It is shown that the nonrecursive predecessors of a 1-generic degree < 0′ are all 1-generic. As a corollary, it is shown that the 1-generic degrees are not densely ordered.

It is shown that Friedman's problem, whether there exists a proper extension of first order logic satisfying the compactness and interpolation theorems, has extremely simple positive solutions if one considers extensions by generalized (finitary) propositional connectives. This does not solve, however, the problem of whether such extensions exist which are also closed under relativization of formulas.

Given an abstract logic , generated by a set of quantifiers Qi, one can construct for each type τ a topological space Sτ, exactly as one constructs the Stone space for τ in first-order logic. Letting T be an arbitrary directed set of types, the set is an inverse topological system whose bonding mappings are naturally determined by the reduct operation on structures. We relate the compactness of to the topological properties of ST. For example, if I is countable then is compact iff for every τ each clopen subset of Sτ is of finite type and Sτ, is homeomorphic to limST, where T is the set of finite subtypes of τ. We finally apply our results to concrete logics.

Le prophète des Crétois, nous le savions depuis longtemps, n'était qu'un menteur; pourtant, à l'aube de ce siècle, quand nous avons voulu traduire nos mathématiques en termes d'ensembles, notre conscience s'est troublée de la découverte de paradoxes.

“Si R est une relation binaire entre éléments d'un ensemble (sic) E, il n'existe pas d'élément a de E, tel que pour tout x de E (a, x) satisfasse R si et seulement si (x, x) ne satisfait pas R.” Voilà un résultat bien banal! Quel est cet assaisonement fondationnel qui a le pouvoir de lui donner une saveur si troublante? C'est, sans doute, qu'il manifeste de façon brutale la contradiction d'un système d'axiomes auquel nous sommes viscéralement attachés, la “théorie des ensembles”, composée de l'axiome d'extensionalité (sans influence sur les paradoxes), et du schéma de compréhension (car nous avons d'excellentes raisons de vouloir rester dans le premier ordre, et d'éviter, à l'encontre de Zermelo, un axiome du second ordre).

Nous croyons en premier lieu que la théorie des ensembles est vraie. C'est un peu délicat de préciser ce qu'on entend par là: quand on formalise l'arithmétique, il n'y a pas de confusion possible sur la structure de référence qu'on veut décrire; mais le modèle naturel, le “modèle standard” de la théorie des ensembles, le connait-on vraiment? L'auteur de ces lignes est incapable d'en décider: cela ne l'empêchera pas de faire appel à l'intuition ensembliste la plus débridée, ce qui montre qu'il n'est pas rebuté par l'incohérence plus que par la contradiction!