¹ Le Commentaire de Proclus constitue l'une de nos sources fondamentales, avec les Éléments d'Euclide, de notre connaissance de la géométrie préeuclidienne si l'on excepte les loci mathematici de Platon et d'Aristote. Encore s'agit-il là d'une source de seconde main puisque Proclus n'a eu accès aux écrits géométriques préeuclidiens qu'à travers les commentaires aujourd'hui perdus de Héron, Porphyre, Ptolémée, Apollonius, Théon d'Alexandrie, Pappus, Géminius et autres. Cependant le Commentaire de Proclus, précédé de deux im-portants prologues est le seul qui nous soit parvenu intégralement et encore ne porte-t-il que sur le premier livre d'Euclide. Paul Tannery a tenté de reconstruire une histoire de la géométrie préeuclidienne à partir de ce qu'il a appelé le «résumé historique» de Proclus qui se trouve dans le second prologue dont il a donné une traduction dans son ouvrage: La Géométrie Grecque (1887), réim-primé récemment par Arno Press (1976), aux pages 66–67Google Scholar. Nous lui empruntons notre traduction. L'édition critique du texte grec a été faite pour la collection Teubner par Friedlein, G. sous le titre: Procli Diadochi in Prirnum Euclidis Elementorum Librum Commentarii (1873), HÜdesheim, Georg Olms, 1967.Google Scholar II existe une excellente traduction française du texte sous le titre: Proclus de Lycie. Les Commentaires sur le premier livre des éléments d'Euclide, par Eecke, Paul Ver, publié à Paris, chez Desclée & Brouwer, 1948.Google ScholarII existe aussi une traduction anglaise partielle de Morrow, G. R.publiée par Princeton University Press, 1970Google Scholar, sous le titre: Proclus. A Commentary on the first Book of Euclides' Elements. Les deux prologues de Proclus ont fait I'objet des dissertations sui-vantes: Hartmann, N., Des Proclus Diadochus philosophische Anfangsgrunde der Mathematik nach den ersten zwei BÜchern des Euklid-Kommentars, Giesen, 1919 etGoogle ScholarPeiser, A. S., Proclus Diadochus Über die Mathematik. Enthalt Teile aus den beiden Vorreden zum Euklid-Kommentar, in Die Mathematische Denkweise, Zurich, 1932, pp. 65–75 et Basel, 1945, pp. 57–60Google Scholar.

² Le terme de légende est celui utilisé par Tannery, P., La Géométrie Grecque, op. cit. p. 132Google Scholar. On pourra lire à ce sujet tout son chapitre sur les géomètres de l'Académie aux pages 130–141. Outre cet ouvrage de P. Tannery, nous avons consulté sur I'ensemble de la géométrie pré-euclidienne les ouvrages suivants: Allman, G. J., Greek Geometry from Thales to Euclid (1889), New York, Arno Press, 1976Google Scholar, Milhaud, G., Les Philosophes-Géomètres de la Grèce. Platon et ses prédécesseurs (1900), New York, Arno Press, 1976Google Scholar, Zeuthen, H. G., Sur la constitution des livres arithmétiques des Elémenls d'Euclide et leur rapport à la question de L'irrationalité et Sur les connaissances géométriques des Grecs avant la réforme platonicienne, (1910)Google Scholar et (1913), in Zeno and the Discovery of lncommensurables in Greek Mathematics, New York, Arno Press, 1976, pp. 395–435 et pp. 431–473,Google ScholarHeath, Th., A Hislory of Greek Mathematics, Oxford, Clarendon Press, 1921, 2 vols. (réimprimés en 1965),Google ScholarMugler, Ch., Platon et la recherche mathématique de son époque, Strasbourg et Zurich, 1948,Google ScholarMichel, P. H., De Pythagore à Euclide. Contribution à L'histoire des mathématiques préeucli-diennes, Paris, Les Belles Lettres, 1950, A. Wedberg, Plato's Philosophy of Mathematics, Stockholm, Almquist et Wiksell, 1955, Ch. Mugler, Dictionnaire historique de la terminologie géométrique des Grecs, Paris, 1958–1959, 2 vols., J. Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, transl. Eva Brann, Cambridge, The M.I.T. Press, 1968Google Scholar.

