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Published online by Cambridge University Press: 20 November 2018
Soit $K$ un corps de nombres de degré sur
$\mathbb{Q}$ inférieur ou égal à 2. On se propose dans ce travail de faire quelques remarques sur la question de l'existence de deux éléments non nuls
$a$ et
$b$ de
$K$, et d'un entier
$n\,\ge \,4$, tels que l'équation
$a{{x}^{n}}\,+\,b{{y}^{n\,}}=\,1$ possède au moins trois points distincts non triviaux. Cette étude se ramène à la recherche de points rationnels sur
$K$ d'une variété projective dans
${{\mathbb{P}}^{5}}$
de dimension 3, ou d'une surface de
${{\mathbb{P}}^{3}}$.