¹ Mersenne, Marin, La vérité des sciences (Paris, 1625), p. 859 sqqGoogle Scholar. Après avoir rappelé la définition de l'angle de contingence, il écrit: “Néanmoins quelques-uns ne veulent pas accorder que l'espace qui est entre la tangente et le cercle soit un angle, c'est pourquoi Viète conclut au huitième livre de ses réponses mathématiques chapitre treize que l'angle du demi-cercle n’étant pas obtus, ni aigu, qu'il semble être droit, et par conséquent que ce qui reste, c'est-à-dire ce qu'on appelle angle de contingence, ϰερατοειδὴς, n'a aucune quantité, et que c'est seulement un angle imaginaire, γωνία εἰϰονιϰή, d'autant qu'il n'est mesuré par aucune circonférence […]” (ibid., pp. 866–7).

² Rashed, R., Les mathématiques infinitésimales du ix^e au xi^e siècle, vol. IV: Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques (Londres, 2002)Google Scholar et “L'analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham”, dans Rashed, R. (éd.) Mathématiques et philosophie de l'Antiquité à l'âge classique. Études en hommage à Jules Vuillemin (Paris, 1991), pp. 131–62Google Scholar.

³ Rashed, R., Œuvre mathématique d'al-Sijzī. Volume I: Géométrie des coniques et théorie des nombres au x^e siècle, Les Cahiers du Mideo 3 (Louvain-Paris, 2004), pp. 93–104 et 294–309Google Scholar.

⁴ Newton étudie à plusieurs reprises l'angle de contact que les courbes définies par les équations y = kx ^α font avec l'axe des abscisses à l'origine. Il compare entre elles les diverses ordonnées correspondant à la même abscisse. En d'autres termes, il ordonne les angles suivant les valeurs de l'exposant α, et trouve ainsi ce qui devient plus tard l'ordre des infiniment petits. Il engage aussi la recherche sur la mesure de la courbure, que ses successeurs continueront à développer. Voir notamment le problème 5 de “Methods of series and fluxions”, dans Whiteside, D. T. (éd.), Mathematical Papers of Isaac Newton (Cambridge, 1969), vol. III: 1670–1673, pp. 150 sqq.Google Scholar; La méthode des fluxions et des suites infinies, traduit par de Buffon, M. (Paris, 1740; réimpr. 1966), p. 63 sqq.Google Scholar; voir également vol. I, pp. 83–7. Newton étudie le problème dans les Principia Mathematica, livre I, section 1, scholie au lemme XI: “Dans toutes les courbes qui ont une courbure finie au point de contact, la soustendante évanouissante d'un angle de contact est à la fin en raison doublée de la soustendante de l'arc qu'elle termine” (Isaac Newton's Philosophiae naturalis Principia mathematica, éd. Koyré, A. et Cohen, I. B. [Cambridge, Mass., 1972], vol. I, p. 83Google Scholar; Principes mathématiques de la philosophie naturelle, traduction de la Marquise du Chastellet [Paris, 1966], p. 44)Google Scholar. Voir aussi les lemmes prédédents, VI à IX. Notons que cette recherche de Newton qui conclut tant d'études et de controverses sur l'angle de contingence est directement liée au calcul infinitésimal, qu'il fondait pendant les années 1664–1686.

⁵ Morrison, D., “The taxonomical interpretation of Aristotle's Categories: A criticism”, dans Anton, P. (éd.), Essay in Ancient Greek Philosophy. Volume V: Aristotle's Ontology (New York, 1992), pp. 19–46, à la p. 20Google Scholar.

⁶ Aristotle's Prior and Posterior Analytics, A revised text with introduction and commentary by Ross, W. D. (Oxford, 1949), 41 b, 6–22Google Scholar; et le commentaire de Ross pp. 374–6.

⁷ Aristote, Météorologiques, 376 a 11–24 b 1, 4; De Memoria, 452 b 19–20.

⁸ Cité par W. D. Ross, Aristotle's Prior and Posterior Analytics, p. 375 à partir de Abh. zur Gesch. der Math. Wissenschaften, xviii (1904).

