La mesure des ensembles.

Dans le premier Chapitre, la définition de l'intégrale a été rattachée à celle de certaines aires; nous allons rechercher si, par une voie géométrique analogue, on peut arriver à la définition générale de Riemann. Nous verrons que cela est possible, de sorte que l'intégrale de Riemann apparaît comme la généralisation naturelle de l'intégrale de Cauchy, que l'on se place au point de vue analytique ou géométrique.

Je vais d'abord attacher aux ensembles des nombres qui seront les analogues des longueurs, aires, volumes attachés aux segments, aux domaines plans ou aux domaines de l'espace. C'est à M. Cantor que l'on doit la première définition de ces nombres; je vais adopter la méthode d'exposition de M. Jordan qui a simplifié et complété la définition donnée par M. Cantor.

Soit E un ensemble borné de nombres ou, si l'on veut, de points sur une droite. Soit (a, b) l'un des intervalles contenant E. Divisons (a, b) en un nombre fini d'intervalles partiels. Soit λ le maximum de la longueur de ces intervalles. Je désigne par A la somme des longueurs des intervalles partiels qui contiennent des points de E et par B la somme des longueurs de ceux dont tous les points font partie de E. M. Jordan démontre que A et B tendent vers deux limites parfaitement déterminées quand λ tend vers zéro.