présente dans le processus d'analyse. Il y a réduction à l'absurde en géométrie lorsque l'analyse aboutit è une proposition fausse laquelle ne doit pas être la contradictoire de la proposition initiale puisque si tel était le cas, la proposition initiate serait vraie. La réduction à l'absurde consiste ici à soutenir a la fois que la vertu est science et que la vertu n'est pas science. On pourrait nous objecter que nous sommes ici plus près de l'elenchus socratique que de l'analyse géométrique.

⁸⁰ Sur la chronologie du Phèdre, voir l'étude définitive de Robin, L., La Théorie Platonicienne de l'Amour, (1933), Paris, P.U.F. 1964, pp. 44–100.Google Scholar

⁸¹ J. Stenzel, Plato's Method of Dialectic, op. cit., pp. 75–156.

⁸² Bien que la Forme intelligible du Bien ne soit par mentionnée dans notre passage de République, 509d-511e, on aeu raison d'identifierle principe anhypothétique de notre passage (511b6–7, 510b7) avec la Forme intelligible du Bien. On doit, en effet, comprendre le principe anhypothétique à la lumière de 533aI–6 oà le bien réel apparait comme l'objet propre de la dialectique et de 508ei–6 où le Bien est décrit comme étant la Forme la plus intelligible. Voiraussi 517b8-c5. Il ne faudrait pourtant pas conclure, comme l'amontré L. Brisson, de cette préséance du Bien sur les autres Formes intelligibles à une différence de nature ontologique avec les autres Formes intelligibles (Le Même et l'Autre dans la Structure ontologique du Timée de Platon, Paris, 1974, pp. 132–136)Google Scholar. Mais une fois admise cette priorité dialectique de la Forme intelligible du Bien, le probleme reste entier de savoir comment relier les Formes intelligibles du Nombre et de la Grandeur à la Forme intelligible du Bien présentée dans notre passage comme le principe de tout (511b7).

⁸³ Sur ce point, on ne peut ici que renvoyer le lecteur a l'article devenu classique de Goldschmidt, V., La Ligne de la République et la classification des Sciences (1955), ds. Questions Platoniciennes, Paris, 1970, pp. 203–219.Google Scholar

⁸⁴ R. Robinson, L'emploi des hypothèses selon Platon, art. cit. pp. 262–266. Nous nous inspirons ici de ces pages.

⁸⁵ R. A. Shiner a donné de ce passage une analyse du point de vue de la philosophie analytique dans son ouvrage : Knowledge and Reality in Plato's Philebus, Assen, 1974, pp. 53–60Google Scholar. Nous avons fait une critique de cet ouvrage dans notre article: Les Etudes Platoniciennes : contribution canadienne (1970–1977), ds. Philosophiques, 4 (1977) 76–84.Google Scholar

⁸⁶ Platon ne veut certainement pas dire que les géomètres ne font pas appel à l'intuition dans l'énoncé d'une proposition ou la construction d'une figure mais que les géomètres accordent une valeur épistémologique seulement à la déduction.