⁹ Avicenne n'évoque pas l'angle de contingence dans son mémoire sur l'angle, alors que dans al-Shifāʾ, lors de la discussion de l'atomisme, il écrit: “Parmi leurs arguments (des atomistes) l'existence d'un angle indivisible, celui qu'Euclide a posé le plus petit des aigus” (al-Ṭabīʿiyyāt, 1. al-Samāʿ al-ṭabīʿī, éd. S. Zayed [Le Caire, 1983], livre III, p. 186). Dans son autre livre, al-Mubāḥathāt, toujours à propos de l'atomisme et des arguments des atomistes, il écrit: “Ils ont établi une partie indivisible par des démonstrations … parmi lesquelles la proposition du troisième livre d'Euclide dans laquelle il a montré l'existence d'un angle plus petit que tous les angles aigus rectilignes” (éd. M. Bīdārfar [Téhéran, 1413/1992], pp. 363–4).

Il reste qu'al-Shīrāzī, dans son traité Sur le mouvement du roulement, attribue à Avicenne une étude fautive de l'angle de contingence. Cette étude ne figure dans aucun des traités d'Avicenne sur l'angle que j'ai pu examiner (MS Istanbul, Yeni Cami 221, fol. 18^r): “Fa-innahu lahu (Ibn Sīnā) maqāla fī al-zāwiya allatī bayna al-muḥīṭ wa-al-mumāss”.

¹⁰ Il s'agit notamment de la discussion de l'atomisme par les théologiens-philosophes (al-Mutakallimūn); cf. Rashed, M., “Kalām e filosofia naturale”, dans Storia della scienza, vol. III: La civiltà islamica, Enciclopedia Italiana (Rome, 2002), pp. 49–72Google Scholar.

¹¹ Voir le commentaire de Th. Heath à la proposition III.16, dans The Thirteen Books of Euclid's Elements, translated with introduction and commentary, 2^e éd. (New York, 1956), vol. II, pp. 39–43Google Scholar; ainsi que les commentaires de B. Vitrac à sa traduction des Éléments d'Euclide (Paris, 1990), vol. I, pp. 158–9, 203, 426–7; et Itard, J., “Quelques remarques sur la notion d'angle et sur l'angle de contingence”, dans L'aventure de la science. Mélanges Alexandre Koyré (Paris, 1964), vol. I, pp. 346–59Google Scholar.

Pour les travaux de Peletier, Clavius, Wallis, et sur l'histoire de l'angle de contingence, c'est Luigi Maierù qui a marqué la recherche moderne. Voir ses importantes contributions: “La polemica fra J. Peletier e C. Clavio circa l'angolo di contatto”, dans Atti del Convegno Internazionale: Storia degli studi sui fondamenti della Matematica e connessi sviluppi interdisciplinari, Pisa-Tirrenia, 26–31 marzo 1984 (Luciani, 1989), vol. I, pp. 226–56Google Scholar; “John Wallis: ‘Lettura della polemica fra Peletier e Clavio circa l'angolo di contatto’”, dans Galluzzi, M. (éd.), Atti del Convegno “Giornate di storia della matematica”, Cetraro, 8–12 settembre 1988 (Commenda di Rende, 1991), p. 315–64Google Scholar; “… in Christophorum Clavium De Contactu Linearum Apologia – Considerazioni attorno alla polemica fra Peletier e Clavio circa l'angolo di contatto (1579–1589)”, Archive for History of Exact Sciences, 41 (1990): 115–37CrossRefGoogle Scholar. Voir également Itard, J., “L'angle de contingence chez Borelli”, Archives internationales d'histoire des sciences, 56–57 (1961): 201–24Google Scholar; Rommevaux, S., “Un débat dans les mathématiques de la Renaissance: le statut de l'angle de contingence”, Journal de la Renaissance, vol. IV (2006): 291–302CrossRefGoogle Scholar; et Loget, F., “Wallis entre Hobbes et Newton. La question de l'angle de contact chez les Anglais”, Revue d'histoire des mathématiques, t. 8, fasc. 2 (2002): 207–62Google Scholar.

