Published online by Cambridge University Press: 20 November 2018
Nous prouvons un encadrement optimal pour la quantité $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ pour
$x\,\ge \,0$ et
$s\,>\,1$, qui améliore l'encadrement standard par des intégrales. Cet encadrement entraîne des inégalités sur la fonction
$\zeta $ de Riemann, et amène à conjecturer la monotonie de la fonction
$s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$. On donne des applications à l'étude de la convexité de fonctions liées à la fonction
$\Gamma $ d'Euler et à la majoration optimale des fonctions élémentaires intervenant dans les opérateurs de Baskakov. Puis, nous étendons aux fonctions complètement monotones sur ]
$0,\,+\infty $[ les résultats établis pour la fonction
$x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$, et nous en déduisons des preuves élémentaires du comportement, quand
$z$ tend vers 1, des séries génératrices de certaines fonctions arithmétiques. Enfin, nous prouvons qu'une partie du résultat se généralise à une classe de fonctions convexes positives décroissantes.
We give optimal upper and lower bounds for the function $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ for
$x\,\ge \,0$ and
$s\,>\,1$. These bounds improve the standard inequalities with integrals. We deduce from them inequalities about Riemann's
$\zeta $ function, and we give a conjecture about the monotonicity of the function
$s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$. Some applications concern the convexity of functions related to Euler's
$\Gamma $ function and optimal majorization of elementary functions of Baskakov's operators. Then, the result proved for the function
$x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$ is extended to completely monotonic functions. This leads to easy evaluation of the order of the generating series of some arithmetical functions when
$z$ tends to 1. The last part is concerned with the class of non negative decreasing convex functions on ]
$0,\,+\infty $[, integrable at infinity.