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La formule de Cauchy sur la longueur d’une courbe

Published online by Cambridge University Press:  20 November 2018

S. Ayari  and
S. Dubuc
S. Ayari
Affiliation:
Département de mathématiques et de statistique Université de Montréal C.P. 6128, Succursale Centre-ville Montréal, Québec H3C 3J7
S. Dubuc
Affiliation:
Département de mathématiques et de statistique Université de Montréal C.P. 6128, Succursale Centre-ville Montréal, Québec H3C 3J7
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Résumé

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Pour toute courbe rectifiable du plan, nous démontrons la formule de Cauchy relative à sa longueur. La formule est donnée sous deux formes: comme intégrale de la variation totale des projections de la courbe dans les diverses directions et comme intégrale double du nombre de rencontres de la courbe avec une droite quelconque du plan.

Abstract

Abstract

We give a general proof of the Cauchy formula about the length of a plane curve. The formula is given in two ways: as the integral of the variation of orthogonal projections of the curve, and as a double integral of the number of intersections of the curve with an arbitrary line of the plane.

Keywords

28A7528A45longueurvariation bornéegéométrie intégrale
Type
Research Article
Information
Canadian Mathematical Bulletin , Volume 40 , Issue 1 , 01 March 1997 , pp. 3 - 9
Copyright
Copyright © Canadian Mathematical Society 1997

References

1. Banach, S., Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l’aire est finie, Fund. Math. 7 (1925), 225–237 Google Scholar
2. Barbier, E., Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert, J. Math. Pures Appl. (2) 5 (1860), 273–286 Google Scholar
3. Blaschke, W., Vorlesungen Über Integralgeometrie, Chelsea, New York, 1949.Google Scholar
4. Bonnesen, T., Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, Gauthier-Villars, Paris, 1929.Google Scholar
5. Cauchy, A., Notes sur divers théorèmes relatifs à la rectification des courbes, et à la quadrature des surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris 13 (1841), 1060–1063; Oeuvres complètes 6, Gauthier-Villars, Paris, 1888, 369–375.Google Scholar
6. Cauchy, A., Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci. Paris 22 (1850), 3 et suiv; Oeuvres complètes 2, Gauthier-Villars, Paris, 1908, 167–177.Google Scholar
7. Cesari, L., Variation, multiplicity, and semicontinuity, Amer. Math. Monthly 65 (1958), 317–332.Google Scholar
8. Crofton, M. W., On the theory of local probability, applied to straight lines at random in a plane, Philos. Trans. Roy. Soc. 158 (1868), 181–199.Google Scholar
9. do Carmo, M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.Google Scholar
10. Desaulniers, G., Dubuc, S. et Soumis, F., Comparaisons de longueurs de courbes et d’aires de surfaces, Ann. Sci. Math. Québec 17 (1993), 39–51.Google Scholar
11. Jordan, C., Cours d’analyse de l’École Polytechnique, 3ème éd., Gauthier-Villars, Paris (1909).Google Scholar
12. Lebesgue, H., Intégrale, longueur, aire (Thèse de doctorat), Ann. Mat. Pura Appl. 7 (1902), 1–129; Oeuvres scientifiques 2, L’Enseignement mathématique, Genève, 1972, 201–331.Google Scholar
13. Lebesgue, H., Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars, Paris, 1904; Oeuvres scientifiques 2, L’Enseignement mathématique, Genève, 1972, 11–154.Google Scholar
14. Rudin, W., Real and Complex Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1974.Google Scholar
15. Santaló, L. A., Integral Geometry and Geometric Probability, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, (ed. G. C. Rota), Addison-Wesley Pub. Co., Reading, Massachusetts, 1976.Google Scholar
16. Sherman, S., A comparison of linear measures in the plane, Duke Math. J. 9 (1942) 1–9.Google Scholar
17. Tricot, C., Courbes et dimension fractale, Springer-Verlag, Paris, 1993.Google Scholar
18. Valentine, F. A., Convex Sets, McGraw-Hill, New York, 1964.Google Scholar
19. Yaglom, I. M. et Boltjansky, V. G., Convex Figures, Holt Rinehart, et Winston, Inc., New York, 1961.Google Scholar