1. Lettre de P. Lévy à B. Mandelbrot, datée du 25 janvier 1964, citée dans Mandelbrot, B., « Les objets fractals, forme hasard et dimension », Paris, Flammarion, 1975, pp. 173–174.Google Scholar

2. Id.

3. L. Bachelier, « Théorie de la spéculation », Thèse pour le doctorat ès sciences mathéma-liques, Annales de l'École normale supérieure, 3^e série, t. 27,1900, pp. 21-86. Les citations entre guillemets et les numéros de page renvoient à cette thèse.

4. Daloz, J. P., Hasard et cours boursiers, Paris, Cujas, 1973.Google Scholar

5. Plus précisément, en termes probabilistes, il faut que ces « petits aléas » possèdent une espérance mathématique et une variance finies. La variance étant de l'ordre du carré de l'espérance mathématique, on dit que les petits aléas doivent être de carré intégrable. La carré-intégrabilité des aléas est la condition nécessaire à l'obtention du théorème central limite dans sa forme classique (gaussienne).

6. On s'intéresse alors à la convergence des moyennes empiriques des suites stationnaires vers l'espérance mathématique.

7. Paul Lévy a montré que, chaque fois que l'espérance mathématique et la variance sont finies, la seule loi limite possible est la loi de Gauss. Dans tous les autres cas, on obtient des lois limites plus complexes, qui généralisent la loi gaussienne en donnant à l'allure de la distribution une forme plus îeptokurtique, plus étirée (un peu comme l'ellipse étire le cercle).

8. En réalité, la loi de Cauchy (1853) constituait déjà, à l'époque de Bachelier, une exception au théorème central limite sous sa forme gaussienne. Mais cette exception était considérée par les probabilistes comme tellement irréaliste (par exemple Bienaymé, en 1867) que cette loi avait été écartée assez rapidement de l'attention des scientifiques.

9. La loi d'un processus stochastique peut être partiellement résumée par la fonction d'auto-covariance, dont on extrait les auto-corrélations sérielles. Les tests de dépendance vont emprunter quatre voies : les tests de corrélation sérielle, les tests d'élans, les tests de filtres, les tests de persistance. Les tests de corrélation sérielle utilisent les fonctions d'auto-corrélation et examinent l'allure des corrélogrammes. Les tests d'élans, ou de séquence, analysent les valeurs successives prises par la variable aléatoire. La technique des filtres est une méthode d'intervention sur les marchés : s'il existe des tendances détectables, alors les performances obtenues avec cette méthode seront supérieures à celles obtenues par une procédure classique d'achat et de conservation du titre (buy and hold). Le phénomène de persistance correspond à une sorte de « mémoire » des variations : les grandes variations sont suivies par des grandes variations (à la hausse comme à la baisse), et réciproquement, les petites variations sont suivies par d'autres petites variations. On trouve ici l'inspiration des modèles de type ARCH des années quatre-vingt (cf. n. 39).

10. Working, H., « A Random Difference Series for Use in the Analysis of Time Séries », Journal of the American Statistical Association, mars 1934, pp. 11–24 Google Scholar ; Cowles, A., Jones, H., « Some A Posteriori Probabilities in Stock Market Action », Econometrica, vol. 5, n° 280, juillet 1937 Google Scholar ; Kendall, M. G., « The Analysis of Economie Time Series — Part 1 : Priees », Journal of the Royal Statistical Society (Serie A), vol. 96, 1953, pp. 11–25.Google Scholar

11. Osborne, M. F. M., « Brownian Motion in the Stock Market », Operations Research, vol. 7, n° 2, mars-avril 1959, pp. 145–173 CrossRefGoogle Scholar, et le commentaire du n° 6, novembre-décembre 1959, pp. 807-811. Le choix du logarithme est justifié par des considérations portant sur la forme de la distribution des variations ainsi que sur une équivalence physique avec la significativité de l'amplitude des variations lorsque le niveau des cours s'élève. Bien qu'Osborne utilise la loi de Weber-Fechner sur les réponses des sensations physiologiques aux stimuli, d'un point de vue économique, son argument revient à considérer une fonction d'utilité décroissante sur les variations des niveaux absolus des cours. D'un point de vue financier, la justification de ce choix sera donnée en 1965 par Fama avec la notion de taux d'intérêt continu.