³ MICHEL, P. H. De Pythagore à Euclide, op. cit., p. 92–94.

⁴ Sur Eudoxe, voir P. H. Michel, De Pythagore à Euclide, op. cit., pp. 234–240. sur Archytas, Ibid., p. 216–219, sur Théodore, Ibid., pp. 281–282 et sur Théétète, lbid., pp. 278–281. On trouvera à ces endroits une ample bibliographie sur chacun de ces géomètres du 1VC siècle avant J.-C.

⁵ HEATH, Th. A History ofGreek Mathematics, op. cit., vol. I, pp. 294–308.

⁶ Rép. VII, 521c-532a.

⁷ Pour les loci mathematici de Platon, voir P. H. Michel, De Pythagore à Euclide, op. cit., pp. 75–77. Plusieurs de ces loci mathematici ont été analysés par A. Wedberg dans son ouvrage cité en note 2.

⁸ Nous utiliserons ici les études suivantes sur la construction de la Ligne: R. S. Brumbaugh, Plato`s Divided Line, ds. Rev. of Metaphysics 5 (1952) 529–534, L. E. Rose, Plato's Divided Line, ds. Rev. of Metaphysics 17 (1963–1964) 425–435 et Jardins, G. Des, How to divide the Divided Line, ds. Rev. of Meta-physics 29 (1976) 483–496Google Scholar.

⁹ Par exemple Murphy qui écrit: «but we are not really dealing with mathematical proportions» (The lnterpretation of Plato's Republic, Oxford, Clarendon Press, 1960, p. 159)Google Scholar.

¹⁰ Parmi ces partisans d'une interprétation tripartite de la Ligne, mention-nons Sidgwick (1869) et , Murphy (1951)Google Scholar.

¹¹ Murphy, N. R.The interpretation of Plato's Repulic, op. cit., pp. 156–159Google Scholar.

¹² ROSE, L. E.Plato's Divided Line, art. cit., p. 427Google Scholar. Pour la construction de la Ligne en diagramme, voir aussi J. Philippousis, «La gnoséologie de Platon selon la Repubtique: connaissance et dialectique», ds. La Communication, Actes du XV^e Congrès de l'Association des Sociétés de Philosophie de Langue Française, Montréal, Ed. , Montmorency, 1971, pp. 90–95Google Scholar.

¹³ Brumbaugh, R. S.Plato's Divided Line, art. cit., p. 529 oùI'auteur écrit: «The philosophical interpretation of the diagram has seemed so clear, that philosophers in general have been unwilling to attach importance to the fact that taking Plato's statements about it in any normal sense, the figure he describes cannot possibly be constructed.»Google Scholar

¹⁴ Ibid., pp. 533–534.

¹⁵ Nous utilisons ici le texte grec de I'édition des Belles Lettres, établi et traduit par E. Chambry, la République, 509d–511e. La traduction de ce dernier passage est nôtre.

¹⁶ Murphy, N. R.The interprelation ofPlato's Repuhlic, op. cit., p. 157Google Scholar.

¹⁷ Nous croyons que le problème de la construction de la Ligne tel que posé par G. Des Jardins n'est pas conforme au texte platonicien. L'auteur écrit: «In order to follow this request, not only must one know geometry, which treats linear magnitudes; one must also know the relations between geometry and the art which treats kinds» How to Divide the Divided Line, art. cit. p. 483). Cette manière de poser le problème repose sur la confusion entre le symbole et le symbolisé. L'opération à laquelle nous convie le texte est une opération technique qui porte sur une ligne qui symbolise le genre visible et le genre intelligible.

¹⁸ On lira avec profit les pages que Charles Mugler consacre à la terminologie géométrique fondamentale de Platon (Platon et la Recherche mathématique de son époque, op. cit. pp. 3–43). L'auteur écrit: «Pas plus que pour le point, et sans doute pour les mêmes raisons, Platon n'a pas de terme général pour désigner la ligne en général. L'expression ή γραμμή qui sert à cette fin à partir d'Aristote signifie partout dans I'ceuvre de Platon des lignes droites ou des portions de lignes droites» (Ibid. p. 22).