¹² Cf. Rommevaux, “Un débat dans les mathématiques de la Renaissance”, pp. 294–6.

¹³ Voir Itard, “Quelques remarques sur la notion d'angle”.

¹⁴ MS Rabat 1101, fol. 1^v.

¹⁵ Ibid., fol. 20^v.

¹⁶ Ibid.

¹⁷ Procli Diadochi, In Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii, éd. Friedlein, G. (Hildesheim, 1967), pp. 121–8Google Scholar; Les Commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide, trad. Ver Eecke, P. (Bruges, 1948), pp. 109–17Google Scholar.

¹⁸ Voici la classification de Proclus: “Enfin, les angles compris sous des lignes droites et ceux compris sous des circonférences le sont sous des lignes simples. Ces derniers comportent à leur tour des angles de même espèce; car deux circonférences qui se coupent mutuellement ou se touchent forment des angles, elles aussi, au nombre de trois: l'angle biconvexe lorsque les convexités des circonférences sont à l'extérieur, l'angle biconcave, appelé systroïde, lorsque les concavités sont à l'extérieur, et l'angle mixte de convexe et de concave tel que ceux des lunules. D'autre part, les angles compris sous des lignes droites et des circonférences le sont aussi de deux manières: sous une ligne droite et une circonférence convexe, comme l'angle semi-circulaire, ou sous une ligne droite et une circonférence concave comme l'angle corniculaire. Enfin, tous les angles compris sous deux lignes droites seront appelés rectilignes et donnent lieu à une triple distinction” (Proclus, in Eucl. 127.3–16).

¹⁹ “Telles étaient donc les apories, et bien qu'Euclide dise que l'angle est une inclinaison et Apollonius qu'il est le rassemblement d'une surface ou d'un solide au niveau d'un point en-dessous d'une ligne ou d'une surface brisée – car il semble définir ainsi tout angle en général –, nous dirons, nous, à la suite de notre Précepteur [Syrianus d'Alexandrie], que l'angle n'est aucune des choses mentionnées prise pour soi, mais qu'il tire son existence de leur combinaison à toutes, et que c'est pour cela qu'il a mis dans l'incertitude ceux qui ont été portés en faveur de l'une d'elles seulement” (Proclus, in Eucl. 123.14–23).

²⁰ On pense ici à Ibrāhīm ibn Sinān, al-Qūhī, al-Sijzī, entre autres.

²¹ MS Istanbul, Aya Sofia 4829, fols. 47^v–48^r.

²² Heiberg, vol. III, p. 117; MS Rabat 1101, fol. 20.

²³ Ibn al-Haytham écrit dans Sharḥ muṣādarāt Kitāb Uqlīdis (L'Explication des postulats du livre d'Euclide), MS Oxford, Bodleian Hunt. 237, fol. 190^v:

فالزاوية التي يحيط بها خط مستقيم ومحدب القوس، هي التي ذكرها أقليدس في الشكل الخامس عشر من هذه المقالة، أعني الثالثة، عند ذكره للخط المماس للدائرة، وهي الزاوية التي يحيط بها الخط المماس وحدبة الدائرة، وبين أنها أصغر من كل زاوية حادة مستقيمة الخطين، ولم يقدم لها أقليدس حدًا ولا ذكرًا، لأنه لم يستعملها إلا في موضع واحد، وهو الذي ذكرناه؛ وقد يمكن أن تُحدّ بأن يقال زاوية التماس.

“L'angle entouré par une ligne droite et la concavité de l'arc est celui qu'Euclide a mentionné dans la quinzième proposition de ce livre, c'est-à-dire le troisième, lorsqu'il a mentionné la droite tangente au cercle; c'est l'angle entouré par la droite tangente et la concavité du cercle. Il a montré qu'il est plus petit que tout angle aigu rectiligne; mais Euclide n'en a présenté ni une définition ni un nom; car il ne l'a utilisé que dans un seul endroit, celui que nous avons mentionné. Or il est possible de le définir en disant: l'angle de tangence”.

²⁴ In Eucl. 121.24–122.7.