12. Parmi d'autres. Voir par exemple, pour ces références : Larsen, A., « Measurement of a Random Process in Future Priées », Food Research Institute Studies, vol. 1, n° 3, novembre 1960 Google Scholar ; Working, H., « Note on the Correlation of First Differences of Averages in a Random Chain », Econometrica, vol. 28, n° 4, octobre 1960, pp. 916–918 Google Scholar ; Houthakker, H., « Systematic and Random Elements in Short Term Price Movements », American Economie Review, vol. 51, mai 1961, pp. 164–172 Google Scholar ; A. Moore, « A Statistical Analysis of Common Stock Priees », Thèse de PhD, Université de Chicago, Graduate School of Business, 1962 ; Granger, C. W. J., Morgenstern, O., « Spectral Analysis of New York Stock Market », Kyklos, 17, 1964, pp. 162–188.Google Scholar

13. Markowitz, H. M., « Portfolio Selection », Journal of Finance, vol. 12, mars 1952, pp. 77–91 Google Scholar. Développé ensuite dans Portfolio Selection, Efficient Diversification of Investments, New York, J. Wiley and Sons, 1959. Ces deux contributions fondent la théorie moderne du portefeuille. Elle sera complétée par la suite, et améliorée, mais pas fondamentalement transformée.

14. Sharpe, W. F., « A Simplified Model for Portfolio Analysis », Management Science, janvier 1963, pp. 277–293 CrossRefGoogle Scholar. Cette simplification consiste en l'introduction d'une relation linéaire entre un indice de marché et l'ensemble des titres qui fluctuent sur ce marché. Le modèle est dit alors « diagonal », et le nombre des paramètres à estimer, par exemple pour un portefeuille de 100 titres, passe de 5050 à 200. Cette réduction permet alors des calculs plus rapides, et donc plus opérationnels.

15. Il faudrait évoquer les innombrables difficultés pratiques rencontrées au moment de la mise en œuvre opérationnelle de ces modèles, difficultés issues, entre autres, de la non-validation de leurs prémisses : d'une part, les indices de référence des marchés ne sont pas toujours efficients au sens de Sharpe-Markowitz ; d'autre part, la multinormalité des variations boursières n'est pas vérifiée, ce qui entraîne une instabilité constante de la matrice de variance-covariance, et une difficulté à apprécier la qualité du portefeuille supposé optimal ; enfin, la rentabilité espérée est délicate à estimer, et un changement d'estimation conduit à une modification du portefeuille optimal. Encore aujourd'hui, la gestion quantitative n'a pas résolu tous les problèmes de détermination de portefeuilles optimaux.

16. L. Bachelier, op. cit., p. 46.

17. Rapport de thèse de Henri Poincaré, Archives de l'université de Paris VI, pp. 175-176.

18. Black, F., Scholes, M., « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », Journal of Political Economy, vol. 81, n°3, mai-juin 1973, pp. 637–659.CrossRefGoogle Scholar

19. Car on examine la sensibilité du prix de l'option aux variations de l'actif sous-jacent, sur lequel porte l'option. En particulier, il est nécessaire de pouvoir écrire la différentiabilité du prix de l'option en fonction du prix de l'actif sous-jacent et du temps. Cette différentiabilité utilise le calcul différentiel stochastique, et la formule de dérivation des variables aléatoires gaus-siennes, appelée lemme de Itô. L'utilisation du lemme de Itô présuppose donc que les variables aléatoires soient gaussiennes.

20. Alexander, S. S., « Price Movements in Speculative Markets : Trends or Random Walks », Industrial Management Review, vol. 2, mai 1961, pp. 7–26.Google Scholar

21. Et également, parfois, à Elliott et à Gann. Moins que des « théories » au sens scientifique du terme, il s'agit plutôt de constructions empiriques qui utilisent des visions métaphysiques implicites comme justification de leurs approches. Par exemple, il est souvent fait référence, dans les manuels d'analyse technique, à une « harmonie structurelle de l'univers », à une vision holiste de la nature dans laquelle certains nombres, comme le nombre d'or, possèdent des propriétés particulières, que l'on peut exploiter pour la prévision sur les marchés. On trouve aussi des conceptions selon lesquelles « ce qui est en bas est comme ce qui est en haut », et donc que les variations boursières s'analysent comme enchevêtrement de grandes vagues, de vagues, et de vaguelettes, dont l'art consiste alors à déterminer le positionnement sur les hausses et les baisses. De manière résumée, on retrouve dans les fondements conceptuels de l'analyse technique, un certain nombre de principes empruntés à la numérologie et à la gnose pythagoricienne.

22. S. S. Alexander, art. cité.

23. Treynor, J. L., « How to Rate Management of Investment Funds », Harvard Business Review, vol. 43, janvier-février 1965, pp. 63–75 Google Scholar. Sharpe, W. F., « Mutual Fund Performance », Journal of Business, vol. 39 (supplément), janvier 1966, pp. 119–138 Google Scholar. Jensen, M. C., « The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964 », Journal of Finance, vol. 23, mai 1968, pp. 389–416 Google Scholar, et discussion pp. 417-419, « Risk, the Pricing of Capital Assets, and the Evaluation of Investment Portfolios », Journal of Business, vol. 42, avril 1969, pp. 167-247.

