We have printed the foregoing paper by Mr. Munden as submitted because we think that the detailed analysis will be of interest to all who have interests in the field of motor insurance rating. Of necessity, the data does not lend itself to analysis with respect to some of the known variables and we are conscious that some of the conclusions are controversial; some factors have also emerged from the discussions within ASTIN on motor insurance and it is therefore hoped that the following comments will be of value in relation to the paper.

It is of the utmost importance that a clear distinction is drawn between the concept of accident proneness and the heterogeneity shown from observations of claim frequencies under insurance policies. As the discussion at La Baule brought out, the first conclusion to be derived when a compound Poisson distribution emerged is that there is a degree of heterogeneity in the data. This might be due to differences in accident probabilities of the underlying risks, but it could be due, for example, to different exposures of similar risks. Lanteli's paper to the Rättvik colloquium showed a substantial variation of claims experience with annual mileage and thus without an analysis controlled with respect to mileage the conclusion that a proneness factor is solely involved must be suspect.

Discriminant analysis is an application of multivariate analysis, which may have its use in determining accident risk levels and premiums of industrial enterprises. This paper only aims to give some suggestions. The following questions will be considered.

1. Determining a discriminant function which makes it possible to discriminate between the risk levels of the industrial branches in an efficient way. The industrial branches comprise enterprises with comparable risk levels, hence they are to be considered as homogeneous groups. The function will at the same time serve as a means to classify seperate enterprises into one of these groups.

2. Fixing risk functions which enable us to rank the enterprises of an industrial branch to increasing risk on the ground of observations of a number of variates which characterize the risk situation.

3. Using these risk functions to calculate premiums. The classification-question mentioned under I was the reason to consider the technique of the discriminant analysis. By virtue of the Dutch Industrial Accidents Act every five years a tariffdecree is being published. This decree contains the premiums per wage-unit for the industrial branches. However, there are enterprises e.g. large compound enterprises which do not fall under these regulations. These enterprises ought to be classified according to their own experience. That means we need the knowledge of the risk levels of these particular enterprises in relation to the fixed risk levels of the industrial branches. As mentioned, this is a problem inherent to the typical Dutch situation. It seems, however, probable that such problems and the techniques we intend to sketch have a wider and more general meaning for the accident insurance.

In this paper we shall study the problem of determining “correct” premium rates for sub-groups of an insurance collective. This problem obviously occurs in all branches of insurance. However, it seems at present to be a really burning issue in automobile insurance. We shall show that the problem can be formulated as a conflict between groups which can gain by co-operating, although their interests are opposed. When formulated in this way, the problem evidently can be analysed and solved by the help ot the “Game Theory” of Von Neumann and Morgenstern (5).

We shall first illustrate the problem by a simple example. We consider a group of n1 = 100 persons, each of whom may suffer a loss of 1, with probability p1 = 0.1. We assume that these persons consider forming an insurance company to cover themselves against this risk. We further assume that for some reason, government regulations or prejudices of managers, an insurance company must be organized so that the probability of ruin is less than 0.001

If such a company is formed, expected claim payment will be

and the standard deviation of the claim payments will be

If the government inspection (or the company's actuary) agrees that the ruin probability can be calculated with sufficient approximation by assuming that the claim payments have a normal distribution, the company must have funds amounting to

Dans plusieurs études [1] Ammeter a démontré que la distribution binomiale négative généralisée peut être interprétée de différentes manières, à savoir comme

a. une contagion des probabilités (Pólya-Eggenberger);

b. une distribution de Poisson basée sur des probabilités fondamentales variables;

c. une distribution de Poisson où la probabilité fondamentale de sinistres n'est pas suffisamment connue;

d. une distribution de Poisson par rapport aux événements, où un seul événement peut comporter plusieurs prétentions de sinistres;

e. une distribution de Poisson basée sur une modification de la répartition des montants de sinistres.

On a, en effet, les relations suivantes:

a. la contagion des probabilités

où F(x, P, h, p(z)) représente la probabilité que le sinistre est au plus égal à x dans un intervalle de temps où le sinistre probable est P. x et P y sont exprimés en le sinistre moyen par événement. p(z)dz est la fonction de fréquence du sinistre par événement.

Nous posons est la convolution de p(z) avec p(z), faite r fois, tandis que h est la notation du paramètre qui figure dans la distribution binomiale négative. Si h est égal à ∞ nous obtenons comme fonction de répartition pour le nombre d'événements survenus la distribution de Poisson.

J'ai longtemps hésité à donner cette conférence. J'ai craint de déborder largement le cadre des thèmes proposés à Rättvik. Cependant, je pense que la question que je voudrais exposer se rattache plus ou moins à la question que nous avons discutée aujourd'hui et qui consiste à choisir pour un risque déterminé la fonction de distribution adéquate.

Ma première réflexion à ce sujet pourra paraître surprenante: je ne suis pas du tout convaincu que nous devons toujours et à tout prix essayer de trouver une représentation analytique du risque étudié. Remarquons que l'on ait ou non une telle possibilité, elle ne change rien au fait que l'on a traité dans le passé et que l'on continue à pratiquer l'assurance des risques divers sans avoir une représentation mathématique plus au moins bien approchée de la fonction de répartition du risque couru).