²⁵ Arisṭūṭālīs, , al-Ṭabīʿa, tarjamat Isḥāq ibn Ḥunayn, éd. Badawī, ʿA. (Le Caire, 1965), p. 783Google Scholar.

²⁶ Voir Fig. 2.

²⁷ Jean Philopon, In Analyt. Post. 112.36–114.17, dans Commentaria in Aristotelem Graeca, edidit Wallies, M. (Berlin, 1909), vol. XIII, pars IIIGoogle Scholar.

²⁸ Al-Shifāʾ, al-Ṭabīʿiyyāt, éd. Zayed, p. 201.

²⁹ “D'autre part, Pappus nous a justement rendus attentifs au fait que la réciproque, c'est-à-dire qu'un angle égal à un angle droit est toujours droit, n'est pas vraie, mais que cet angle est nécessairement droit s'il est rectiligne; que l'on peut cependant montrer aussi un angle curviligne égal à un angle droit. Il est clair qu'un tel angle ne sera plus appelé droit. En effet, nous avons admis l'angle droit dans la section des angles rectilignes en l'établissant sous une ligne droite placée sans inclinaison sur une ligne droite sous-jacente; de sorte qu'un angle égal à un angle droit n'est pas nécessairement droit s'il n'est pas rectiligne. Imaginons donc deux lignes droites AB, B Γ égales formant l'angle au point B droit, et soient décrits, sur ces droites, les demi-cercles AEB, BZ Γ de même centre et égaux de distance. Dès lors, puisque ces demi-cercles sont égaux, ils coïncident l'un avec l'autre, et l'angle compris sous l'arc EB et la droite BA est égal à l'angle compris sous l'arc ZB et la droite B Γ.

Ajoutons de part et d'autre l'angle restant compris sous les droites AB et l'arc BZ, il s'ensuit que l'angle droit entier est égal à l'angle en forme de croissant compris sous les arcs EB, BZ; et cet angle en forme de croissant n'est néanmoins pas un angle droit. Si l'angle compris sous les droites AB, B Γ est obtus ou aigu, on montrera de même qu'un angle en forme de croissant lui est égal; car c'est là la forme des angles curvilignes qui se concilie avec les angles rectilignes, sauf à savoir qu'il faut ajouter l'angle mitoyen compris sous la droite AB et l'arc BZ pour l'angle droit et l'angle obtus, et le retrancher pour l'angle aigu; car la droite AB y coupe l'arc BZ. Nous exposons donc les dessins relatifs à chacune de ces suppositions (Fig. 3).

Nous avons donc consigné sommairement les choses qui prouvent que tous les angles droits sont égaux entre eux, et qu'un angle égal à un angle droit n'est pas nécessairement un angle droit; car comment dirait-on qu'un tel angle est droit alors qu'il n'est pas rectiligne?” (Proclus, in Eucl. 189.12–1914).

³⁰ Codex Leidensis 399,1. Euclidis Elementa, éd. Besthorn, R. O. et Heiberg, J. L. (Copenhague, 1897), pp. 22–4Google Scholar.

³¹ Ibid., p. 22.

³² “L'angle qu'entourent cette droite et la circonférence”, qui est désigné dans le texte grec par l'expression “angle restant”, λοιπὴ <γωνία>. Cf. ci-dessus.

³³ Codex Leidensis 399,1, Livre III, pp. 70–2.

³⁴ Sur ce manuscrit de Lahore, coll. Nabī Khān, voir Rashed, R., Les mathématiques infinitésimales du ix^e au xi^e siècle, vol. IV: Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques (Londres, 2002), p. 738Google Scholar.

³⁵ Cf. Catégories, 6; Physique, 4, ch. 1 à 5; Métaphysique Δ, 13, 1020 sq.