¹⁹ Euclide, Eléments, I, défln. 2, 3, 4, 7, 8. Nous nous servons ici de l‘édition Heiberg-Stamatis. Allman souligne que Pappus employait le terme γραμμή pour désigner une courbe(Greek Geometry from Thales to Euclid, op. cit. p. 180).

²⁰ Rose, L. E.Plato's Divided Line, art. cit. pp. 425–427. Le Sophiste, 266a s'occupe de la classification de groupes d'objets tandis que la République, 5ö9d s'occupe de la division d'une ligne. À notre avis I'argument fondé sur les avantages d'une lecture d'un diagramme pour la compréhension de tout le passage ne peut remplacer une lecture correcte du terme grammèGoogle Scholar.

²¹ Ross, D.Plato's Theory of ldeas (1951), Oxford, Clarendon Press, 1963, p. 45, n. 2Google Scholar. Dans les éléments d'Euclide, le terme δίχα est employé aussi dans le sens de deux parties égales (VII, défin, 6, 7).

²² Le terme τμῆμα signifie segment ou section de ligne dans le vocabulaire de Platon (Polit. 258?1, 280d7, Phil. 61e6, Lois, V, 745c5). Platon utilise aussi le terme τομή (Rép. VI, 510b2, Polit. 261a5, Lois, V. 738a8). Selon Allman, on pouvait aussi utiliser le terme τμῆμα pour désigner une lunule. L'usage du terme τομέμς serait d'origine tard?ve (Greek Geometry from Thales to Euclid, op. cit. p. 69, n. 41).

²³ Robin, L.Les Rapports de l'être et de la Connaissance d'après Platon, Paris, P.U.F., 1957, p. 17Google Scholar.

²⁴ Diels-Kranz, , Die fragmente der Vorsokratíker, Vol. 1, 47B2Google Scholar.

²⁵ Euclide, éléments, V, défin. 8.

²⁶ Rose, L. E. Plato's Divided Line, art. cit. pp. 431–432Google Scholar.

²⁷ Par exemple, Rép. VI, 509c2, 511a6, VII, 514b3, 515e6–7, 516e3–4, 517a5. 517b4.

²⁸ Chambry, E. La République, éd. et trad. Les Belles Lettres, p. 143.

²⁹ Plutarque, , Moralia. Platonicae Quaestiones, éd. Hubert, C. et Drexler, H., , Bibl., Teubner, 1959, vol. VI, fasc. 1, pp. 118–121Google Scholar.

³⁰ Proclus, éd. Kroll, I. 289, 10–18 (Teubner, 1899–1901). Le texte a été tra-duit par titre, A. J. Festugière sous le: Commenlaire de la République, Paris. Vrin, 1970, vol. 21, pp. 96–100, pour le passage sur la ligne segmentéeGoogle Scholar.

³¹ Les textes abondent sur l'usage de la métaphore de la lumière dans ces passages de la République. Voir: Rép. VI, 506c6, 507c–e, 508a–e, VII, 514b2–3, 515c7–8, 515el, 516a–b, 5I6b5, etc.

³² Michel, P.-H.De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 379–399Google Scholar. Pour I'usage des nombres entiers, voir: Ibid. p. 383, n. 1.

³³ Brumbaugh, R. S.Plato's DividedLine, art. cit. p. 533, n. 19Google Scholar.

³⁴ Aristote, De Anima I, 2, 404b21–24:

³⁵ Brumbaugh justifie la progression suggérée, 1 -2–4-8, en référant à Epinomis, 991a (Plato's Divided Line, art. cit. p. 531, n. 11). En effet. dans ce texte Platon parle du solide comme I'équivalent du nombre 8. Par contre. nous prenons note d'un texte de Proclus où la surface est dite l'équivalent du nombre 3 et le solide I'équivalent du nombre 4. Ce qui donnerait la progression arithmétique 1—2 — 3 — 4. Voici Ie texte: «Mais ces faits sont connus de tous, et rappelons-nous les opinions plus pythagoriciennes qui supposent que le point correspond à l'unité, la ligne au nombre deux, la surface au nombre trois et le solide au nombre quatre» (Proclus de Lycle. Les Commentaires sur le premier livre des Éléments, trad. P. Ver Eecke, op. cit. p. 89).

