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Algèbres simpliciales S1-équivariantes, théorie de de Rham et théorèmes HKR multiplicatifs
Published online by Cambridge University Press: 29 July 2011
Abstract
This work establishes a comparison between functions on derived loop spaces (Toën and Vezzosi, Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry, in Algebraic topology: the Abel symposium 2007, Abel Symposia, vol. 4, eds N. Baas, E. M. Friedlander, B. Jahren and P. A. Østvær (Springer, 2009), ISBN:978-3-642-01199-3) and de Rham theory. If A is a smooth commutative k-algebra and k has characteristic 0, we show that two objects, S1⊗A and ϵ(A), determine one another, functorially in A. The object S1⊗A is the S1-equivariant simplicial k-algebra obtained by tensoring A by the simplicial group S1 :=Bℤ, while the object ϵ(A) is the de Rham algebra of A, endowed with the de Rham differential, and viewed as a ϵ-dg-algebra (see the main text). We define an equivalence φ between the homotopy theory of simplicial commutative S1-equivariant k-algebras and the homotopy theory of ϵ-dg-algebras, and we show the existence of a functorial equivalence ϕ(S1 ⊗A)∼ϵ(A) . We deduce from this the comparison mentioned above, identifying the S1-equivariant functions on the derived loop space LX of a smooth k-scheme X with the algebraic de Rham cohomology of X/k. As corollaries, we obtain functorial and multiplicative versions of decomposition theorems for Hochschild homology (in the spirit of Hochschild–Kostant–Rosenberg) for arbitrary semi-separated k-schemes. By construction, these decompositions are moreover compatible with the S1-action on the Hochschild complex, on one hand, and with the de Rham differential, on the other hand.
Résumé
Ce travail a pour objectif d’etablir une comparaison entre fonctions sur les espaces des lacets dérivés (Toën and Vezzosi, Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry, in Algebraic topology: the Abel symposium 2007, Abel Symposia, vol. 4, eds N. Baas, E. M. Friedlander, B. Jahren and P. A. Østvær (Springer, 2009), ISBN:978-3-642-01199-3) et théorie de de Rham. Pour une k-algèbre commutative A, lisse sur k de caractéristique nulle, nous montrons que deux objets, S1⊗A et ϵ(A), se déterminent mutuellement, et ce fonctoriellement en A. L’objet S1⊗A est la k-algèbre simpliciale S1-équivariante obtenue en tensorisant A par le groupe simplicial S1 :=Bℤ. L’objet ϵ(A) est l’algèbre de de Rham de A, munie de la différentielle de de Rham et considérée comme une ϵ-dg-algèbre (i.e. une algèbre dans une certaine catégorie monoïdale de k[ϵ] -dg-modules, où k[ϵ]:=H* (S1,k) ). Nous construisons une équivalence ϕ, entre la théorie homotopique des k-algèbres simpliciales S1-équivariantes et celle des ϵ-dg-algèbres, et nous montrons l’existence d’une équivalence fonctorielle ϕ(S1 ⊗A)∼ϵ(A) . Nous déduisons de cela la comparaison annoncée, identifiant les fonctions S1-équivariantes sur LX, l’espace des lacets dérivé d’un k-schéma X lisse, et la cohomologie de de Rham algébrique de X/k. Cela nous permet aussi de prouver des versions fonctorielles et multiplicatives des théorèmes de décomposition de l’homologie de Hochschild (du type Hochschild–Kostant–Rosenberg), pour des k-schémas semi-séparés quelconques. Par construction, ces décompositions sont de plus compatibles avec d’une part l’action naturelle de S1 sur le complexe de Hochschild, et d’autre part la différentielle de de Rham.
- Type
- Research Article
- Information
- Copyright
- Copyright © Foundation Compositio Mathematica 2011
References
Références
- 26
- Cited by