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Polynômes à Valeurs Entières Et Binômes De Fermat

Published online by Cambridge University Press:  20 November 2018

Jean-Luc Chabert  and
Gilbert Gerboud
Jean-Luc Chabert
Affiliation:
Institut Superieur des Sciences et Techniques, Universite de Picardie, 48rue Raspail, B.P. 422, 02109 Saint-Quentin Cedex, France
Gilbert Gerboud
Affiliation:
Institut Universitaire de Formation des Maîtres de l'Academie d'Amiens, 51boulevard de Châteaudun, 80044 Amiens Cedex 1, France
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Résumé

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Soit A un anneau intègre de corps des fractions K et soit A[X]sub = {P(X) ∈ K[X] ; P(ℤ) ⊂ A} l'anneau des polynômes à valeurs entières sur A. Lorsque la caractéristique de A est nulle, le A-module A[X]sub est contenu dans le A-module {P(X) ∊ K[X] ; P(Z) ⊂ A] engendré par les polynômes binomiaux Bn(X) – X(X – 1) (X – n + 1)/n′. Nous caractérisons ici les anneaux de Dedekind A pour lesquels ces A-modules sont égaux.

Puis nous étudions la situation plus générale dans laquelle A[X]sub = {P(X) ∈ K[X] ; P(A0) ⊂ A} OÙ A0 désigne un anneau de Dedekind contenu dans A. Ce sont alors des polynômes généralisant les binômes de Fermat FP(X) – (Xq – X)/p qui jouent le rôle central.

Abstract

Abstract

Let A be a domain with quotient field K and let A[X]sub = {P(X) ∈ K[X] ; P(A) ⊂ A} the ring of integer-valued polynomials over A. When A is of characteristic zero, the A-module A[X]sub is contained in the A-module {P(X) ∈ K[X] ; P(ℤ) ⊂ A} generated by the binomial polynomials Bn(X) = X(X – 1) (X – n + \)/n′. We characterize the Dedekind domains A for which these A-modules coincide.

Then, we study a more general situation: let A0 be any Dedekind domain contained in A, the ring A[X]sub is included in the ring {P(X) ∈ K[X] ; P(A0) ⊂ A}. We give equivalent conditions for which these two rings coincide, making use of polynomials such that Fermât binomials Fp(X) = (Xq - X)/p.

Keywords

13B2513F0513F2011C0811S05
Type
Research Article
Information
Canadian Journal of Mathematics , Volume 45 , Issue 1 , 01 February 1993 , pp. 6 - 21
Copyright
Copyright © Canadian Mathematical Society 1993

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