³⁶ Aétius est un péripatéticien éclectique de la fin du 1er siècle de notre ère et du début du IIe siècle.

³⁷ Le texte grec est assez long, nous en résumons ici le contenu essentiel à notre propos.

³⁸ Greene, W. C.Scholia Plaíonica, ad Répulique 510 et 534Google Scholar.

³⁹ Euclide, Éléments, V, défin. 3, 4, 5.

⁴⁰ Michel, P.-H.De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 295–298Google Scholar.

⁴¹ Dans I'arithmo-géométrie pythagoricienne les nombres étaient figurés parce qu'on figurait les unités-points ou unités-atomes dans un espace donné. Les nombres figurés se divisaient en nombres linéaires, en nombres plans et en nombres solides. Un nombre linéaire pouvait être un nombre-produit ou un nombre-somme. Un nombre linéaire-produit est celui que I'on ne peut obtenir par d'autres facteurs que I'unité. Par exemple, le nombre 7. Un nombre linéaire-somme est celui que I'on obtient par la seule addition d'unités-points. On nous permettra ici de rappeler ce témoignage de Proclus: «Le fait que la géométrie constitue une branche de la mathématique entière et occupe le second rang après I'arithmétique en raison de ce qu'elle est complétée et déterminée par celle-ci — car tout ce qui est rationnel et connaissable en géométrie est déterminé par des raisons arithmétiques — a été affirmé par les Anciens et n'exige pas une longue dissertation pour le moment» (trad. P. Ver Eecke, Proclus de Lycie, op. cit. p. 83).

⁴² Archytas de Tarente (Diels-Kranz, 1, 47B2) distinguait, en effet, ces trois type d'analogie qui étaient d'ailleurs connus de Platon comme on peut le constater en Timée, 31b–32c pour I'analogie géométrique et en Timée, 34b-37a pour I'analogie arithmétique et harmonique.

⁴³ Euclide, éléments, V, défin. 6.

⁴⁴ Voir à ce sujet le texte de Proclus que nous avons cité en note 35.

⁴⁵ Sur ces deux derniers textes du Timée, nous renvoyons le lecteur à I'excellent commentaire qu'en a fait Brisson, L. dans son ouvrage: Le Mème et l'Autre dans la structure ontologique du Timée de Platon, Paris, Klincksiek, 1974. pp. 367–388 et pp. 314–332Google Scholar.

⁴⁶ Tannery, P.La Géométrie Grecque, op. cit. pp. 81–94. Allman n'accepte pas I'interprétation du texte de Jamblique (De Philos. Pyth. lib. III) fait par Tannery et sur laquelle il fonde I'existence de cet écrit anonyme (Greek Geometry From Thales to Euclid, op. cit. p. 61 et 221). Zeuthen croit également que I'existence de cet écrit anonyme est purement hypothétique et que les premiers éléments de Géométrie seraient ceux d'Hippocrate de Chios (Sur les connais-sances géométriques des grecs avant la réforme platonicienne, op. cit. p. 442, n. 1). Michel discute longuement de cette question en discordant de P. Tannery seulement sur sa conception de la forme de I'écrit anonyme (De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 194–209). En effet, selon P. Tannery, cet écrit anonyme aurait été un véritable corpus geometricum dans Iequel on aurait retrouvé une grande partie des notions contenues dans les Éléments d'Euclide. Notons ici que la difficulté vient de ce que I'écrit anonyme n'est pas mentionné dans le «résumé historique» de Proclus qui cite Hippocrate de Chios comme auteur des premiers Éléments de géométrieGoogle Scholar.

⁴⁷ Sur Hippocrate de Chios, voir: Tannery, P., La Géométrie Grecque, op. cit. pp. 108–120,Google ScholarAllman, G. J., Greek Geometry from Thalesto Euclid, op. cit. pp. 52–79,Google ScholarMichel, P.-H., De Pythagore à Euclide, pp. 181–182, 247–249Google Scholar.

⁴⁸ Sur Oenopide de Chios, voir: Michel, P.-H., De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 254–255Google Scholar.

⁴⁹ D'Alexandre, CIément, Stromata, I, 357Google Scholar, éd. Potter, fragment traduit par Tannery, P., La Géométrie Grecque, op. cit. p. 121Google Scholar. On trouve aussi ce fragment dans Mullach, , Fragm. Phil. Graec. p. 370Google Scholar.

