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LES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES ENTRE GÉOMÉTRIE ET ALGÈBRE: L'ÉPÎTRE D'AB AL-JD À AL-BRN

Published online by Cambridge University Press:  05 March 2010

ROSHDI RASHED
ROSHDI RASHED
Affiliation:
Centre d'histoire des sciences et des philosophies arabes et médiévales, CNRS – Université Paris-Diderot – UMR 7219, 5 rue Thomas Mann, Bâtiment Condorcet, Case 7093, 75205 Paris Cedex 13 Email: [email protected]
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Abstract

Abū al-Jūd Muḥammad ibn al-Layth is one of the mathematicians of the 10th century who contributed most to the novel chapter on the geometric construction of the problems of solids and super-solids, and also to another chapter on solving cubic and bi-quadratic equations with the aid of conics. His works, which were significant in terms of the results they contained, are moreover important with regard to the new relations they established between algebra and geometry. Good fortune transmitted to us his correspondences with the mathematician and astronomer al-Bīrūnī. The questions they debated, and the answers they yielded, all offer us multiple in vivo perspectives on the research that was undertaken in that period. The reader would find in this article a critical edition and French translation of this correspondence, with historical and mathematical commentaries.

Résumé

Abū al-Jūd Muḥammad ibn al-Layth est l’un des mathématiciens du xe siècle qui ont le plus contribué au nouveau chapitre sur les constructions géométriques des problèmes solides et sur-solides, ainsi qu’à un autre chapitre, sur la solution des équations cubiques et biquadratiques à l’aide des coniques. Ses travaux, importants pour les résultats qu’ils renferment, le sont aussi par les nouveaux rapports qu’ils instaurent entre l’algèbre et la géométrie. La bonne fortune nous a transmis sa correspondance avec le mathématicien et astronome al-Bīrūnī. Les questions qui y sont débattues, les réponses apportées, nous offrent, in vivo, plusieurs perspectives sur la recherche qui était alors menée. Le lecteur trouve dans cet article l’édition critique de cette correspondance, sa traduction française ainsi qu’un commentaire historique et mathématique.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 20 , Issue 1 , March 2010 , pp. 1 - 51
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2010

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References

1 R. Rashed, Al-Khwārizmī: The Beginnings of Algebra, “History of Science and Philosophy in Classical Islam” (Londres, 2009); Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques. Algèbre et géométrie au xiie siècle, “Sciences et philosophie arabes – textes et études” (Paris, 1986).

2 R. Rashed, “Résolution géométrique des équations du second degré”, dans R. Rashed (éd.), Thābit ibn Qurra: Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad, Scienca Graeco-Arabica 4 (Berlin/New York, 2009), pp. 153–69.

3 Apollonius: Les Coniques, tome 1.1: Livre I, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed (Berlin/New York, 2008).

4 R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales du ixe au xie siècle, vol. III: Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique (Londres, 2000), pp. 919–35.

5 R. Rashed et B. Vahabzadeh, Al-Khayyām mathématicien (Paris, 1999).

6 Sur la vie et les faits d’Abū al-Jūd, nous connaissons peu: quelques rares informations fournies par lui-même et par ses contemporains. On sait par exemple qu’il occupait une position dans l’administration de l’État, puisqu’il se plaignait que “les affaires du pouvoir” l’empêchent de se consacrer entièrement à ses recherches en mathématiques (Les mathématiques infinitésimales, III, 720–1). Sa première contribution mathématique connue – sur la construction de l’heptagone – est datée de 968–9. Il a été en correspondance avec des mathématiciens comme al-Sijzī et al-Bīrūnī, donc de la fin du dernier tiers du xe siècle et du début du siècle suivant.

7 Les mathématiques infinitésimales, III.

8 Rashed et Vahabzadeh, Al-Khayyām mathématicien.

9 R. Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londres, 2005), pp. 7–10.

10 Voir plus loin.

11 Rashed, Geometry and Dioptrics.

12 F. Woepcke, L’algèbre d’Omar Alkhayyamī, publiée, traduite et accompagnée d’extraits de manuscripts inédits (Paris, 1851), Notice D, pp. 114–16.

13 Considérons comme axe des abscisses avec BC = a, x B = 0, x C = a et x A = x 0 > 0. On cherche D sur [BC], = x (avec 0 < x < a) tel que

Or Δ = a[5a – 4x 0], Δ ≥ 0 ⇔ x 0 = 5a/4.

Si x 0 = 5a/4, l’équation a une racine double, x = a/2; le point D cherché est le milieu de BC.

Si a < x 0 < 5a/4, on a x = (a ± √Δ)/2, l’équation a deux racines 0 < x 1 < a/2 et a/2 < x 2 < a, auxquelles correspondent deux points D 1 et D 2 symétriques par rapport au milieu de BC.

Si x 0 > 5a/4, le problème n’a pas de solution.

Si en effet le point A est sur BC, A = K, l’hyperbole ℋ se décompose en deux demi-droites, les demi-asymptotes. On peut encore, suivant la position de K, avoir 0, 1 ou deux solutions. C’est, semble-t-il, cette conclusion qu’Abū al-Jūd, entend obtenir.

14 Rashed et Vahabzadeh, Al-Khayyām mathématicien, pp. 38–40, 164–8.

15 Éd. Imam Ibrahim Ahmad (Le Caire, 1965), pp. 101–7.

16 Les mathématiques infinitésimale, vol. III, p. 363.

17 Rashed, Geometry and Dioptrics, chap. IV, voir notamment pp. 366–8.

18 L’Almageste, MS Leiden 680, fol. 7.