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Convexité, complête monotonie et inégalités sur les fonctions zêta et gamma, sur les fonctions des opérateurs de Baskakov et sur des fonctions arithmétiques

Published online by Cambridge University Press:  20 November 2018

G. Bastien
Affiliation:
Institut de Mathématiques de Jussieu, (CNRS et Universités Paris VI, et Paris VII) Equipe d'analyse, Université Pierre et Marie, Curie-Paris 6, Case 186, 4 place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France, e-mail: [email protected]
M. Rogalski
Affiliation:
Institut Mathématiques de Jussieu et UMR AGAT (CNRS et Université de Lille 1), USTL, 59655 Villeneuve d'Ascq, France, e-mail: [email protected]
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Résumé

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Nous prouvons un encadrement optimal pour la quantité $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ pour $x\,\ge \,0$ et $s\,>\,1$, qui améliore l'encadrement standard par des intégrales. Cet encadrement entraîne des inégalités sur la fonction $\zeta $ de Riemann, et amène à conjecturer la monotonie de la fonction $s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$. On donne des applications à l'étude de la convexité de fonctions liées à la fonction $\Gamma $ d'Euler et à la majoration optimale des fonctions élémentaires intervenant dans les opérateurs de Baskakov. Puis, nous étendons aux fonctions complètement monotones sur ]$0,\,+\infty $[ les résultats établis pour la fonction $x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$, et nous en déduisons des preuves élémentaires du comportement, quand $z$ tend vers 1, des séries génératrices de certaines fonctions arithmétiques. Enfin, nous prouvons qu'une partie du résultat se généralise à une classe de fonctions convexes positives décroissantes.

Abstract

Abstract

We give optimal upper and lower bounds for the function $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ for $x\,\ge \,0$ and $s\,>\,1$. These bounds improve the standard inequalities with integrals. We deduce from them inequalities about Riemann's $\zeta $ function, and we give a conjecture about the monotonicity of the function $s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$. Some applications concern the convexity of functions related to Euler's $\Gamma $ function and optimal majorization of elementary functions of Baskakov's operators. Then, the result proved for the function $x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$ is extended to completely monotonic functions. This leads to easy evaluation of the order of the generating series of some arithmetical functions when $z$ tends to 1. The last part is concerned with the class of non negative decreasing convex functions on ]$0,\,+\infty $[, integrable at infinity.

Type
Research Article
Copyright
Copyright © Canadian Mathematical Society 2002

References

Références

[1] Alzer, H., On some inequalities for the Gamma and Psi functions. Math. Comp. (217) 66 (1997), 373389.Google Scholar
[2] Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R., Special Functions. Encyclopedia Math. Appl. 71, Cambridge University Press, 1999.Google Scholar
[3] Baker, A., A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, 1984.Google Scholar
[4] Becker, M., Global Approximation Theorems for Szasz-Mirakjan and Baskakov Operators in Polynomial Weight Spaces. Indiana Univ.Math. J. (1) 27 (1978), 127142.Google Scholar
[5] Bourbaki, N., Fonctions de variables réelles. chapitre VI et VII, Hermann.Google Scholar
[6] Chandrasekharan, K., Arithmetical Functions. Springer-Verlag, 1970.Google Scholar
[7] Delange, H., Une remarque sur la dérivée logarithmique de la fonction z.eta de Riemann. Colloq. Math. (2) LIII(1987).Google Scholar
[8] Dwight, H. B., Mathematical Tables of elementary and some higher mathematical functions. Dower Public., New York.Google Scholar
[9] Ellison, W. J., Les nombres premiers. Hermann, 1975.Google Scholar
[10] Gupta, V., Communication personnelle.Google Scholar
[11] Gupta, V., Gupta, P. and Rogalski, M., Improved rate of convergence for the modified Szasz-Mirakyan operators. Approx. Theory Appl. (3) 16 (2000), 9499.Google Scholar
[12] Hardy, G. H., Littlewood, J. E. and Pólya, G., Inequalities. Cambridge, 1967.Google Scholar
[13] Hardy, G. H. and Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers. fifth edition, Oxford University Press, 1979.Google Scholar
[14] Pólya, G. and Szegö, G., Problems and Theorems in Analysis. Vol. I. Springer-Verlag, 1972.Google Scholar
[15] Ramaré, O., Communication personnelle.Google Scholar
[16] Tenenbaum, G., Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. Cours spécialisé, Collection Société Mathématique de France, 1995.Google Scholar
[17] Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946.Google Scholar
[18] Xiaoming, Zeng, Bounds for Bernstein Basis Functions and Meyer-König and Zeller Basis Functions. J. Math. Anal. Appl. 219(1998).Google Scholar