We investigate the Fano resonance in grating structures using coupled resonators. The grating consists of a perfectly conducting slab with periodically arranged subwavelength slit holes, where inside each period, a pair of slits sit very close to each other. The slit holes act as resonators and are strongly coupled. It is shown rigorously that there exist two groups of resonances corresponding to poles of the scattering problem. One sequence of resonances has imaginary part in the order of ε, where ε is the size of the slit aperture, while the other sequence has imaginary part in the order of ε2. When coupled with the incident wave at resonant frequencies, the narrow-band resonant scattering induced by the latter will interfere with the broader background resonant radiation induced by the former. The interference of these two resonances generates the Fano-type transmission anomaly, which persists in the whole radiation continuum of the grating structure as long as the slit aperture size is small compared to the incident wavelength.

Nous considérons les perturbations $H\,:=\,{{H}_{0}}\,+\,V$ et $D\,:=\,{{D}_{0}}\,+\,V$ des Hamiltoniens libres ${{H}_{0}}$ de Pauli et ${{D}_{0}}$ de Dirac en dimension 3 avec champ magnétique non constant, $V$ étant un potentiel électrique qui décroıt super-exponentiellement dans la direction du champ magnétique. Nous montrons que dans des espaces de Banach appropriés, les résolvantes de $H$ et $D$ définies sur le demi-plan supérieur admettent des prolongements méromorphes. Nous définissons les résonances de $H$ et $D$ comme étant les pôles de ces extensions méromorphes. D’une part, nous étudions la répartition des résonances de $H$ prés de l’origine 0 et d’autre part, celle des résonances de $D$ près de $\pm m$ où m est la masse d’une particule. Dans les deux cas, nous obtenons d’abord des majorations du nombre de résonances dans de petits domaines au voisinage de 0 et $\pm m$. Sous des hypothèses supplémentaires, nous obtenons des développements asymptotiques du nombre de résonances qui entraınent leur accumulation près des seuils 0 et $\pm m$. En particulier, pour une perturbation $V$ de signe défini, nous obtenons des informations sur la répartition des valeurs propres de $H$ et $D$ près de 0 et $\pm m$ respectivement.

We find positive solutions to a nonlinear equation of Klein–Gordon type. Our analysis is carried out by truncating the related functional and estimating mountain pass solutions by Moser’s iterative scheme.

We study the semi-classical behavior as $h\,\to \,0$ of the scattering amplitude $f(\theta ,\,\omega ,\,\lambda ,\,h)$ associated to a Schrödinger operator $P(h)\,=\,-\,\frac{1}{2}{{h}^{2}}\Delta \,+\,V\,(x)$ with short-range trapping perturbations. First we realize a spatial localization in the general case and we deduce a bound of the scattering amplitude on the real line. Under an additional assumption on the resonances, we show that if we modify the potential $V(x)$ in a domain lying behind the barrier $\left\{ x\,:\,V(x)\,>\,\lambda \right\}$, the scattering amplitude $f(\theta ,\,\omega ,\,\lambda ,\,h)$ changes by a term of order $\mathcal{O}({{h}^{\infty }})$. Under an escape assumption on the classical trajectories incoming with fixed direction $\omega $, we obtain an asymptotic development of $f(\theta ,\,\omega ,\,\lambda ,\,h)$ similar to the one established in the non-trapping case.