Intégrer l'équation

ou 1'expression différentielle ƒ(x) dx, à partir de x =x0, c'est trouver une f'onction continue de x qui ait la double propriété de donner pour différentielle ƒ (x)dx et de s'évanouir pour x = x0. Cette fonction, devant etre comprise dans la formule générale

se réduira nécessairement à l'intégrale ƒ(x)dx, si la fonction ƒ(x) est elle-même continue par rapport à x, entre les deux limites de cette intégrale. Concevons maintenant que, les deux fonctions ϕ(x) et ξ(x) étant continues entre ces limites, la valeur générale de y, tirée de l'équation (I), soit présentée sous la forme

La fonction cherchée sera évidemment égale à

En partant de cette remarque, on verra sans peine ce que deviennent les formules établies dans les Lecons précédentes, lorsqu'on assujettit les deux membres de chacune d'elles à s'évanouir pour une valeur donnée de x. Ainsi, par exemple, on reconnaitra facilement que les équations (9) et (12) de la vingt-septième Leçon, savoir

entrainent les suivantes

z0, u0 et v0 désignant les valeursdes, z, et v correspondantes à x = x0. Si, dans les formules (2) et (3), on pose x = X, on trouvera, en appclant Z, U, V les valeurs correspondantes de z, u, v,

Les équations (4) et (5) sont celles que Ton doit substitaer aiix formules (9) et (12) de la vingt-septième Leçon, lorsqu'il s'agit d'appliquer 1'intégration par substitution ou par parties à l'évaluation ou à la réduction des intégrates définies; tandis que les intégrales de cette espéce, déduites de 1'intégration immédiate ou par décomposition, sont données par la formule (18) de la vingt-sixiéme Leçon, ou par la formule (2) de la vingt-troisiéme.