⁵⁰ Sur Démocrite d'Abdère, voir: Tannery, P., La Geométrie Grecque, op. cit. pp. 121–129,Google ScholarAllman, G. J., Greek Geometry from Thales to Euclid, op. cit. pp. 79–81Google Scholar, et Michel, P.-H., De Pythagore à Euciide, op. cit. pp. 228–232Google Scholar.

⁵¹ Tannery, P. La Géométrie Grecque, op. cit. p. 24.

⁵² Michel, P.-H. De Pythagore à Eudide, op. cit. pp. 79–83.

⁵³ On trouve ce texte dans Diels-Kranz, , Die Fragmente der Vorsakratiker, I, 47B2Google Scholar.

⁵⁴ Nous laissons ici de côté le problème soulevé par des historiens moder-nes sur le rapport entre le fragment 2 d'Archytas et le Timée de Platon. Les uns soutiennent que Platon s'inspire d'Archytas tandis que d'autres affirment qu'Ar-chytas s'inspire de Platon. Comme Platon et Archytas sont des contemporains, i1 nous suffit de présenter ce texte comme un témoin de I'état de la théorie des proportions à I'époque de Platon. Voir à ce sujet, Brìsson, L., Le Même et l'Autre dans la structure ontologique du Timée de Platon, op. cit. pp. 330–332Google Scholar et Guthrie, W.K.C., A History of Greek PhÜosophy, Cambridge, Un. Press, 1967, vol.I, pp. 333–336Google Scholar.

⁵⁵ Michel, P. H.De Pythagore ä Euclide, op. cit. pp. 121–122Google Scholar.

⁵⁶ Le terme μεσοτης est employé par Porphyre, les termes μεσαι et αναλολίαι se trouvent à l'intérieur du fragment d'Archytas. Ces termes ont des sens assez voisins. Voir à ce sujet, P. H. Michel, De Pythagore ù Euclide, pp. 366–368.

⁵⁷ Selon Jamblique, le terme νπεναντίαía aurait été remplacé par le terme αρμονικα par Hippasus et Archytas pour désigner la troisième médiété (In Nicom. Arithm. éd. Pistelli, p. 100, 19–24).

⁵⁸ Voir à ce sujet. Michel, P. H., De Pythagore à Euclide, op. cit. pp. 372–379Google Scholar.

⁵⁹ Nicomaque, en effet, écrit:«Les trois premières analogies (αναλολίαι), qui furent connues des ancie?s — Pythagore, Platon et Aristote — étaient ?arith-métique, la géométrique et ?harmonique» (Introd. Arithm. II, 22, 1) et Jamblique dans son Commentaire de Nicomaque écrit: «Anciennement, au temps de Py—thagore et des mathématiciens ses disciples, il y avait trois médiétés (μεσότητες) seulement: l'arithmétique, la géométrique et la troisième, connue sous le nom de sous-contraire (νπεναντία), mais qu'Archytas et Hippasus désignent sous le nom d'harmonique parce qu'elle est apparue enfermer les rapports concernant l'harmonie et la mélodie» (in Nicom. Arithm., éd. Pistelli, 100, 19–24).

⁶⁰ Peyrard, F.Les Oeuvres d'Euclide, en grec, en latin et en français. Paris, Patris, M., 1814, 3 vols. On trouvera la proposition XX et sa démonstration dans le vol. I, pp. 419–420. Nous avons reproduit la traduction de Peyrard. Comparer avec I'édition Heiberg-Stamatis, vol. II, pp. 126–127. Au sujet du manuscrit 190 de la bibliothèque du Vatican, Peyrard écrit: «Je remarquai aussi que tous ces manuscrits, le no 190 seul excepté, sont à peu de choses près conformes les uns aux autres; que le no 190 remplit des lacunes, et rétablit des passages altérés, qui ne peuvent pas I'être à I'aide des autres manuscrits… Le manuscrit 190 porte tous les caractères des manuscrits de la fin du neuvième siècle, tandis que les autres appartiennent à des siècles beaucoup plus rapprochés de nous» (Préface, p. XIII)Google Scholar.