24. Cootner, P. A., « Stock Prices : Random vs Systematic Changes », Industrial Management Review, vol. 3, Spring 1962, pp. 24–45.Google Scholar

25. Fama, E. F., « The Behavior of Stock Market Prices », Journal of Business, vol. 38, 1965, pp. 34–105.CrossRefGoogle Scholar

26. P. A. Cootner, art. cité, p. 25.

27. FAMA, E. F., « Efficient Capital Market : A Review of Theory and Empirical Work », Journal of Finance, vol. 25, mai 1970, pp. 383–417, et discussion pp. 418-423.CrossRefGoogle Scholar

28. Hayek, F., « The Use of Knowledge in Society », American Economie Review, vol. 35, 1945, pp. 519–530. Citation pp. 526-527.Google Scholar

29. Orléan, A., « Comportements mimétiques et diversité des opinions sur les marchés financiers », dans Théorie économique et crise des marchés financiers, Paris, Economica, 1989, pp. 45–65.Google Scholar

30. Ibid., p. 45.

31. Samuelson, P. A., « Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly », Industrial Management Review, vol. 6, n° 2, 1965, pp. 41–49 Google Scholar. Mandelbrot, B., « Forecast of Future Prices, Unbiased Markets and Martingale Models », Journal of Business, vol. 39, janvier 1966, pp. 242–255.Google Scholar

32. Martingale : au sens probabiliste du terme. Il est à noter que, par une facétie de vocabulaire, ce que l'on appelle une « martingale » en probabilité n'a que peu de rapport avec le même mot utilisé par les joueurs pour désigner une stratégie systématiquement gagnante fondée sur des observations de coups passés. C'est, en fait, le contraire, la martingale étant un processus aléatoire dans lequel la meilleure prévision du prix futur est le prix présent.

33. Si les anticipations des investisseurs sont rationnelles, alors le prix futur anticipé de l'actif est égal à l'espérance mathématique du prix futur, conditionnellement à un ensemble d'informations passées à la période présente. En écrivant le prix présent comme actualisation du prix anticipé futur, on obtient alors une martingale sur le prix futur actualisé.

34. Voir par exemple : Leroy, S., « Efficient Capital Markets and Martingales », Journal of Economie Littérature, vol. 27, déc. 1989, pp. 1583–1621 Google Scholar : article de synthèse sur les modèles de martingales et leur relation avec la théorie des marchés efficients.

35. E. F. Fama, « Efficient Capital Market… », art. cité.

36. Un développement plus important, décrivant avec davantage de précision l'articulation entre efficience, efficience gaussienne et loi de probabilité marginale, est proposé dans C. Walter, Les structures du hasard en économie, efficience des marchés, lois stables, et processus fractals, thèse de doctorat, Académie de Paris, Institut Etudes Politiques, 1994.

37. On parlera alors de « non-efficience » des marchés, évoquant un certain nombre d'anomalies (bulles spéculatives, etc.), sans voir que ces anomalies sont des anomalies de mesure par rapport à une jauge initialement gaussienne. La question de l'acceptation ou non de l'efficience est plus complexe que celle de la mise en évidence expérimentale d'anomalies de mesure.

38. Cf. n. 5 : les aléas doivent être carré-intégrables.

39. Les fluctuations des estimations de la volatilité, qui peut varier de plusieurs ordres de grandeur (par exemple de 5 % à 50 % sur un même marché selon les périodes d'estimation), ont posé aux communautés professionnelles et scientifiques de nombreux problèmes. Il faudra attendre les formalisations des années quatre-vingt, avec l'introduction des spécifications sur les comportements des résidus, au moyen des paramétrisations ARCH (processus aléatoire à perturbation Auto-Régressive Conditionnellement Hétéroscédastique) pour faire disparaître la confusion qui existait sur les marchés entre variance marginale-historique et variance conditionnelle-instantanée. En effet, même si les valeurs théoriques non dépendantes du temps (historiques), ou marginales, sont infinies, les valeurs réelles observées à un moment donné (instantanées), ou conditionnelles, peuvent exister. Les paramétrisations ARCH ont permis d'évaluer le biais introduit dans les modèles financiers lorsqu'on remplaçait une grandeur marginale par son équivalent conditionnel, et de renouveler la problématique liée aux fluctuations de la volatilité gaussienne.

40. Il s'agit de la normalité asymptotique des sommes partielles, problème probabiliste connu sous le nom de « convergence des moyennes ». C'est une autre manière de retrouver la question des petits aléas de Gauss.