³⁶ “Il en ressort clairement (de III.15) que toute droite menée <perpendiculairement> de l'extrémité du diamètre d'un cercle quelconque est tangente au cercle, et nous en venons à tracer par des points <en nombre> infini que l'on suppose sur la droite EC avant ou après son prolongement dans la direction de CD, <un nombre> infini de cercles, dont le demi-diamètre de chacun est de la grandeur de ce qui se trouve de la droite DC entre les points à partir desquels on trace les cercles, et le point D; et de sorte que la perpendiculaire DG soit perpendiculaire au diamètre de chacun des cercles et que la circonférence de chacun des cercles tombe entre la perpendiculaire DG et la circonférence du cercle AD. Et nous en venons à tracer par des points <en nombre> infini supposés sur la droite DE des cercles <en nombre> infini, dont le diamètre de chacun est de la grandeur de ce qui se trouve de la droite DE entre le point sur lequel est tracé le cercle, et le point D, de sorte que la perpendiculaire DG soit perpendiculaire au diamètre de chaque cercle, et que la circonférence du cercle AD tombe entre la perpendiculaire DG et chaque circonférence de cercle” (Fī al-handasa, MS Téhéran, fols. 43^r-v; cf. Fig. 5).

واستبان منه (الشكل ١٥) أن كل خط مستقيم خرج من طرف قطر أي دائرة عمودًا عليه، فإنه يماس الدائرة؛ وأن لنا أن نرسم على نقط غير متناهية / تفرض على خط ه ﺟ، قبل إخراجه أو بعد إخراجه في جهة ﺟد، دوائر غير متناهية، نصف قطر كل منها بقدر ما يقع من خط د ﺟ وما يتصل به بين النقط التي نرسم عليها الدوائر وبين نقطة د، ويكون عمود د ز عمودًا على قطر كل دائرة منها، ومحيط كل دائرة منها يقع بين عمود د ز ومحيط دائرة ا د؛ وأن نرسم على نقط غير متناهية تفرض على خط د ه دوائر غير متناهية قطر كل منها بقدر ما يقع من خط د ه بين النقطة التي ترسم عليها الدائرة وبين نقطة د ، ويكون عمود د ز عمودًا على قطر كل دائرة منها، ومحيط دائرة ا د يقع بين عمود د ز وبين كل واحد من محيط تلك الدائرة.

3 النقط: النقطة – 7 بين عمود: عمود بين

³⁷ Euclide, Éléments, III.29.

³⁸ Kitāb al-Madkhal ilā ʿilm al-handasa, MS Dublin, Chester Beatty 965, fol. 8^r.

³⁹ Les mathématiques infinitésimales, vol. IV, p. 1104.

⁴⁰ Les mathématiques infinitésimales, vol. II et IV.

⁴¹ Sharḥ muṣādarāt Kitāb Uqlīdis, MS Oxford, Bodleian Hunt. 237, fol. 181^v.

⁴² Définition I.8, déjà citée.

⁴³ Sharḥ muṣādarāt Kitāb Uqlīdis, MS Oxford, Bodleian Hunt. 237, fol. 156^r-v.

⁴⁴ Les mathématiques infinitésimales, vol. IV.

⁴⁵ Sharḥ muṣādarāt Kitāb Uqlīdis, MS Oxford, Bodleian Hunt. 237, fols. 158^v–159^r. On retrouve d'ailleurs cet exemple plus tard chez J. Peletier. Cf. Rommevaux, “Un débat dans les mathématiques de la Renaissance”, p. 298.

⁴⁶ Cf. Rashed, R., “Les premières classifications des courbes”, Physis, XLII.1 (2005): 1–64Google Scholar.

⁴⁷ Sharḥ muṣādarāt Kitāb Uqlīdis, MS Oxford, Bodleian Hunt. 237, fol. 157^v.

⁴⁸ MS Téhéran, Malik 3433, folio non numéroté.

⁴⁹ Voir Les mathématiques infinitésimales, vol. II, pp. 498–502.

⁵⁰ MS Istanbul, Yeni Cami, T 221/2. Wiedemann, E., “Beiträge zur Geschichte der naturwissenschaften. LXXI”, dans Aufsätze zur arabischen Wissenschafts-Geschichte (Hildesheim, 1970), II, pp. 644–9Google Scholar.

⁵¹ Ibid., fol. 12^v: فأقول: إن هذا غير مخصوص بالزاوية القائمة ولا بنصفي الدائرتين، بل هو عام.

