Dans cet article, tous les semigroupes sont supposés finis, sauf dans le cas d'un semigroupe ou d'un monoïde libre. Les références de base sont [1, 2].
L'objet de cet article est de poursuivre l'étude du semigroupe des parties d'un semigroupe, étude qui a connu récemment des développements inattendus [3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12]. Putcha [10] avait caractérisé les semigroupes S tels que le semigroupe des parties
soit apériodique, autrement dit
-trivial. Je donne ici une nouvelle démonstration du théorème de Putcha basée sur le théorème de Ramsey et je caractérise les semigroupes S tels que
soit
-trivial (resp. ℒ-trivial, ℐ-trivial): ce sont les semigroupes apériodiques tels que es = ese (se = ese, es = se) pour tout s ∊ S et pour tout idempotent e ∊ S. Il en résulte que la variété des semigroupes V2 (resp V3, V1) définie par ces conditions est la variété maximale V telle que la variété PV engendrée par les
, S ∊ V, soit contenue dans la variété des monoïdes
-triviaux (ℒ-trivial, ℐ-trivial).