41. P. A. Cootner, art. cité, p. 30.

42. Par exemple, Harrison, J. M., Kreps, D., « Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets », Journal of Economie Theory, vol. 20, n° 3, juin 1979, pp. 381–408 CrossRefGoogle Scholar. Les formalisations de Harrison-Kreps, suivies par celles de Harrison-Pliska, marquent le début de la reconstruction de la théorie des options dans une perspective probabiliste entièrement nouvelle.

43. E. F. Fama, « Efficient Capital Market… », art. cité.

44. On distingue dans les pays anglo-saxons, selon les établissements de gestion de fonds, deux types d'approche des processus d'investissement : les approches dites top-down, accordant plus d'importance aux compositions stratégiques des portefeuilles par grandes classes d'actifs (actions, obligations, devises, pays etc.), et les approches dites bottom-up qui se concentrent plutôt sur les modifications tactiques et les choix de titres. La coexistence de ces deux approches illustre l'absence de consensus sur la MV-efficience des marchés et les réticences instinctives de certaines sociétés de gestion devant l'hypothèse gaussienne.

45. B. Mandelbrot, « Sur certains prix spéculatifs : faits empiriques et modèle basé sur les processus stables additifs non gaussiens de Paul Lévy », Compte rendu à l'Académie des Sciences, séance du 4 juin 1962, pp. 3968-3970.

46. Par exemple, la performance annualisée de l'indice CAC 40 du marché français sur 8 ans est de 9,41 %. En retirant les dix meilleures journées sur les quelque 2000 jours de bourse, cette performance chute à 3,38 %.

47. Mandelbrot, B., « Nouveaux modèles de la variation des prix (Cycles lents et changements instantanés) », Cahiers du séminaire d'économétrie du CNRS, vol. 9, 1966, pp. 53–66.CrossRefGoogle Scholar

48. Conceptuellement, il existe des relations très fortes entre loi de puissance de type Pareto, fluctuations très erratiques, absence d'échelle caractéristique (invariance d'échelle), hiérarchisation des catastrophes, non-convergence des moyennes empiriques et généralisation du théorème central limite : tous ces phénomènes participent de la recherche de classes d'universalité utilisant les outils de la géométrie fractale, qui unifient en une même compréhension des propriétés différentes d'objets physiques très divers (avalanches, tremblements de terre, turbulence de vitesse du vent atmosphérique, etc.). On pourra en trouver une introduction dans, par exemple, Mandelbrot, B., Les objets fractals, forme, hasard et dimension, Paris, Flammarion, rééd. 1989.Google Scholar

49. En particulier, les modèles de portefeuille nécessitaient le remplacement de la matrice de variance-covariance par un équivalent en lois de Lévy. Cet équivalent ne sera inventé qu'en 1992, et les estimateurs correspondants, en 1993.

50. « The Efficient Market was a Good Idea — and then Came the Crash », Business Week, 22 février 1988, pp. 38-39.

51. Par exemple le « Comité de Bâle », qui regroupe les gouverneurs des banques centrales de dix pays, et qui se réunit au siège de la Banque des Règlements internationaux à Bâle. En avril 1993, ce comité a décidé de s'intéresser à la surveillance des risques de marché. Les documents de Bâle reconnaissent la non-normalité des fluctuations boursières. Ce qui revient à rejeter la MV-efficience.

52. Par exemple la directive européenne 93/6/CEE, ou directive CAD (Capital Adequacy Directive), qui, relayée par la Commission Bancaire en France, exige le calcul par chaque établissement bancaire d'un niveau de fonds propres correspondant à une viabilité de la situation de la banque à un seuil de probabilité de 99 %, calculé sur la position de la salle des marchés. On apprécie, dans cette recommandation, à la fois le choix du niveau du seuil et l'importance dévolue à la loi de probabilité.

53. Par exemple les généralisations fractales du mouvement brownien.

54. En particulier le calcul intégro-différentiel stochastique. Par exemple : le lemme de Itô, qui définit la différentiabilité des variables aléatoires gaussiennes, sans lequel aucune salle de marché ne pourrait, à l'heure actuelle, gérer ses positions sur les marchés d'options.

55. Par exemple, Wise, A. J., « The Matching of Assets to Liabilities », Journal ofthe Institute of Actuaries, vol. 111, part 3, 1984, pp. 445–501 Google Scholar. Wilkie, A. D., « Portfolio Sélection in the Présence of Fixed Liabilities », Journal of the Institute of Actuaries, vol. 112, part 2, n°451, 1985, pp. 229–277 Google Scholar. Leibowitz, M. , Kogelman, S., Bader, L., « Asset Performance and Surplus Control : A Dual-Shortfall Approach », Journal of Portfolio Management, hiver 1992, pp. 28–37 Google Scholar. Keel, A. K., Müller, H. H., « Efficient Portfolios in the Asset Liability Context », Astin Bulletin, vol. 25, n° 1, mai 1995, pp. 33–48.Google Scholar