Il est démontré par Mentagui [ESAIM: COCV9 (2003) 297-315] que,
dans le cas des espaces de Banach généraux, la convergence
d'Attouch-Wets est stable par une classe d'opérations classiques de
l'analyse convexe, lorsque les limites des suites d'ensembles et de
fonctions satisfont certaines conditions de qualification naturelles. Ceci
tombe en défaut avec la slice convergence. Dans cet article, nous
établissons des conditions de qualification uniformes assurant la
stabilité de la slice convergence et de la slice convergence duale par les
mêmes opérations, dont le rôle est fondamental en optimisation
convexe. Nous obtenons comme conséquences certains résultats clés de
stabilité de l'épi-convergence établis par Mc Linden et
Bergstrom [Trans. Amer. Math. Soc.286 (1981) 127-142] en dimension finie. Comme application, nous
présentons un modèle de convergence et de stabilité recouvrant une
large classe de problèmes en optimisation convexe et en théorie de la
dualité. Les éléments clés dans notre démarche sont l'analyse
d'horizon, les notions de quasi-continuité et d'inf-locale compacité des
fonctions convexes, puis la bicontinuité de la transformation de
Legendre-Fenchel relativement à la slice convergence et la slice
convergence duale.