⁵² Ibid., fol. 4^v: ولهذا قد يتساوى المقداران مع امتناع التطبيق.

⁵³ Ibid., fol. 15^v.

⁵⁴ Ibid., fol. 16^r.

⁵⁵ “Quant au propos d'Euclide et d'autres mathématiciens, ‘nous divisons un angle rectiligne’ et à leur propos selon lequel ‘l'angle entouré par un arc de cercle et la droite qui lui est tangente est plus petit que tout angle aigu rectiligne, et celui qui est entouré par l'arc de cercle et son diamètre est plus grand que tout angle aigu rectiligne’, et autres semblables à cela, alors que la division n'est que pour les grandeurs et non pas pour les positions, et que la petitesse et la grandeur ne sont qu'entre les grandeurs homogènes entre lesquelles il y a un rapport, ceci est une exagération dans l'expression. Or ce qu'on entend par la division de l'angle, c'est mener en lui une ligne, ou des lignes d'inclinaison égale; et ce qu'on entend par petit et grand pour les angles mentionnés, c'est que le petit tombe à l'intérieur de ce qu'ils appellent grand, et non pas le petit et le grand qui sont entre les grandeurs, lesquelles ont un rapport les unes aux autres” (fols. 18^v–19^r).

فأما قول أقليدس وغيره من الرياضيين: ”نقسم زاوية مستقيمة الخطين، وقولهم إن الزاوية التي يحيط بها قوس الدائرة والخط المماس لها أصغر من كل حادة مستقيمة الخطين، وإن التي يحيط بها قوس الدائرة وقطرها أعظم من كل حادة مستقيمة الخطين“؛ وما أشبه ذلك، مع أن القسمة إنما تكون في المقادير لا في الأوضاع، والصغر والعظم إنما تكون بين المقادير المتجانسة التي بينها نسبة، فهو تجوز منهم في اللفظ. والمراد بقسمة الزاوية إخراج خط أو خطوط الانحرافات لها متساوية، والمراد بالصغر والعظم في الزوايا المذكورة وقوع التي يسمونها أصغر داخل التي يسمونها أعظم، لا الصغر والعظم الذي يكون بين المقادير التي لبعضها إلى بعض نسبة.

⁵⁶ MS Téhéran, Majlis Shūrā, fols. 93–94.

⁵⁷ Risāla fī al-zāwiya, MS Aya Sofia 4829, fol. 50^r.

⁵⁸ Rashed, Voir R., “Kamāl al-Dīn al-Fārisī”, Dictionary of Scientific Biography, vol. 7 (New York, 1973), pp. 212–19Google Scholar.

⁵⁹ MS Téhéran, Majlis Shūrā, fol. 96.

⁶⁰ Comparer avec la discussion entre Hobbes et Wallis. Cf. Maierù, “John Wallis: Lettura della polemica”, pp. 339–41; et Loget, “Wallis entre Hobbes et Newton”, pp. 227 sqq.

⁶¹ MS Téhéran, Majlis Shūrā, fol. 99:

وازدياد الأشياء على التدريج يوجب صيرورتها متساوية لجميع المقادير التي تجانسها، ويكون وسائط عددية بين مقداريها في ابتداء الحركة وانتهائها على الترتيب الطبيعي.

⁶² MS Hyderabad, Jāmi‘a Osmāniyya 510, fol. 37.

⁶³ Al-Zāwiya al-ḥādda, MS Qum 6356, fol. 66^v.

⁶⁴ Rashed, Voir R., Les mathématiques infinitésimales du ix^e au xi^e siècle, vol. III: Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique (Londres, 2000)Google Scholar; et Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londres, 2005)Google Scholar.

⁶⁵ Voir Les mathématiques infinitésimales, vol. II.

⁶⁶ Voir Rashed, “Les premières classifications des courbes”.

* Cette étude fait partie d'un livre intitulé L'angle de contingence dans les traditions grecque et arabe, en préparation. On y trouvera l’édition critique et la traduction de tous les textes évoqués.