Il y a, par ailleurs, de bonnes raisons de craindre que l'on arrive jamais à une solution unique; en effet ce qui intéresse la Compagnie cédante c'est la partie de la fonction de répartition qui correspond aux petits et moyens sinistres: par contre pour le réassureur c'est la partie relative aux grands sinistres qui importe. Comme dès lors, en pratique, c'est le réassureur qui imposera la distribution correspondant à ses propres risques et qui sera définie à l'échelle internationale. Celle-ci sera tout naturellement différente de celle admise par la Compagnie cédante pour une production plus locale. Il y a là, en fait, des exigences pratiques qui conduisent à des solutions multiples.

In a paper entitled “An Attempt to Determine the Optimum Amount of Stop Loss Reinsurance” (XVIth Int. Congr. Act. Bruxelles 1960) Karl Borch has shown that, if the reinsurance premium is given, the smallest variance of the cedent's payments is obtained by a stop-loss reinsurance contract. Paul Markham Kahn, in “Some Remarks on a Recent Paper by Borch”, a paper read to the 1961 Astin Colloquium, has given an elegant proof of this theorem which appears to apply also to cases not considered by Borch. In this paper we study the problem from the reinsurer's point of view and it will be seen that, under natural conditions which are also used in the proof of the Borch-Kahn theorem, the minimum variance of the reinsurer's payments is obtained by a quota contract. This focusses attention on a peculiar opposition of interests of the two partners of a reinsurance contract. However, we do not enter any further into the investigation of a possible resolution of this conflict.

We study a problem concerning the division of risk between a cedent and his reinsurer. The risk may refer to a whole portfolio (in which case one might consider a Stop-Loss contract), or to a single contract (when an Excess-Loss contract is a possibility). We shall here use the nomenclature of a portfolio reinsurance.

Let it be assumed that a function F(x) is known which gives the probability of a total claim not exceeding x. We have then in Stieltjes integral notation

The two partners to a reinsurance arrangement agree that the reinsurer reimburses m(x).x out of a claim of x, where m(x) is a continuous and differentiate function of x and o ≤ m(x) ≤ 1.

Besides its well known applications, the collective risk theory has recently also been applied to problems connected with the so called Experience Rating. This term is used to define a method of premium calculation in insurance business which is based partially or totally on the individual experience of the particular risk involved. It is obvious that Experience Rating is essentially applicable to collective insurances which contain no saving element. In practical applications various possibilities may be considered.

The collective theory of risk provides an efficient calculus for the analysis of the various forms of Experience Rating and in paper [3] a particular form of Experience Rating for collective insurances is examined. It is there assumed that the collective risk premium is based on experience derived from non-individual observations. If any cost loading is disregarded, the net premium is given by the relation P′ = (I + λ) P, where λ is a security factor and P the part of the premium covering the expected claims cost.

A premium refund

is to be deducted from the basic net premium P′. In this formula α′ and β are suitable numerical values and S means the due sum to be paid out for claims. Hence the net cost to the group considered depends on the actual claims S and therefore takes into account the individual claims experience. It may be shown that for β = I the form of Experience Rating considered is equivalent to a stop loss cover. The general case with β ≠ I represents a combination of ordinary insurance cover and stop loss cover.

La question est controversée de savoir si l'on doit tenir compte du revenu des placements — et éventuellement des bénéfices sur réalisations de valeurs — pour apprécier le résultat technique de la branche Automobiles.

Rappelons qu'en France, réglementairement, dans les états B3 qui font apparaître le résultat technique de la catégorie, on tient compte des frais généraux, ce qui est normal, mais non des intérêts.

En réalité, il semble bien qu'il soit difficile de faire abstraction d'un élément non négligeable de profits et pertes qui dérive de l'exercice même de l'industrie de l'Assurance, mais la question demeure de savoir dans quelle mesure il faut en tenir compte.

Nous allons montrer que la question est intimement liée à la conception même que l'on se fait du montant des réserves techniques à inscrire au passif du bilan.

On ne peut avoir une idée saine tant des résultats techniques que des revenus de placements que si la comptabilité est établie par exercice de souscription. C'est l'hypothèse que nous retiendrons dans ce qui va suivre).

Un tel exercice donne lieu à encaissement d'un certain montant de primes, au paiement de commissions et de frais généraux et enfin au paiement de sinistres s'échelonnant dans le temps, au delà de la clôture calendrier de l'exercice.

Pour plus de rigueur même — et l'on peut se référer au mode de raisonnement appliqué en Assurance sur la Vie — il faut considérer séparément les différentes échéances de primes, chacune se comportant comme une sorte d'exercice isolé: ensemble des assurances à échéance du Ier janvier, ensemble des assurances à échéance du 2 janvier, etc… jusqu'à celles à échéance du 31 décembre. (Il est indifférent de raisonner sur un ensemble ou „en valeur probable” selon le principe actuariel classique).

Cette note est présentée par un actuaire qui n'a eu que depuis peu à s'intéresser aux branches d'assurances autres que la Vie et seulement du point de vue de la gestion administrative, à l'occasion de la mise en œuvre d'un grand ensemble électronique de traitement de l'information. Il ne faut done pas s'attendre à trouver ici une théorie sur la détermination des montants à réserver pour les sinistres à régler, encore moins sur la construction des tarifs d'assurance automobile.

Néanmoins, la gestion administrative n'ayant pas pour seul but de recueillir et de classer des données comptables, nous serons bien naturellement conduits à prévoir comment ces données peuvent être liées à des recherches sur ces deux questions fondamentales.